En matemáticas , un álgebra cociente es el resultado de dividir los elementos de una estructura algebraica usando una relación de congruencia . Las álgebras de cocientes también se denominan álgebras de factores . Aquí, la relación de congruencia debe ser una relación de equivalencia que sea adicionalmente compatible con todas las operaciones del álgebra, en el sentido formal que se describe a continuación. Sus clases de equivalencia dividen los elementos de la estructura algebraica dada. El álgebra del cociente tiene estas clases como elementos y las condiciones de compatibilidad se utilizan para dar a las clases una estructura algebraica.[1]
La idea del álgebra del cociente abstrae en una noción común la estructura del cociente de los anillos del cociente de la teoría de anillos , los grupos del cociente de la teoría de grupos , los espacios del cociente del álgebra lineal y los módulos del cociente de la teoría de la representación en un marco común.
Relación compatible
Sea A el conjunto de elementos de un álgebra, Y dejar que E sea una relación de equivalencia en el conjunto A . Se dice que la relación E es compatible con (o tiene la propiedad de sustitución con respecto a) una operación n -aria f , si por implica para cualquier con . Una relación de equivalencia compatible con todas las operaciones de un álgebra se llama congruencia con respecto a este álgebra.
Álgebras de cocientes y homomorfismos
Cualquier relación de equivalencia E en un conjunto A divide este conjunto en clases de equivalencia . El conjunto de estas clases de equivalencia se suele llamar el conjunto cociente , y denota A / E . Para un álgebra, es sencillo definir las operaciones inducidas en los elementos de A / E si E es una congruencia. En concreto, para cualquier operaciónde aridad en (donde el superíndice simplemente denota que es una operación en y el subíndice enumera las funciones en y sus aridades) definen como , dónde denota la clase de equivalencia de generado por E (" x módulo E ").
Para un álgebra , dada una congruencia E en, el álgebra se llama álgebra del cociente (o álgebra de factores ) demódulo E . Hay un homomorfismo natural de a mapeando cada elemento a su clase de equivalencia. De hecho, todo homomorfismo h determina una relación de congruencia a través del núcleo del homomorfismo,.
Dado un álgebra , un homomorfismo h define así dos álgebras homomórficas a, la imagen h () y Los dos son isomorfos , un resultado conocido como el teorema de la imagen homomórfica o como el primer teorema del isomorfismo para el álgebra universal. Formalmente, dejaser un homomorfismo sobreyectivo . Entonces, existe un isomorfismo único g de sobre tal que g compuesto con el homomorfismo natural inducido pores igual a h .
Celosía de congruencia
Por cada álgebra en el conjunto A , la relación de identidad en A, yson congruencias triviales. Un álgebra sin otras congruencias se llama simple .
Dejar ser el conjunto de congruencias en el álgebra . Debido a que las congruencias se cierran en la intersección, podemos definir una operación de encuentro : simplemente tomando la intersección de las congruencias .
Por otro lado, las congruencias no se cierran bajo unión. Sin embargo, podemos definir el cierre de cualquier relación binaria E , con respecto a un álgebra fija, de manera que sea una congruencia, de la siguiente manera: . Tenga en cuenta que el cierre de una relación binaria es una congruencia y, por lo tanto, depende de las operaciones en, no solo en el conjunto de soporte. Ahora define como .
Por cada álgebra , con las dos operaciones definidas anteriormente forma una red , llamada red de congruencia de.
Condiciones de Maltsev
Si dos congruencias permutan (conmutan) con la composición de relaciones como operación, es decir, entonces su unión (en la red de congruencia) es igual a su composición: . Un álgebra se llama congruencia-permutable si cada par de sus congruencias permuta; Asimismo, se dice que una variedad es congruente-permutable si todos sus miembros son álgebras congruencia-permutables.
En 1954, Anatoly Maltsev estableció la siguiente caracterización de las variedades congruentes-permutables: una variedad es congruente permutable si y solo si existe un término ternario q ( x , y , z ) tal que q ( x , y , y ) ≈ x ≈ q ( y , y , x ) ; esto se llama un término de Maltsev y las variedades con esta propiedad se denominan variedades de Maltsev. La caracterización de Maltsev explica una gran cantidad de resultados similares en grupos (tome q = xy −1 z ), anillos, cuasigrupos (tome q = (x / (y \ y)) (y \ z)) , celosías complementadas , álgebras de Heyting , etc. Además, cada álgebra permutable congruencia es congruencia-modular, es decir, su red de congruencias es también red modular ; Sin embargo, lo contrario no es cierto.
Después del resultado de Maltsev, otros investigadores encontraron caracterizaciones basadas en condiciones similares a las encontradas por Maltsev pero para otros tipos de propiedades, por ejemplo, en 1967 Bjarni Jónsson encontró las condiciones para las variedades que tienen redes de congruencia que son distributivas (llamadas variedades congruencia-distributivas). Genéricamente, estas condiciones se denominan condiciones de Maltsev.
Esta línea de investigación condujo al algoritmo Pixley-Wille para generar condiciones de Maltsev asociadas con identidades congruentes. [2]
Ver también
Notas
- ^ AG Kurosh, Conferencias sobre álgebra general, traducido de la edición rusa (Moscú, 1960), Chelsea, Nueva York, 1963.
- ^ Keith Kearnes; Emil W. Kiss (2013). La forma de las celosías de congruencia . American Mathematical Soc. pag. 4. ISBN 978-0-8218-8323-5.
Referencias
- Klaus Denecke; Shelly L. Wismath (2009). Álgebra universal y coalgebra . World Scientific. págs. 14-17. ISBN 978-981-283-745-5.
- Purna Chandra Biswal (2005). Matemáticas discretas y teoría de grafos . PHI Learning Pvt. Ltd. p. 215. ISBN 978-81-203-2721-4.
- Clifford Bergman (2011). Álgebra universal: fundamentos y temas seleccionados . Prensa CRC. pp. 122-124, 137 (variedades Maltsev). ISBN 978-1-4398-5129-6.