En matemáticas, una ley de reciprocidad es una generalización de la ley de reciprocidad cuadrática .
Hay varias formas diferentes de expresar las leyes de reciprocidad. Las primeras leyes de reciprocidad encontradas en el siglo XIX generalmente se expresaban en términos de un símbolo de residuo de potencia ( p / q ) generalizando el símbolo de reciprocidad cuadrática , que describe cuando un número primo es un residuo de n- ésimo módulo otro primo, y dio una relación entre ( p / q ) y ( q / p ). Hilbert reformuló las leyes de reciprocidad diciendo que un producto sobre p de los símbolos de residuos de la norma de Hilbert ( a, b / p ), tomando valores en las raíces de la unidad, es igual a 1. Artin reformuló las leyes de reciprocidad como una declaración de que el símbolo de Artin de ideales (o ideles) a elementos de un grupo de Galois es trivial en un subgrupo determinado. Varias generalizaciones más recientes expresan leyes de reciprocidad utilizando cohomología de grupos o representaciones de grupos adelicos o grupos K algebraicos, y su relación con la ley de reciprocidad cuadrática original puede ser difícil de ver.
Reciprocidad cuadrática
En términos del símbolo de Legendre , la ley de reciprocidad cuadrática para estados primos impares positivos
Reciprocidad cúbica
La ley de reciprocidad cúbica para enteros de Eisenstein establece que si α y β son primarios (primos congruentes con 2 mod 3) entonces
Reciprocidad cuartica
En términos del símbolo de residuo cuártico, la ley de reciprocidad cuártica para enteros gaussianos establece que si π y θ son primarios (congruentes con 1 mod (1+ i ) 3 ) primos gaussianos, entonces
Reciprocidad óctica
Reciprocidad de Eisenstein
Suponga que ζ es una la raíz de la unidad para algún primo impar . El carácter de poder es el poder de ζ tal que
para cualquier ideal principal de Z [ζ]. Se extiende a otros ideales mediante la multiplicatividad. La ley de reciprocidad de Eisenstein establece que
para un coprimo de cualquier entero racional ay α cualquier elemento de Z [ζ] que es primos entre sí a una yy congruente con un entero racional módulo (1 – ζ) 2 .
Reciprocidad de Kummer
Suponga que ζ es una l- ésima raíz de la unidad para algún primo l regular impar . Dado que l es regular, podemos extender el símbolo {} a los ideales de una manera única tal que
- donde n es un número entero primo de l tal que p n es principal.
La ley de reciprocidad de Kummer establece que
para p y q ningún ideales primos distintos de Z [ζ] distintos de (1-ζ).
Reciprocidad de Hilbert
En términos del símbolo de Hilbert, la ley de reciprocidad de Hilbert para un campo numérico algebraico establece que
donde el producto está sobre todos los lugares finitos e infinitos. Sobre los números racionales esto equivale a la ley de reciprocidad cuadrática. Para ver esto, tome a y b como primos impares distintos. Entonces la ley de Hilbert se convierte enPero ( p , q ) p es igual al símbolo de Legendre, ( p , q ) ∞ es 1 si uno de p y q es positiva y -1 en caso contrario, y ( p , q ) 2 es (-1) ( p - 1) ( q –1) / 4 . Así que para p y q primos impares positivos ley de Hilbert es la ley de reciprocidad cuadrática.
Reciprocidad Artin
En el lenguaje de los ideles , la ley de reciprocidad de Artin para una extensión finita L / K establece que el mapa de Artin del grupo de clase idele C K a la abelianización Gal ( L / K ) ab del grupo de Galois se desvanece en N L / K ( C L ), e induce un isomorfismo
Aunque no es inmediatamente obvio, la ley de reciprocidad Artin implica fácilmente todas las leyes de reciprocidad descubiertos previamente, aplicándolo a las extensiones adecuadas L / K . Por ejemplo, en el caso especial cuando K contiene la raíz n- ésima de la unidad y L = K [ a 1 / n ] es una extensión de Kummer de K , el hecho de que el mapa de Artin se desvanezca en N L / K ( C L ) implica Ley de reciprocidad de Hilbert para el símbolo de Hilbert.
Reciprocidad local
Hasse introdujo un análogo local de la ley de reciprocidad de Artin, llamado ley de reciprocidad local. Una de sus formas establece que para una extensión abeliana finita de L / K de campos locales, el mapa de Artin es un isomorfismo de en el grupo de Galois .
Leyes de reciprocidad explícita
Para obtener una ley de reciprocidad de estilo clásico a partir de la ley de reciprocidad de Hilbert Π ( a , b ) p = 1, es necesario conocer los valores de ( a , b ) p para p dividir n . Las fórmulas explícitas para esto a veces se denominan leyes de reciprocidad explícita.
Leyes de reciprocidad de poder
Una ley de reciprocidad de potencia se puede formular como un análogo de la ley de reciprocidad cuadrática en términos de los símbolos de Hilbert como [1]
Leyes de reciprocidad racional
Una ley de reciprocidad racional es aquella enunciada en términos de números enteros racionales sin el uso de raíces de unidad.
Ley de reciprocidad de Scholz
Reciprocidad de Shimura
Ley de reciprocidad de Weil
Reciprocidad de Langlands
El programa Langlands incluye varias conjeturas para grupos algebraicos reductivos generales, que para los especiales del grupo GL 1 implican la ley de reciprocidad de Artin.
Ley de reciprocidad de Yamamoto
La ley de reciprocidad de Yamamoto es una ley de reciprocidad relacionada con los números de clase de los campos numéricos cuadráticos.
Ver también
Referencias
- ^ Neukirch (1999) p.415
- Frei, Günther (1994), "La ley de reciprocidad de Euler a Eisenstein", en Chikara, Sasaki (ed.), La intersección de la historia y las matemáticas. Artículos presentados en el simposio de historia de las matemáticas, celebrado en Tokio, Japón, del 31 de agosto al 1 de septiembre de 1990 , Sci. Networks Hist. Stud., 15 , Basilea: Birkhäuser, págs. 67–90, doi : 10.1090 / S0002-9904-1972-12997-5 , ISBN 9780817650292, MR 0308080 , Zbl 0.818,01002
- Hilbert, David (1897), "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper" , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en alemán), 4 : 175–546, ISSN 0012-0456
- Hilbert, David (1998), La teoría de los campos numéricos algebraicos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-662-03545-0 , ISBN 978-3-540-62779-1, MR 1646901
- Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad. De Euler a Eisenstein , Springer Monographs in Mathematics, Berlín: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-662-12893-0 , ISBN 3-540-66957-4, MR 1761696 , Zbl 0.949,11002
- Lemmermeyer, Franz, leyes de reciprocidad. De Kummer a Hilbert
- Neukirch, Jürgen (1999), Teoría algebraica de números , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322 , Traducido del alemán por Norbert Schappacher, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6, Zbl 0956.11021
- Stepanov, SA (2001) [1994], "Leyes de reciprocidad" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
- Wyman, BF (1972), "¿Qué es una ley de reciprocidad?", Amer. Matemáticas. Mensual , 79 (6): 571–586, doi : 10.2307 / 2317083 , JSTOR 2317083 , MR 0308084. Corrección, ibid. 80 (1973), 281.