En el análisis matemático y en la teoría de la probabilidad , un álgebra σ (también un campo σ ) en un conjunto X es una colección Σ de subconjuntos de X , se cierra bajo complemento y se cierra bajo uniones contables e intersecciones contables . El par ( X , Σ ) se llama espacio medible .
Las σ-álgebras son un subconjunto de las álgebras de conjuntos ; los elementos de este último solo necesitan cerrarse bajo la unión o intersección de un número finito de subconjuntos, que es una condición más débil. [1]
El uso principal de las σ-álgebras está en la definición de medidas ; específicamente, la colección de esos subconjuntos para los cuales se define una medida dada es necesariamente un σ-álgebra. Este concepto es importante en el análisis matemático como base para la integración de Lebesgue y en la teoría de la probabilidad , donde se interpreta como el conjunto de eventos a los que se les pueden asignar probabilidades. Además, en probabilidad, las σ-álgebras son fundamentales en la definición de expectativa condicional .
En estadística , se necesitan (sub) σ-álgebras para la definición matemática formal de una estadística suficiente , [2] particularmente cuando la estadística es una función o un proceso aleatorio y la noción de densidad condicional no es aplicable.
Si X = { a , b , c , d }, una posible σ-álgebra sobre X es Σ = { ∅, { a , b }, { c , d }, { a , b , c , d } }, donde ∅ es el conjunto vacío . En general, un álgebra finita es siempre un álgebra σ.
Si { A 1 , A 2 , A 3 , …} es una partición contable de X , entonces la colección de todas las uniones de conjuntos en la partición (incluido el conjunto vacío) es un σ-álgebra.