En matemáticas y física teórica , la clasificación de Wigner es una clasificación de las representaciones unitarias irreductibles de energía no negativa ( E ≥ 0) del grupo de Poincaré que tienen agudo [ cuando se define como? ] valores propios de masa . (Dado que este grupo no es compacto, estas representaciones unitarias son de dimensión infinita). Fue introducido por Eugene Wigner para clasificar partículas y campos en física; consulte el artículo sobre física de partículas y teoría de la representación . Se basa en los subgrupos estabilizadores de ese grupo, denominado el Pequeños grupos de Wigner de varios estados de masas.
Los invariantes de Casimir del grupo de Poincaré son C 1 = P μ P μ , donde P es el operador de 4 momentos , y C 2 = W α W α , donde W es el pseudovector de Pauli-Lubanski . Los valores propios de estos operadores sirven para etiquetar las representaciones. El primero está asociado con masa al cuadrado y el segundo con helicidad o giro .
Por tanto, las representaciones físicamente relevantes pueden clasificarse según m > 0 ; m = 0 pero P 0 > 0 ; y m = 0 con P μ = 0 . Wigner descubrió que las partículas sin masa son fundamentalmente diferentes de las partículas masivas.
- Para el primer caso, observe que el espacio propio (ver espacios propios generalizados de operadores ilimitados ) asociado con P = ( m, 0,0,0 ) es una representación de SO (3) . En la interpretación del rayo , uno puede pasar a Spin (3) en su lugar. Entonces, los estados masivos se clasifican por una representación unitaria Spin (3) irreducible que caracteriza su espín , y una masa positiva, m .
- Para el segundo caso, observe el estabilizador de P = ( k, 0,0, -k ) . Esta es la doble portada de SE (2) (ver representación de rayo unitario ). Tenemos dos casos, uno donde los irreps se describen mediante un múltiplo integral de 1/2 llamado helicidad , y el otro llamado representación de "espín continuo".
- El último caso describe el vacío . La única solución unitaria de dimensión finita es la representación trivial llamada vacío.
Campos escalares masivos
Como ejemplo, visualicemos la representación unitaria irreductible con m > 0 y s = 0 . Corresponde al espacio de campos escalares masivos .
Sea M la hoja hiperboloide definida por:
- , .
La métrica de Minkowski se restringe a una métrica de Riemann en M , dando a M la estructura métrica de un espacio hiperbólico , en particular es el modelo hiperboloide del espacio hiperbólico, ver geometría del espacio de Minkowski para la prueba. El grupo de Poincaré P actúa sobre M porque (olvidando la acción del subgrupo de traducción ℝ 4 con adición dentro de P ) conserva el producto interno de Minkowski , y un elemento x del subgrupo de traducción ℝ 4 del grupo de Poincaré actúa sobre L 2 (M ) por multiplicación por adecuado multiplicadores de fase exp (- i p · x ) , donde p ∈ M . Estas dos acciones se pueden combinar de manera inteligente utilizando representaciones inducidas para obtener una acción de P sobre L 2 (M) que combina movimientos de M y multiplicación de fase.
Esto produce una acción del grupo de Poincaré sobre el espacio de funciones cuadradas integrables definidas en la hipersuperficie M en el espacio de Minkowski. Estos pueden verse como medidas definidas en el espacio de Minkowski que se concentran en el conjunto M definido por
- ,
La transformada de Fourier (en las cuatro variables) de tales medidas produce soluciones de energía positiva, [ aclaración necesaria ] de energía finita de la ecuación de Klein-Gordon definida en el espacio de Minkowski, a saber
sin unidades físicas. De esta forma, la representación irreducible m > 0, s = 0 del grupo de Poincaré se realiza mediante su acción sobre un espacio adecuado de soluciones de una ecuación de onda lineal.
La teoría de las representaciones proyectivas
Físicamente, uno está interesado en representaciones unitarias proyectivas irreductibles del grupo de Poincaré. Después de todo, dos vectores en el espacio cuántico de Hilbert que se diferencian por multiplicación por una constante representan el mismo estado físico. Así, dos operadores unitarios que se diferencian por un múltiplo de la identidad tienen la misma acción sobre los estados físicos. Por lo tanto, los operadores unitarios que representan la simetría de Poincaré solo se definen hasta una constante y, por lo tanto, la ley de composición de grupo solo necesita mantenerse hasta una constante.
Según el teorema de Bargmann , toda representación unitaria proyectiva del grupo de Poincaré viene por una representación unitaria ordinaria de su cobertura universal, que es una doble cobertura. (El teorema de Bargmann se aplica porque la doble cobertura del grupo de Poincaré no admite extensiones centrales unidimensionales no triviales ).
Pasar a la doble cobertura es importante porque permite casos de giro medio entero impar. En el caso de masa positiva, por ejemplo, el grupo pequeño es SU (2) en lugar de SO (3); las representaciones de SU (2) incluyen tanto los casos de espín enteros como los de números enteros impares.
Dado que el criterio general en el teorema de Bargmann no se conocía cuando Wigner hizo su clasificación, necesitaba mostrar a mano (Sección 5 del artículo) que las fases se pueden elegir en los operadores para reflejar la ley de composición en el grupo, hasta una signo, que luego se contabiliza pasando a la doble portada del grupo Poincaré.
Más información
Quedan fuera de esta clasificación las soluciones taquónicas , las soluciones sin masa fija, las infrapartículas sin masa fija, etc. Estas soluciones son de importancia física, cuando se consideran los estados virtuales. Un ejemplo célebre es el caso de la dispersión inelástica profunda , en la que se intercambia un fotón virtual similar al espacio entre el leptón entrante y el hadrón entrante . Esto justifica la introducción de fotones polarizados transversal y longitudinalmente, y del concepto relacionado de funciones de estructura transversal y longitudinal, al considerar estos estados virtuales como sondas efectivas del contenido interno de quarks y gluones de los hadrones. Desde un punto de vista matemático, se considera el grupo SO (2,1) en lugar del grupo SO (3) habitual que se encuentra en el caso masivo habitual discutido anteriormente. Esto explica la aparición de dos vectores de polarización transversal. y que satisfacen y , para ser comparado con el caso habitual de un bosón que tiene tres vectores de polarización , cada uno de ellos satisfaciendo .
Ver también
- Representación inducida
- Teoría de la representación del grupo difeomorfismo
- Teoría de la representación del grupo galileo
- Teoría de la representación del grupo de Poincaré
- Sistema de imprimibilidad
- Pseudovector de Pauli – Lubanski
Referencias
- Bargmann, V .; Wigner, EP (1948). "Discusión teórica grupal de ecuaciones de onda relativistas" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA 34 (5): 211–23. Código Bibliográfico : 1948PNAS ... 34..211B . doi : 10.1073 / pnas.34.5.211 . PMC 1079095 . PMID 16578292 .
- Mackey, George (1978). Representaciones de grupos unitarios en física, probabilidad y teoría de números . Serie de notas de conferencias de matemáticas. 55 . The Benjamin / Cummings Publishing Company . ISBN 978-0805367034..
- Sternberg, Shlomo (1994). Teoría y Física de Grupos . Prensa de la Universidad de Cambridge . Sección 3.9. (Clasificación de Wigner). ISBN 978-0521248709.
- Tung, Wu-Ki (1985). Teoría de grupos en física . Compañía Editorial Científica Mundial . Capítulo 10. (Representaciones del grupo de Lorentz y del grupo de Poincaré; clasificación de Wigner). ISBN 978-9971966577.
- Weinberg, S (2002), The Quantum Theory of Fields, vol I , Cambridge University Press, Capítulo 2 (Mecánica cuántica relativista) , ISBN 0-521-55001-7
- Wigner, EP (1939), "Sobre representaciones unitarias del grupo de Lorentz no homogéneo", Annals of Mathematics , 40 (1): 149-204, Bibcode : 1939AnMat..40..149W , doi : 10.2307 / 1968551 , JSTOR 1968551 , Señor 1503456