En matemáticas , el cálculo de Kirby en topología geométrica , que lleva el nombre de Robion Kirby , es un método para modificar enlaces enmarcados en las 3 esferas utilizando un conjunto finito de movimientos, los movimientos de Kirby . Usando la teoría de Cerf de cuatro dimensiones , demostró que si M y N son 3-variedades , resultantes de la cirugía de Dehn en los enlaces enmarcados L y J respectivamente, entonces son homeomórficos si y solo si L y Jestán relacionados por una secuencia de movimientos de Kirby. De acuerdo con el teorema de Lickorish-Wallace, cualquier variedad 3 orientable cerrada se obtiene mediante dicha cirugía en algún vínculo de la esfera 3.
Existe cierta ambigüedad en la literatura sobre el uso preciso del término "movimientos de Kirby". Las diferentes presentaciones del "cálculo de Kirby" tienen un conjunto diferente de movimientos y estos a veces se denominan movimientos de Kirby. La formulación original de Kirby incluía dos tipos de movimientos, el "estallido" y el "deslizamiento del mango"; Roger Fenn y Colin Rourke exhibieron una construcción equivalente en términos de un solo movimiento, el movimiento Fenn-Rourke , que aparece en muchas exposiciones y extensiones del cálculo de Kirby. El libro de Dale Rolfsen , Knots and Links , del que muchos topólogos han aprendido el cálculo de Kirby, describe un conjunto de dos movimientos: 1) eliminar o agregar un componente con coeficiente de cirugía infinito 2) girar a lo largo de un componente sin nudos y modificar los coeficientes de cirugía de manera apropiada (esto se llama el giro de Rolfsen ). Esto permite una extensión del cálculo de Kirby a cirugías racionales.
También existen varios trucos para modificar los diagramas de cirugía. Uno de esos movimientos útiles es el slam-dunk .
Se utiliza un conjunto extendido de diagramas y movimientos para describir 4 variedades . Un enlace enmarcado en las 3 esferas codifica las instrucciones para sujetar las 2 asas a la 4 bola. (El límite tridimensional de este colector es la interpretación de 3 colectores del diagrama de enlace mencionado anteriormente).
- un par de 3 bolas (la región de unión del 1 mango) o, más comúnmente,
- círculos sin nudos con puntos.
El punto indica que una vecindad de un disco estándar de 2 con el límite del círculo punteado debe eliminarse del interior de la bola 4. [1] Extirpar este 2-mango es equivalente a agregar un 1-mango; Las 3 asas y las 4 asas generalmente no se indican en el diagrama.
Manejar la descomposición
- Un colector de 4 colectores cerrado y liso generalmente se describe por una descomposición del mango .
- Un mango 0 es solo una bola, y el mapa adjunto es una unión disjunta.
- Se adjunta una manija a lo largo de dos 3 bolas separadas .
- Se adjunta un mango de 2 a lo largo de un toro sólido ; Dado que este toro sólido está incrustado en una variedad de 3 , existe una relación entre las descomposiciones del mango en las variedades de 4 y la teoría de nudos en las variedades de 3.
- Un par de manijas con índice diferente en 1, cuyos núcleos se unen entre sí de una manera suficientemente simple, se pueden cancelar sin cambiar el colector subyacente. De manera similar, se puede crear un par de cancelación de este tipo.
Dos descomposiciones suaves diferentes del cuerpo del mango de un múltiple de 4 suaves están relacionadas por una secuencia finita de isotopías de los mapas adjuntos y la creación / cancelación de pares de mangos.
Ver también
Referencias
- Kirby, Robion (1978). "Un cálculo para enlaces enmarcados en S 3 ". Inventiones Mathematicae . 45 (1): 35–56. doi : 10.1007 / BF01406222 . Señor 0467753 .
- Fenn, Roger; Rourke, Colin (1979). "Sobre el cálculo de enlaces de Kirby". Topología . 18 (1): 1-15. doi : 10.1016 / 0040-9383 (79) 90010-7 . Señor 0528232 .
- Gompf, Robert ; Stipsicz, András (1999). 4-Manifolds y cálculo de Kirby . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 20 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-0994-6. Señor 1707327 .
- ^ "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 14 de mayo de 2012 . Consultado el 2 de enero de 2012 .Mantenimiento de CS1: copia archivada como título ( enlace )