En el área matemática de la teoría de nudos , un movimiento de Reidemeister es cualquiera de los tres movimientos locales en un diagrama de enlace . Kurt Reidemeister ( 1927 ) e, independientemente, James Waddell Alexander y Garland Baird Briggs ( 1926 ), demostraron que dos diagramas de nudos pertenecientes al mismo nudo, hasta la isotopía plana , pueden relacionarse mediante una secuencia de los tres movimientos de Reidemeister.
Tipo i | Tipo II | Tipo III |
Tipo i' |
Cada movimiento opera en una pequeña región del diagrama y es de tres tipos:
- Gire y desenrolle en cualquier dirección.
- Mueva un bucle completamente sobre otro.
- Mueva una cuerda completamente por encima o por debajo de un cruce.
Ninguna otra parte del diagrama está involucrada en la imagen de un movimiento, y una isotopía plana puede distorsionar la imagen. La numeración de los tipos de movimientos corresponde a cuántos capítulos están involucrados, por ejemplo, un movimiento de tipo II opera en dos capítulos del diagrama.
Un contexto importante en el que aparecen los movimientos de Reidemeister es en la definición de invariantes de nudos . Al demostrar una propiedad de un diagrama de nudos que no cambia cuando aplicamos cualquiera de los movimientos de Reidemeister, se define una invariante. De esta forma se pueden definir muchos invariantes importantes, incluido el polinomio de Jones .
El tipo que muevo es el único movimiento que afecta el retorcimiento del diagrama. El movimiento de tipo III es el único que no cambia el número de cruce del diagrama.
En aplicaciones como el cálculo de Kirby , en las que la clase de equivalencia deseada de los diagramas de nudos no es un nudo sino un vínculo enmarcado , se debe reemplazar el movimiento de tipo I con un movimiento de "tipo I modificado" (tipo I ') compuesto por dos Movimientos de sentido opuesto. El movimiento de tipo I 'no afecta ni al encuadre del enlace ni al retorcimiento del diagrama de nudos general.
Trace (1983) mostró que dos diagramas de nudos para el mismo nudo están relacionados usando sólo movimientos de tipo II y III si y sólo si tienen el mismo número de retorcimiento y devanado . Además, el trabajo combinado de Östlund (2001) , Manturov (2004) y Hagge (2006) muestra que para cada tipo de nudo hay un par de diagramas de nudos, de modo que cada secuencia de movimientos de Reidemeister que llevan uno al otro debe utilizar los tres tipos. de movimientos. Alexander Coward demostró que para los diagramas de enlaces que representan enlaces equivalentes, hay una secuencia de movimientos ordenados por tipo: primero movimientos de tipo I, luego movimientos de tipo II, tipo III y luego tipo II. Los movimientos anteriores al tipo III aumentan el número de cruces, mientras que los posteriores disminuyen el número de cruces.
Coward y Lackenby (2014) demostraron la existencia de un límite superior de torre exponencial (dependiendo del número de cruce) en el número de movimientos de Reidemeister necesarios para pasar entre dos diagramas del mismo enlace. En detalle, deja ser la suma de los números de cruce de los dos diagramas, entonces el límite superior es donde la altura de la torre de s (con un solo en la parte superior) es
Lackenby (2015) demostró la existencia de un límite superior polinomial (dependiendo del número de cruces) en el número de movimientos de Reidemeister necesarios para cambiar un diagrama del desanudo al desanudo estándar. En detalle, para cualquier diagrama con cruces, el límite superior es .
Hayashi (2005) demostró que también hay un límite superior, dependiendo del número de cruces, en el número de movimientos de Reidemeister necesarios para dividir un enlace .
Referencias
- Medios relacionados con los movimientos de Reidemeister en Wikimedia Commons
- Alexander, James W .; Briggs, Garland B. (1926), "Sobre tipos de curvas anudadas", Annals of Mathematics , 28 (1/4): 562–586, doi : 10.2307 / 1968399 , JSTOR 1968399 , MR 1502807
- Cobarde, Alejandro; Lackenby, Marc (2014), "Un límite superior en los movimientos de Reidemeister" , American Journal of Mathematics , 136 (4): 1023–1066, arXiv : 1104.1882 , doi : 10.1353 / ajm.2014.0027 , MR 3245186 , S2CID 55882290
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- Trace, Bruce (1983), "Sobre los movimientos de Reidemeister de un nudo clásico", Proceedings of the American Mathematical Society , 89 (4): 722–724, doi : 10.2307 / 2044613 , JSTOR 2044613 , MR 0719004