Teorema de estabilidad de Reeb

En matemáticas , el teorema de estabilidad de Reeb , llamado así por Georges Reeb , afirma que si una hoja de una codimensión -una foliación está cerrada y tiene un grupo fundamental finito , entonces todas las hojas están cerradas y tienen un grupo fundamental finito.

Teorema: ^[1] Sea a , foliación de codimensión de una variedad y una hoja compacta con un grupo de holonomía finito . Existe una vecindad de saturada en (también llamada invariante), en la que todas las hojas son compactas con grupos de holonomía finitos. Además, podemos definir una retracción tal que, para cada hoja , sea un mapa de cobertura con un número finito de hojas y, para cada una , sea homeomorfo a un disco de dimensión k y sea ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle C ^ {1}}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle L}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle L}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle \ pi: U \ a L}$ ${\ Displaystyle L '\ subconjunto U}$ ${\ Displaystyle \ pi | _ {L '}: L' \ a L}$ ${\ Displaystyle y \ in L}$ ${\ Displaystyle \ pi ^ {- 1} (y)}$ transversal a . El vecindario puede considerarse arbitrariamente pequeño. ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle U}$

El último enunciado significa en particular que, en una vecindad del punto correspondiente a una hoja compacta con holonomía finita, el espacio de las hojas es Hausdorff . En determinadas condiciones, el teorema de estabilidad local de Reeb puede reemplazar al teorema de Poincaré-Bendixson en dimensiones superiores. ^[2] Este es el caso de la codimensión uno, foliaciones singulares , con y alguna singularidad de tipo central en . ${\ Displaystyle (M ^ {n}, F)}$ ${\ Displaystyle n \ geq 3}$ ${\ displaystyle Canta (F)}$

Un problema importante en la teoría de la foliación es el estudio de la influencia que ejerce una hoja compacta sobre la estructura global de una foliación . Para ciertas clases de foliaciones, esta influencia es considerable.