En matemáticas , la teoría de la representación del grupo de Poincaré es un ejemplo de la teoría de la representación de un grupo de Lie que no es ni un grupo compacto ni un grupo semisimple . Es fundamental en la física teórica .
En una teoría física que tiene el espacio de Minkowski como el espacio-tiempo subyacente , el espacio de los estados físicos es típicamente una representación del grupo de Poincaré. (De manera más general, puede ser una representación proyectiva , que equivale a una representación de la doble cobertura del grupo).
En una teoría de campo clásica , los estados físicos son secciones de un paquete vectorial equivariante de Poincaré sobre el espacio de Minkowski. La condición de equivariancia significa que el grupo actúa sobre el espacio total del paquete de vectores y la proyección al espacio de Minkowski es un mapa equivariante . Por tanto, el grupo de Poincaré también actúa sobre el espacio de las secciones. Las representaciones que surgen de esta forma (y sus subquotientes) se denominan representaciones de campo covariante y no suelen ser unitarias.
Para una discusión de tales representaciones unitarias , vea la clasificación de Wigner .
En mecánica cuántica, el estado del sistema está determinado por la ecuación de Schrödinger, que es invariante bajo las transformaciones galileanas. La teoría cuántica de campos es la extensión relativista de la mecánica cuántica, donde las ecuaciones de onda relativistas (invariantes de Lorentz / Poincaré) se resuelven, "cuantifican" y actúan sobre un espacio de Hilbert compuesto por estados de Fock; Estados propios del hamiltoniano de la teoría, que son estados con un número definido de partículas con 4 momentos individuales.
No hay representaciones unitarias finitas de las transformaciones completas de Lorentz (y por lo tanto de Poincaré) debido a la naturaleza no compacta de los impulsos de Lorentz (rotaciones en el espacio de Minkowski a lo largo de un eje de espacio y tiempo). Sin embargo, existen representaciones finitas no unitarias e indecomposibles del álgebra de Poincaré, que pueden usarse para modelar partículas inestables. [1] [2]
En el caso de partículas de espín 1/2, es posible encontrar una construcción que incluya tanto una representación de dimensión finita como un producto escalar conservado por esta representación mediante la asociación de un espinor de Dirac de 4 componentes. con cada partícula. Estos espinores se transforman bajo transformaciones de Lorentz generadas por las matrices gamma (). Se puede demostrar que el producto escalar
se conserva. Sin embargo, no es positivo definido, por lo que la representación no es unitaria.
Referencias
- Greiner, W .; Müller, B. (1994). Mecánica cuántica: simetrías (2ª ed.). Saltador. ISBN 978-3540580805.
- Greiner, W .; Reinhardt, J. (1996), Cuantización de campo , Springer, ISBN 978-3-540-59179-5
- Harish-Chandra (1947), "Infinitas representaciones irreductibles del grupo de Lorentz", Proc. Roy. Soc. A , 189 (1018): 372–401, Bibcode : 1947RSPSA.189..372H , doi : 10.1098 / rspa.1947.0047
- Hall, Brian C. (2015), grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, doi : 10.1007 / 978-3-319-13467-3 , ISBN 978-3319134666, ISSN 0072-5285
- Wigner, EP (1939), "Sobre representaciones unitarias del grupo de Lorentz no homogéneo", Annals of Mathematics , 40 (1): 149-204, Bibcode : 1939AnMat..40..149W , doi : 10.2307 / 1968551 , JSTOR 1968551 , Señor 1503456.
Notas
- ^ Lenczewski, R .; Gruber, B. (1986). "Representaciones indecomponibles del álgebra de Poincaré" . Revista de Física A: Matemática y General . 19 (1): 1–20. doi : 10.1088 / 0305-4470 / 19/1/006 . ISSN 0305-4470 .
- ^ Paneitz, Stephen M. (1984). "Todas las representaciones lineales del grupo de Poincaré hasta la dimensión 8" . Annales de l'IHP Physique théorique . 40 (1): 35–57.
Ver también
- Clasificación de Wigner
- Teoría de la representación del grupo de Lorentz
- Teoría de la representación del grupo galileo
- Teoría de la representación de grupos de difeomorfismo
- Física de partículas y teoría de la representación.
- Simetría en mecánica cuántica
- Centro de masa (relativista)