Azulejos triangulares Order-7 | |
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Modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico | |
Tipo | Mosaico hiperbólico regular |
Configuración de vértice | 3 7 |
Símbolo de Schläfli | {3,7} |
Símbolo de Wythoff | 7 | 3 2 |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | [7,3], (* 732) |
Doble | Revestimiento heptagonal |
Propiedades | Vértice-transitivo , borde-transitivo , cara-transitivo |
En geometría , el mosaico triangular de orden 7 es un mosaico regular del plano hiperbólico con un símbolo de Schläfli de {3,7}.
Superficies Hurwitz
El grupo de simetría del mosaico es el grupo de triángulos (2,3,7) y un dominio fundamental para esta acción es el triángulo de Schwarz (2,3,7) . Este es el triángulo de Schwarz hiperbólico más pequeño y, por lo tanto, según la demostración del teorema de automorfismos de Hurwitz , el mosaico es el mosaico universal que cubre todas las superficies de Hurwitz (las superficies de Riemann con grupo de simetría máxima), dándoles una triangulación cuyo grupo de simetría es igual a su automorfismo grupo como superficies de Riemann.
El más pequeño de ellos es el cuartico de Klein , la superficie más simétrica del género 3, junto con un mosaico de 56 triángulos, que se encuentran en 24 vértices, con el grupo de simetría el grupo simple de orden 168, conocido como PSL (2,7) . La superficie resultante puede, a su vez, sumergirse poliédricamente en el espacio tridimensional euclidiano, produciendo el pequeño cuboctaedro cúbico . [1]
El mosaico heptagonal de orden 3 dual tiene el mismo grupo de simetría y, por lo tanto, produce mosaicos heptagonales de superficies de Hurwitz.
El grupo de simetría del mosaico triangular de orden 7 tiene el dominio fundamental del triángulo de Schwarz (2,3,7) , que produce este mosaico. | El pequeño cubicuboctaedro es una inmersión poliédrica del cuartico de Klein , [1] que, como todas las superficies de Hurwitz , es un cociente de este mosaico. |
Poliedros y mosaicos relacionados
Está relacionado con dos teselaciones estelares por la misma disposición de vértices : el mosaico heptagramático de orden 7 , {7 / 2,7}, y el mosaico heptagonal de orden heptagmático , {7,7 / 2}.
Este mosaico está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros regulares con el símbolo de Schläfli {3, p}.
* n 32 mutación de simetría de teselaciones regulares: {3, n } | |||||||||||
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Esférico | Euclides. | Hiper compacto. | Paraco. | Hiperbólico no compacto | |||||||
3.3 | 3 3 | 3 4 | 3 5 | 3 6 | 3 7 | 3 8 | 3 ∞ | 3 12i | 3 9i | 3 6i | 3 3i |
De una construcción de Wythoff hay ocho mosaicos uniformes hiperbólicos que pueden basarse en el mosaico heptagonal regular.
Dibujando los mosaicos de color rojo en las caras originales, amarillo en los vértices originales y azul a lo largo de los bordes originales, hay 8 formas.
Azulejos uniformes heptagonales / triangulares | |||||||||||
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Simetría: [7,3], (* 732) | [7,3] + , (732) | ||||||||||
{7,3} | t {7,3} | r {7,3} | t {3,7} | {3,7} | rr {7,3} | tr {7,3} | sr {7,3} | ||||
Duales uniformes | |||||||||||
V7 3 | V3.14.14 | V3.7.3.7 | V6.6.7 | V3 7 | V3.4.7.4 | V4.6.14 | V3.3.3.3.7 |
Ver también
- Nido de abeja tetraédrico Order-7
- Lista de politopos regulares
- Lista de teselaciones planas uniformes
- Mosaicos de polígonos regulares
- Azulejos triangulares
- Azulejos uniformes en plano hiperbólico
Referencias
- ^ a b ( Richter ) Observe que cada cara del poliedro consta de varias caras en el mosaico: dos caras triangulares constituyen una cara cuadrada y así sucesivamente, según esta imagen explicativa .
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 19, Las teselaciones hiperbólicas de Arquímedes)
- "Capítulo 10: panales regulares en el espacio hiperbólico". La belleza de la geometría: doce ensayos . Publicaciones de Dover. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678 .
- Richter, David A., How to Make the Mathieu Group M 24 , consultado el 15 de abril de 2010CS1 maint: ref duplica el valor predeterminado ( enlace )
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Mosaico hiperbólico" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Disco hiperbólico de Poincaré" . MathWorld .
- Galería de mosaico hiperbólico y esférico
- KaleidoTile 3: software educativo para crear mosaicos esféricos, planos e hiperbólicos
- Teselaciones planas hiperbólicas, Don Hatch