dónde es la velocidad de la luz , es el momento adecuado, es la coordenada de tiempo (medida por un reloj estacionario en el infinito), es la coordenada radial, son los ángulos esféricos, y
En el limite que la carga (o equivalentemente, la escala de tallas ) pasa a cero, se recupera la métrica de Schwarzschild . La teoría clásica newtoniana de la gravedad puede recuperarse en el límite como la relaciónva a cero. En el limite que ambos y va a cero, la métrica se convierte en la métrica de Minkowski para la relatividad especial .
En la práctica, la relación suele ser extremadamente pequeño. Por ejemplo, el radio de Schwarzschild de la Tierra es de aproximadamente 9 mm (3/8 de pulgada ), mientras que un satélite en una órbita geosincrónica tiene un radio orbital.eso es aproximadamente cuatro mil millones de veces más grande, a 42.164 km (26.200 millas ). Incluso en la superficie de la Tierra, las correcciones a la gravedad newtoniana son solo una parte en mil millones. La proporción solo se vuelve grande cerca de los agujeros negros y otros objetos ultra densos como las estrellas de neutrones .
Agujeros negros cargados
Aunque los agujeros negros cargados con r Q ≪ r s son similares al agujero negro de Schwarzschild , tienen dos horizontes: el horizonte de eventos y un horizonte interno de Cauchy . [7] Al igual que con la métrica de Schwarzschild, los horizontes de eventos para el espacio-tiempo se ubican donde el componentediverge eso es donde
Esta ecuación tiene dos soluciones:
Estos horizontes de eventos concéntricos se degeneran durante 2 r Q = r s , lo que corresponde a un agujero negro extremo . Los agujeros negros con 2 r Q > r s no pueden existir en la naturaleza porque si la carga es mayor que la masa, no puede haber un horizonte de eventos físicos (el término debajo de la raíz cuadrada se vuelve negativo). [8] Los objetos con una carga mayor que su masa pueden existir en la naturaleza, pero no pueden colapsar en un agujero negro, y si pudieran, mostrarían una singularidad desnuda . [9] Las teorías con supersimetría generalmente garantizan que tales agujeros negros "superextremales" no pueden existir.
Si se incluyen monopolos magnéticos en la teoría, entonces se obtiene una generalización para incluir la carga magnética P reemplazando Q 2 por Q 2 + P 2 en la métrica e incluyendo el término P cos θ dφ en el potencial electromagnético. [ aclaración necesaria ]
Dados los símbolos de Christoffel, se pueden calcular las geodésicas de una partícula de prueba. [10] [11]
Ecuaciones de movimiento
[12]
Debido a la simetría esférica de la métrica, el sistema de coordenadas siempre se puede alinear de una manera que el movimiento de una prueba de partículas se limita a un plano, por lo que por brevedad y sin restricción de la generalidad usamos θ en lugar de φ . En unidades naturales adimensionales de G = M = c = K = 1 el movimiento de una partícula cargada eléctricamente con la carga q viene dado por
cuyos rendimientos
Todas las derivadas totales son con respecto al tiempo adecuado. .
Las constantes del movimiento son proporcionadas por soluciones. a la ecuación diferencial parcial [13]
después de la sustitución de las segundas derivadas dadas anteriormente. La métrica en sí es una solución cuando se escribe como una ecuación diferencial.
La ecuación separable
Inmediatamente produce el momento angular específico relativista constante
una tercera constante obtenida de
es la energía específica (energía por unidad de masa en reposo) [14]
Sustituyendo y dentro produce la ecuación radial
Multiplicar bajo el signo integral por produce la ecuación orbital
La dilatación del tiempo total entre la partícula de prueba y un observador en el infinito es
Las primeras derivadas y las componentes contravariantes de la velocidad local de 3 están relacionados por
que da las condiciones iniciales
La energía orbital específica
y el momento angular relativo específico
de la partícula de prueba son cantidades conservadas de movimiento. y son las componentes radial y transversal del vector velocidad local. Por tanto, la velocidad local es
Formulación alternativa de métrica
Alternativamente, la métrica se puede expresar así:
Observe que k es un vector unitario . Aquí M es la masa constante del objeto, Q es la carga constante del objeto y η es el tensor de Minkowski .
Ver también
Electrón de agujero negro
Notas
^ Reissner, H. (1916). "Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie" . Annalen der Physik (en alemán). 50 (9): 106-120. Código Bibliográfico : 1916AnP ... 355..106R . doi : 10.1002 / yp.19163550905 .
^Weyl, H. (1917). "Zur Gravitationstheorie" . Annalen der Physik (en alemán). 54 (18): 117-145. Código Bibliográfico : 1917AnP ... 359..117W . doi : 10.1002 / yp.19173591804 .
^Nordström, G. (1918). "Sobre la energía del campo gravitacional en la teoría de Einstein". Verhandl. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap., Afdel. Natuurk., Amsterdam . 26 : 1201–1208. Código bibliográfico : 1918KNAB ... 20.1238N .
^Jeffery, GB (1921). "El campo de un electrón en la teoría de la gravitación de Einstein" . Proc. Roy. Soc. Lond. Una . 99 (697): 123-134. Código bibliográfico : 1921RSPSA..99..123J . doi : 10.1098 / rspa.1921.0028 .
^ Thibault Damour : Agujeros negros: Energética y termodinámica , S. 11 y sigs.
↑ Ashgar Quadir: La repulsión de Reissner Nordström
^Chandrasekhar, S. (1998). La teoría matemática de los agujeros negros (ed. Reimpresa). Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 205. ISBN 0-19850370-9. Archivado desde el original el 29 de abril de 2013 . Consultado el 13 de mayo de 2013 . Y finalmente, el hecho de que la solución Reissner-Nordström tenga dos horizontes, un horizonte de eventos externo y un 'horizonte Cauchy' interno, proporciona un puente conveniente para el estudio de la solución de Kerr en los capítulos siguientes.
^ Andrew Hamilton: La geometría de Reissner Nordström (Casa Colorado)
^ Carter, Brandon . Estructura global de la familia de campos gravitacionales de Kerr , Physical Review , página 174
^ Leonard Susskind : El mínimo teórico: geodésica y gravedad , ( Relatividad general Conferencia 4 , marca de tiempo: 34m18s )
^ Eva Hackmann, Hongxiao Xu: movimiento de partículas cargadas en el espacio-tiempo de Kerr-Newmann
^Nordebo, Jonatan. "La métrica Reissner-Nordström" (PDF) . portal de diva . Consultado el 8 de abril de 2021 .
^Smith, Jr., BR (2009). "Ecuaciones diferenciales parciales de primer orden en dinámica clásica". Soy. J. Phys . 77 : 1147-1153.
^Misner, CW; et al. (1973). Gravitación . WH Freeman Co. págs. 656–658. ISBN 0-7167-0344-0.
Referencias
Adler, R .; Bazin, M .; Schiffer, M. (1965). Introducción a la relatividad general . Nueva York: McGraw-Hill Book Company. págs. 395–401 . ISBN 978-0-07-000420-7.
Wald, Robert M. (1984). Relatividad general . Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago. págs. 158, 312–324. ISBN 978-0-226-87032-8. Consultado el 27 de abril de 2013 .
enlaces externos
diagramas de espacio-tiempo que incluyen el diagrama de Finkelstein y el diagrama de Penrose , por Andrew JS Hamilton
" Partícula moviéndose alrededor de dos agujeros negros extremos " de Enrique Zeleny, Proyecto de demostraciones Wolfram .