En la teoría algebraica de números, el n -ésimo símbolo de residuo de potencia (para un número entero n > 2) es una generalización del símbolo (cuadrático) de Legendre a n -ésima potencia. Estos símbolos se utilizan en el enunciado y prueba de las leyes de reciprocidad cúbica , cuártica , de Eisenstein y relacionadas [1] superiores . [2]
Fondo y notación
Sea k un campo numérico algebraico con un anillo de enteros que contiene una raíz n -ésima primitiva de unidad
Dejar ser un ideal primo y asumir que n yson coprime (es decir.)
La norma de se define como la cardinalidad del anillo de clase de residuo (tenga en cuenta que desde es primo el anillo de clase de residuo es un campo finito ):
Un análogo del teorema de Fermat se sostiene en Si luego
Y finalmente, suponga Estos hechos implican que
está bien definido y es congruente con un único -ésima raíz de la unidad
Definición
Esta raíz de unidad se llama n -ésimo símbolo de residuo de potencia para y se denota por
Propiedades
El n -ésimo símbolo de potencia tiene propiedades completamente análogas a las del símbolo clásico (cuadrático) de Legendre ( es un primitivo fijo -th raíz de la unidad):
En todos los casos (cero y distinto de cero)
Relación con el símbolo de Hilbert
El n -ésimo símbolo de residuo de potencia está relacionado con el símbolo de Hilbert para el mejor por
en el caso primos entre sí a n , dondees cualquier elemento uniformador para el campo local . [3]
Generalizaciones
La -ésimo símbolo de poder puede extenderse para tomar ideales no primos o elementos distintos de cero como su "denominador", de la misma manera que el símbolo de Jacobi extiende el símbolo de Legendre.
Cualquier ideal es el producto de ideales primordiales, y de una sola manera:
La -ésimo símbolo de potencia se extiende multiplicativamente:
Para entonces definimos
dónde es el principal ideal generado por
De forma análoga al símbolo cuadrático de Jacobi, este símbolo es multiplicativo en los parámetros superior e inferior.
- Si luego
Dado que el símbolo es siempre un -ésima raíz de la unidad, debido a su multiplicatividad es igual a 1 siempre que un parámetro sea un -ésimo poder; lo contrario no es cierto.
- Si luego
- Si luego no es un -th módulo de potencia
- Si luego puede o no puede ser un -th módulo de potencia
Ley de reciprocidad de poder
La ley de reciprocidad de potencia , análoga a la ley de reciprocidad cuadrática , se puede formular en términos de los símbolos de Hilbert como [4]
cuando sea y son coprime.
Ver también
Notas
- ^ La reciprocidad cuadrática se ocupa de los cuadrados; superior se refiere a cubos, cuarta y potencias superiores.
- ^ Todos los hechos de este artículo están en Lemmermeyer Ch. 4.1 e Ireland & Rosen Ch. 14,2
- ^ Neukirch (1999) p. 336
- ^ Neukirch (1999) p. 415
Referencias
- Gras, Georges (2003), Teoría de campos de clases. De la teoría a la práctica , Springer Monographs in Mathematics, Berlín: Springer-Verlag , págs. 204–207, ISBN 3-540-44133-6, Zbl 1019.11032
- Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory (Segunda edición) , Nueva York: Springer Science + Business Media , ISBN 0-387-97329-X
- Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad: de Euler a Eisenstein , Berlín: Springer Science + Business Media , doi : 10.1007 / 978-3-662-12893-0 , ISBN 3-540-66957-4, MR 1761696 , Zbl 0.949,11002
- Neukirch, Jürgen (1999), Teoría algebraica de números , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322 , Traducido del alemán por Norbert Schappacher, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6, Zbl 0956.11021