Relación reflexiva

Relación binaria que relaciona cada elemento consigo mismo.

Relaciones binarias transitivas
Simétrico Antisimétrico Conectado Bien fundado Tiene uniones Tiene cumple Reflexivo Irreflexivo Asimétrico También conocido como: Total, Semiconnex Antirreflejos Relación de equivalencia ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Preorder (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Orden parcial ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Reserva total ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Orden total ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Ordenamiento previo ✗ ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Bien casi ordenado ✗ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Bien ordenado ✗ ✓ ✓ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ Enrejado ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✓ ✓ ✗ ✗ Unión-semirrejilla ✗ ✓ ✗ ✗ ✓ ✗ ✓ ✗ ✗ Encuentro-semilattice ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✓ ✓ ✗ ✗ Orden parcial estricto ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✓ Orden estrictamente débil ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✓ Orden total estricto ✗ ✗ ✓ ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✓ Simétrico Antisimétrico Conectado Bien fundado Tiene uniones Tiene cumple Reflexivo Irreflexivo Asimétrico Definiciones: ${\displaystyle \scriptstyle {{\text{For all}}\,a,b\,{\text{and}}\,S\neq \varnothing :}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {aRb\Rightarrow bRa}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {aRb\,{\text{and}}\,bRa\Rightarrow a=b}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {a\neq b\Rightarrow aRb\,{\text{or}}\,bRa}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\min S\,{\text{exists}}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {a\vee b\,{\text{exists}}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {a\wedge b\,{\text{exists}}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {aRa}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {{\text{not}}\,aRa}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {aRb\Rightarrow {\text{not}}\,bRa}}$
All definitions tacitly require the homogeneous relation ${\displaystyle R}$ be transitive: ${\displaystyle \scriptstyle {{\text{For all}}\,a,b,c,{\text{ if }}aRb{\text{ and }}bRc{\text{ then }}aRc}.}$ A "✓" indicates that the column property is required in the row definition. For example, the definition of an equivalence relation requires it to be symmetric. Listed here are additional properties that a homogeneous relation may satisfy.

En matemáticas , una relación binaria homogénea R en un conjunto X es reflexiva si relaciona cada elemento de X consigo mismo. ^{[1] [2]}

Un ejemplo de una relación reflexiva es la relación " es igual a " en el conjunto de números reales , ya que todo número real es igual a sí mismo. Se dice que una relación reflexiva tiene la propiedad reflexiva o se dice que posee reflexividad . Junto con la simetría y la transitividad , la reflexividad es una de las tres propiedades que definen las relaciones de equivalencia .

Definiciones

Dejar ${\displaystyle R}$ ser una relación binaria en un conjunto ${\displaystyle X}$, que por definición es solo un subconjunto de ${\displaystyle X\times X.}$ Para cualquier ${\displaystyle x,y\in X,}$ la notación ${\displaystyle xRy}$ significa que ${\displaystyle (x,y)\in R}$ mientras no ${\displaystyle xRy}$" significa que ${\displaystyle (x,y)\not \in R.}$

La relación ${\displaystyle R}$se llama reflexivo si${\displaystyle xRx}$ para cada ${\displaystyle x\in X}$ o de manera equivalente, si ${\displaystyle \operatorname {I} _{X}\subseteq R}$ donde ${\displaystyle \operatorname {I} _{X}:=\{(x,x)~:~x\in X\}}$denota la relación de identidad en${\displaystyle X.}$ El cierre reflexivo de${\displaystyle R}$ es la unión ${\displaystyle R\cup \operatorname {I} _{X},}$ que se puede definir de manera equivalente como el más pequeño (con respecto a ${\displaystyle \,\subseteq }$) relación reflexiva sobre ${\displaystyle X}$eso es un superconjunto de${\displaystyle R.}$ Una relación ${\displaystyle R}$ es reflexiva si y sólo si es igual a su cierre reflexivo.

La reducción reflexiva o núcleo irreflexivo de${\displaystyle R}$ es el más pequeño (con respecto a ${\displaystyle \,\subseteq }$) relación en ${\displaystyle X}$ que tiene el mismo cierre reflexivo que ${\displaystyle R.}$ Es igual a ${\displaystyle R\setminus \operatorname {I} _{X}=\{(x,y)\in R~:~x\neq y\}.}$ El núcleo irreflexivo de ${\displaystyle R}$ puede, en cierto sentido, ser visto como una construcción que es el "opuesto" del cierre reflexivo de ${\displaystyle R.}$ Por ejemplo, el cierre reflexivo de la desigualdad estricta canónica ${\displaystyle \,<\,}$en los reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$ es la desigualdad no estricta habitual ${\displaystyle \,\leq \,}$ mientras que la reducción reflexiva de ${\displaystyle \,\leq \,}$ es ${\displaystyle \,<.}$

Definiciones relacionadas

Existen varias definiciones relacionadas con la propiedad reflexiva. La relación${\displaystyle R}$ se llama:

Irreflexivo oAntirreflejos

Si no relaciona ningún elemento consigo mismo; es decir, si no${\displaystyle xRx}$ para cada ${\displaystyle x\in X.}$Una relación es irreflexiva si y sólo si su complemento en${\displaystyle X\times X}$es reflexivo. Una relación asimétrica es necesariamente irreflexiva. Una relación transitiva e irreflexiva es necesariamente asimétrica.

Cuasi reflexivo izquierdo

Si cuando sea ${\displaystyle x,y\in X}$ son tales que ${\displaystyle xRy,}$ entonces necesariamente ${\displaystyle xRx.}$^[3]

Cuasi reflexivo derecho

Si cuando sea ${\displaystyle x,y\in X}$ son tales que ${\displaystyle xRy,}$ entonces necesariamente ${\displaystyle yRy.}$

Cuasi reflexivo

Si cada elemento que está relacionado con algún elemento también está relacionado con él mismo. Explícitamente, esto significa que siempre que${\displaystyle x,y\in X}$ son tales que ${\displaystyle xRy,}$ entonces necesariamente ${\displaystyle xRx}$ y ${\displaystyle yRy.}$De manera equivalente, una relación binaria es cuasi reflexiva si y solo si es cuasi reflexiva izquierda y cuasi reflexiva derecha. Una relación${\displaystyle R}$es cuasi reflexivo si y solo si su cierre simétrico ${\displaystyle R\cup R^{\operatorname {T} }}$ es cuasi reflexivo izquierdo (o derecho).

Antisimétrico

Si cuando sea ${\displaystyle x,y\in X}$ son tales que ${\displaystyle xRy{\text{ and }}yRx,}$ entonces necesariamente ${\displaystyle x=y.}$

Coreflexivo

Si cuando sea ${\displaystyle x,y\in X}$ son tales que ${\displaystyle xRy,}$ entonces necesariamente ${\displaystyle x=y.}$^[4] Una relación${\displaystyle R}$es coreflexivo si y solo si su cierre simétrico es antisimétrico .

Una relación reflexiva en un conjunto no vacío ${\displaystyle X}$no puede ser irreflexivo ni asimétrico (${\displaystyle R}$se llama asimétrico si${\displaystyle xRy}$ implica no ${\displaystyle yRx}$), ni antitransitivo (${\displaystyle R}$es antitransitivo si${\displaystyle xRy{\text{ and }}yRz}$ implica no ${\displaystyle xRz}$).

Ejemplos

Ejemplos de relaciones reflexivas incluyen:

• "es igual a" ( igualdad )
• "es un subconjunto de" (inclusión de conjuntos)
• "divide" ( divisibilidad )
• "es mayor o igual a"
• "es menor o igual que"

Ejemplos de relaciones irreflexivas incluyen:

• "no es igual a"
• "es coprime a" (para los enteros${\displaystyle >1,}$ ya que 1 es coprime a sí mismo)
• "es un subconjunto adecuado de"
• "es mayor que"
• "es menos que"

Un ejemplo de una relación irreflexiva, lo que significa que no relaciona ningún elemento consigo mismo, es la relación "mayor que" (${\displaystyle x>y}$) sobre los números reales . No toda relación que no sea reflexiva es irreflexiva; es posible definir relaciones donde algunos elementos están relacionados entre sí pero otros no (es decir, ni todos ni ninguno lo están). Por ejemplo, la relación binaria "el producto de${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle y}$es par "es reflexivo sobre el conjunto de números pares , irreflexivo sobre el conjunto de números impares, y no reflexivo ni irreflexivo sobre el conjunto de números naturales .

Un ejemplo de relación cuasi-reflexiva ${\displaystyle R}$es "tiene el mismo límite que" en el conjunto de secuencias de números reales: no todas las secuencias tienen un límite y, por lo tanto, la relación no es reflexiva, pero si una secuencia tiene el mismo límite que alguna secuencia, entonces tiene el mismo límite como él mismo. Un ejemplo de una relación cuasi reflexiva izquierda es una relación euclidiana izquierda , que siempre es cuasi reflexiva izquierda pero no necesariamente cuasi reflexiva derecha y, por tanto, no necesariamente cuasi reflexiva.

Un ejemplo de una relación coreflexiva es la relación de números enteros en la que cada número impar está relacionado consigo mismo y no hay otras relaciones. La relación de igualdad es el único ejemplo de una relación tanto reflexiva como coreflexiva, y cualquier relación coreflexiva es un subconjunto de la relación de identidad. La unión de una relación coreflexiva y una relación transitiva en el mismo conjunto es siempre transitiva.

Número de relaciones reflexivas

El número de relaciones reflexivas en un ${\displaystyle n}$-el conjunto de elementos es ${\displaystyle 2^{n^{2}-n}.}$^[5]

Número de relaciones binarias de n elementos de diferentes tipos

Elementos	Ninguna	Transitivo	Reflexivo	Hacer un pedido	Orden parcial	Reserva total	Orden total	Relación de equivalencia
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	1	1	1	1	1
2	dieciséis	13	4	4	3	3	2	2
3	512	171	64	29	19	13	6	5
4	65,536	3.994	4.096	355	219	75	24	15
norte	2 n 2		2 n 2 - n			${\textstyle \sum _{k=0}^{n}k!}$S ( n , k )	n !	${\textstyle \sum _{k=0}^{n}}$S ( n , k )
OEIS	A002416	A006905	A053763	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

Lógica filosófica

Los autores de lógica filosófica a menudo usan terminología diferente. Las relaciones reflexivas en el sentido matemático se denominan totalmente reflexivas en lógica filosófica, y las relaciones cuasi reflexivas se denominan reflexivas . ^{[6] [7]}

Notas

1. Levy 1979: 74
2. Matemáticas relacionales, 2010
3. La Enciclopedia Británica llama a esta propiedad cuasi-reflexividad.
4. Fonseca de Oliveira, JN y Pereira Cunha Rodrigues, CDJ (2004). Transposición de relaciones: de funciones Maybe a tablas hash. En Matemáticas de la construcción de programas (p. 337).
5. Enciclopedia en línea de secuencias de enteros A053763
6. Alan Hausman; Howard Kahane; Paul Tidman (2013). Lógica y filosofía: una introducción moderna . Wadsworth. ISBN 1-133-05000-X. Aquí: p.327-328
7. DS Clarke; Richard Behling (1998). Lógica deductiva: una introducción a las técnicas de evaluación y la teoría lógica . University Press of America. ISBN 0-7618-0922-8. Aquí: p.187

Referencias

• Levy, A. (1979) Teoría básica de conjuntos , Perspectivas en lógica matemática, Springer-Verlag. Reimpreso en 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5 
• Lidl, R. y Pilz, G. (1998). Álgebra abstracta aplicada , Textos de pregrado en Matemáticas , Springer-Verlag. ISBN 0-387-98290-6 
• Quine, WV (1951). Lógica matemática , edición revisada. Reimpreso en 2003, Harvard University Press. ISBN 0-674-55451-5 
• Gunther Schmidt, 2010. Matemáticas relacionales . Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7 . 

Enlaces externos

• "Reflexividad" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]