Anillo de cociente

En la teoría de anillos , una rama del álgebra abstracta , un anillo de cociente , también conocido como anillo de factor , anillo de diferencia ^[1] o anillo de clase de residuo , es una construcción bastante similar al grupo del cociente en la teoría de grupos y al espacio del cociente en el álgebra lineal. . ^[2]^[3] Es un ejemplo específico de cociente , visto desde el marco general del álgebra universal . Comenzando con un anillo R y un ideal de dos caras I enR , se construye un nuevo anillo, el anillo cociente R / I , cuyos elementos son las clases laterales de I en R sujetos a operaciones especiales + y ⋅ .

Los anillos de cociente son distintos del llamado "campo de cociente", o campo de fracciones , de un dominio integral , así como de los "anillos de cociente" más generales obtenidos por localización .

Dado un anillo y un ideal de dos lados en , podemos definir una relación de equivalencia de la siguiente manera: ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle I}$ ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle \ sim}$ ${\ Displaystyle R}$

Usando las propiedades ideales, no es difícil comprobar que se trata de una relación de congruencia . En caso de que decimos que y son módulo congruentes . La clase de equivalencia del elemento en viene dada por ${\ Displaystyle \ sim}$ ${\ Displaystyle a \ sim b}$ ${\ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle I}$ ${\ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle R}$

Esta clase de equivalencia a veces también se escribe y se denomina "clase de residuo de módulo ". ${\ Displaystyle a {\ bmod {I}}}$ ${\ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle I}$

El conjunto de todas esas clases de equivalencia se denota por ; se convierte en un anillo, el anillo factor o anillo cociente de módulo , si se define ${\ Displaystyle R / I}$ ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle I}$