En la disciplina matemática del análisis complejo , la capacidad analítica de un subconjunto compacto K del plano complejo es un número que denota "cuán grande" puede llegar a ser una función analítica acotada en C \ K. En términos generales, γ ( K ) mide el tamaño de la bola unidad del espacio de las funciones analíticas delimitadas fuera K .
Fue introducido por primera vez por Lars Ahlfors en la década de 1940 mientras estudiaba la posibilidad de eliminar las singularidades de las funciones analíticas limitadas.
Definición
Deje K ⊂ C sea compacto . Entonces su capacidad analítica se define como
Aquí, denota el conjunto de funciones analíticas acotadas U → C , siempre que U es un subconjunto abierto del plano complejo . Más,
Tenga en cuenta que , dónde . Sin embargo, por lo general.
Si A ⊂ C es un conjunto arbitrario, entonces definimos
Conjuntos extraíbles y el problema de Painlevé
El conjunto compacto K se llama removible si, siempre que Ω es un conjunto abierto que contiene K , cada función que está acotada y holomórfica en el conjunto Ω \ K tiene una extensión analítica para todo Ω. Según el teorema de Riemann para singularidades removibles , cada singleton es removible. Esto motivó a Painlevé a plantear una pregunta más general en 1880: "¿Qué subconjuntos de C son removibles?"
Es fácil ver que K es removible si y solo si γ ( K ) = 0. Sin embargo, la capacidad analítica es un concepto puramente analítico complejo, y es necesario trabajar mucho más para obtener una caracterización más geométrica.
Función Ahlfors
Para cada K ⊂ C compacto , existe una función extrema única, es decir tal que , f (∞) = 0 y f ′ (∞) = γ ( K ). Esta función se llama la función Ahlfors de K . Su existencia puede demostrarse utilizando un argumento familiar normal que involucre el teorema de Montel .
Capacidad analítica en términos de dimensión de Hausdorff
Deje dim H denotan dimensión de Hausdorff y H 1 denotan 1-dimensional medida de Hausdorff . Entonces H 1 ( K ) = 0 implica γ ( K ) = 0 mientras que dim H ( K )> 1 garantiza γ ( K )> 0. Sin embargo, el caso cuando dim H ( K ) = 1 y H 1 ( K ) ∈ (0, ∞] es más difícil.
Longitud positiva pero capacidad analítica nula
Dada la correspondencia parcial entre la medida de Hausdorff unidimensional de un subconjunto compacto de C y su capacidad analítica, se podría conjeturar que γ ( K ) = 0 implica H 1 ( K ) = 0. Sin embargo, esta conjetura es falsa. AG Vitushkin dio primero un contraejemplo , y John B. Garnett, en su artículo de 1970 , uno mucho más simple . Este último ejemplo es el conjunto Cantor lineal de cuatro esquinas , construido de la siguiente manera:
Sea K 0 : = [0, 1] × [0, 1] el cuadrado unitario. Entonces, K 1 es la unión de 4 cuadrados de lado 1/4 y estos cuadrados están ubicados en las esquinas de K 0 . En general, K n es la unión de 4 n cuadrados (denotado por) de lado 4 - n , cada uno estar en la esquina de algunos . Tome K como la intersección de todos los K n entoncespero γ ( K ) = 0.
Conjetura de Vitushkin
Sea K ⊂ C un conjunto compacto. La conjetura de Vitushkin establece que
dónde denota la proyección ortogonal en la dirección θ. Según los resultados descritos anteriormente, la conjetura de Vitushkin es cierta cuando dim H K ≠ 1.
Guy David publicó una prueba en 1998 de la conjetura de Vitushkin para el caso dim H K = 1 y H 1 ( K ) <∞. En 2002, Xavier Tolsa demostró que la capacidad analítica es contablemente semiaditiva. Es decir, existe una constante absoluta C > 0 tal que si K ⊂ C es un conjunto compacto y, Donde cada K i es un conjunto Borel, entonces.
Los teoremas de David y Tolsa juntos implican que la conjetura de Vitushkin es cierta cuando K es H 1 - sigma-finito . Sin embargo, la conjetura aún está abierta para K, que son unidimensionales y no H 1 -sigma-finito.
Referencias
- Mattila, Pertti (1995). Geometría de conjuntos y medidas en espacios euclidianos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-65595-1.
- Pajot, Hervé (2002). Capacidad analítica, rectificabilidad, curvatura de Menger y la integral de Cauchy . Apuntes de clase en matemáticas. Springer-Verlag.
- J. Garnett, Longitud positiva pero capacidad analítica cero, Proc. Amer. Matemáticas. Soc. 21 (1970), 696–699
- G. David, Los conjuntos 1 no rectificables tienen una capacidad analítica que desaparece, Rev. Math. Iberoam. 14 (1998) 269–479
- Dudziak, James J. (2010). Conjetura de Vitushkin para conjuntos extraíbles . Universitext. Springer-Verlag. ISBN 978-14419-6708-4.
- Tolsa, Xavier (2014). Capacidad analítica, transformada de Cauchy y teoría no homogénea de Calderón-Zygmund . Progreso en Matemáticas. Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-319-00595-9.