En matemáticas , especialmente en el análisis convexo , el cono de recesión de un conjuntoes un cono que contiene todos los vectores tales que retrocede en esa dirección. Es decir, el conjunto se extiende hacia afuera en todas las direcciones dadas por el cono de recesión. [1]
Definición matemática
Dado un conjunto no vacío para un poco de espacio vectorial , luego el cono de recesión es dado por
Si es además un conjunto convexo, entonces el cono de recesión se puede definir de manera equivalente por
Si es un conjunto convexo cerrado no vacío, entonces el cono de recesión se puede definir de manera equivalente como
- para cualquier elección de [3]
Propiedades
- Si es un conjunto no vacío entonces .
- Si es un conjunto convexo no vacío entonces es un cono convexo . [3]
- Si es un subconjunto convexo cerrado no vacío de un espacio de Hausdorff de dimensión finita (p. ej.), luego si y solo si está ligado. [1] [3]
- Si es un conjunto no vacío entonces donde la suma denota la adición de Minkowski .
Relación con el cono asintótico
El cono asintótico para es definido por
Por la definición se puede demostrar fácilmente que [4]
En un espacio de dimensión finita, se puede demostrar que Si no está vacío, cerrado y convexo. [5] En espacios de dimensión infinita, entonces la relación entre conos asintóticos y conos de recesión es más complicada, con propiedades para su equivalencia resumidas en. [6]
Suma de conjuntos cerrados
- Teorema de Dieudonné : sean conjuntos convexos cerrados no vacíosun espacio localmente convexo , si o es localmente compacto yes un subespacio lineal , entoncesestá cerrado. [7] [3]
- Deje conjuntos convexos cerrados no vacíos tal que para cualquier luego , luego está cerrado. [1] [4]
Ver también
Referencias
- ↑ a b c Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Análisis convexo . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. págs. 60–76. ISBN 978-0-691-01586-6.
- ^ Borwein, Jonathan; Lewis, Adrian (2006). Análisis convexo y optimización no lineal: teoría y ejemplos (2 ed.). Saltador. ISBN 978-0-387-29570-1.
- ^ a b c d e Zălinescu, Constantin (2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, Nueva Jersey: World Scientific Publishing Co., Inc. pp. 6 -7. ISBN 981-238-067-1. Señor 1921556 .
- ^ a b c Kim C. Border. "Sumas de conjuntos, etc" (PDF) . Consultado el 7 de marzo de 2012 .
- ^ a b Alfred Auslender; M. Teboulle (2003). Conos asintóticos y funciones en optimización y desigualdades variacionales . Saltador. págs. 25 –80. ISBN 978-0-387-95520-9.
- ^ Zălinescu, Constantin (1993). "Conos de recesión y conjuntos asintóticamente compactos". Revista de teoría y aplicaciones de la optimización . Springer Holanda. 77 (1): 209–220. doi : 10.1007 / bf00940787 . ISSN 0022-3239 . S2CID 122403313 .
- ^ J. Dieudonné (1966). "Sur la séparation des ensembles convexes". Matemáticas. Ana. . 163 : 1-3. doi : 10.1007 / BF02052480 . S2CID 119742919 .