Teorema de picard

En el análisis complejo , el gran teorema de Picard y el pequeño teorema de Picard son teoremas relacionados sobre el rango de una función analítica . Llevan el nombre de Émile Picard .

Los teoremas

Gráfico de la función exp ( 1 ⁄ z ), centrada en la singularidad esencial en z = 0. El tono de un punto z representa el argumento de exp ( 1 ⁄ z ), la luminancia representa su valor absoluto. Este gráfico muestra que arbitrariamente cerca de la singularidad, se alcanzan todos los valores distintos de cero.

Teorema de Little Picard: Si una función f : C → C es completa y no constante, entonces el conjunto de valores que asume f ( z ) es el plano complejo completo o el plano menos un solo punto.

Bosquejo de la prueba: la prueba original de Picard se basó en las propiedades de la función lambda modular , generalmente denotada por λ, y que realiza, usando terminología moderna, la cobertura universal holomórfica del plano dos veces perforado por el disco unitario. Esta función se construye explícitamente en la teoría de funciones elípticas . Si f omite dos valores, entonces la composición de f con la inversa de la función modular mapea el plano en el disco unitario, lo que implica que f es constante según el teorema de Liouville.

Este teorema es un fortalecimiento significativo del teorema de Liouville que establece que la imagen de una función no constante completa debe ser ilimitada . Más tarde se encontraron muchas pruebas diferentes del teorema de Picard y el teorema de Schottky es una versión cuantitativa del mismo. En el caso de que a los valores de f les falte un solo punto, este punto se llama valor lacunar de la función.

Teorema del gran Picard: si una función analítica f tiene una singularidad esencial en un punto w , entonces en cualquier vecindario perforado de w , f ( z ) toma todos los valores complejos posibles, con una sola excepción como máximo, infinitamente a menudo.

Este es un fortalecimiento sustancial del teorema de Casorati-Weierstrass , que solo garantiza que el rango de f es denso en el plano complejo. Un resultado del Gran Teorema de Picard es que cualquier función no polinomial completa alcanza todos los valores complejos posibles infinitamente a menudo, con como máximo una excepción.

La "única excepción" es necesaria en ambos teoremas, como se demuestra aquí:

e ^z es una función no constante completa que nunca es 0,
e ^{1 / z} tiene una singularidad esencial en 0, pero nunca alcanza 0 como valor.

Generalización e investigación actual

El teorema de Great Picard es cierto en una forma un poco más general que también se aplica a las funciones meromórficas :

Teorema de Gran Picard (versión meromorphic): Si M es una superficie de Riemann , w un punto en M , P ¹ ( C ) = C ∪ {∞} denota la esfera de Riemann y f : M \ { w } → P ¹ ( C ) es una función holomorfa con singularidad esencial en w , a continuación, en cualquier subconjunto abierto de M que contiene w , la función f ( z ) alcanza todos, pero en la mayoría de los dos puntos deP ¹ ( C ) infinitamente a menudo.

Ejemplo: La función f ( z ) = 1 / (1 - e ^{1 / z} ) es meromórfica en C * = C - {0}, el plano complejo con el origen eliminado. Tiene una singularidad esencial en z = 0 y alcanza el valor ∞ infinitamente a menudo en cualquier vecindad de 0; sin embargo, no alcanza los valores 0 o 1.

Con esta generalización, el teorema de Little Picard se sigue del gran teorema de Picard porque una función completa es un polinomio o tiene una singularidad esencial en el infinito. Al igual que con el pequeño teorema, los (como máximo dos) puntos que no se alcanzan son valores lacunares de la función.

La siguiente conjetura está relacionada con el "Teorema del Gran Picard": ^[1]

Conjetura: Sea { U ₁ , ..., U _n } una colección de subconjuntos conectados abiertos de C que cubren el disco unitario perforado D \ {0}. Suponga que en cada U _j hay una función holomórfica inyectiva f _j , tal que d f _j = d f _k en cada intersección U _j ∩ U _k . A continuación, los diferenciales de pegar juntos para un meromorphic 1- forma en D .

Está claro que los diferenciales se unen en una forma 1 holomórfica g d z en D \ {0}. En el caso especial donde el residuo de g en 0 es cero, la conjetura se sigue del "Teorema del Gran Picard".

Notas

^ Elsner, B. (1999). "Acción hiperelíptica integral" (PDF) . Annales de l'Institut Fourier . 49 (1): 303–331. doi : 10.5802 / aif.1675 .

Referencias

Conway, John B. (1978). Funciones de una variable compleja I (2ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-90328-3.
Shurman, Jerry. "Bosquejo del teorema de Picard" (PDF) . Consultado el 18 de mayo de 2010 .

[1] Elsner, B. (1999). "Acción hiperelíptica integral" (PDF) . Annales de l'Institut Fourier . 49 (1): 303–331. doi : 10.5802 / aif.1675 .

[1]