En matemáticas , el teorema de la esfera de Reeb , que lleva el nombre de Georges Reeb , establece que
- Una variedad conectada de orientación cerrada M n que admite una foliación singular que solo tiene centros es homeomorfa a la esfera S n y la foliación tiene exactamente dos singularidades.
Foliación Morse
Una singularidad de una foliación F es de tipo Morse si en su pequeña vecindad todas las hojas de la foliación son conjuntos de niveles de una función Morse , siendo la singularidad un punto crítico de la función. La singularidad es un centro si es un extremo local de la función; de lo contrario, la singularidad es una silla de montar .
El número de centros cy el número de sillas de montar., específicamente , está estrechamente conectado con la topología del colector.
Nosotros denotamos , el índice de una singularidad, donde k es el índice del punto crítico correspondiente de una función Morse. En particular, un centro tiene índice 0, el índice de un sillín es al menos 1.
Una foliación Morse F en un colector M es una foliación singular de codimensión uno orientada transversalmente de clase con singularidades aisladas tales que:
- cada singularidad de F es de tipo Morse,
- cada hoja singular L contiene una singularidad única p ; además, si luego no está conectado.
Teorema de la esfera de Reeb
Este es el caso , el caso sin sillas de montar.
Teorema: [1] Sea ser un colector conectado orientado cerrado de dimensión . Asumir que admite un -Foliación de codimensión uno orientada transversalmente con un conjunto no vacío de singularidades todas ellas centros. Entonces el conjunto singular de consta de dos puntos y es homeomorfo a la esfera .
Es una consecuencia del teorema de estabilidad de Reeb .
Generalización
Un caso más general es
En 1978, Edouar Wagneur generalizó el teorema de la esfera de Reeb a las foliaciones de Morse con monturas. Demostró que el número de centros no puede ser demasiado en comparación con el número de sillas de montar, en particular,. Así que hay exactamente dos casos en los que:
- (1)
- (2)
Obtuvo una descripción del múltiple admitiendo una foliación con singularidades que satisfacen (1).
Teorema: [2] Sea Ser un colector compacto conectado que admita una foliación Morse. con centros y sillas de montar. Luego. En caso,
- es homeomorfo a ,
- todos los sillines tienen índice 1,
- cada hoja regular es difeomorfa a .
Finalmente, en 2008, César Camacho y Bruno Scardua consideraron el caso (2), . Esto es posible en un número reducido de dimensiones reducidas.
Teorema: [3] Sea ser un colector conectado compacto y una foliación Morse en . Si, luego
- o ,
- es una variedad Eells-Kuiper .
Referencias
- ↑ Reeb, Georges (1946), "Sur les points singuliers d'une forme de Pfaff complètement intégrable ou d'une fonction numérique", CR Acad. Sci. París (en francés), 222 : 847–849, MR 0015613.
- ^ Wagneur, Edouard (1978), "Formes de Pfaff à singularités non dégénérées" , Annales de l'Institut Fourier (en francés), 28 (3): xi, 165-176, MR 0511820.
- ^ Camacho, César; Scárdua, Bruno (2008), "Sobre foliaciones con singularidades Morse", Proceedings of the American Mathematical Society , 136 (11): 4065–4073, arXiv : math / 0611395 , doi : 10.1090 / S0002-9939-08-09371-4 , MR 2425748.