En matemáticas , una forma lineal (también conocida como funcional lineal , [1] una forma o un covector ) es un mapa lineal desde un espacio vectorial a su campo de escalares (a menudo, los números reales o los números complejos ) .
Si V es un espacio vectorial sobre un campo k , el conjunto de todos los funcionales lineales de V a k es en sí mismo un espacio vectorial sobre k con la suma y la multiplicación escalar definidas puntualmente . Este espacio se denomina espacio dual de V , o algunas veces espacio dual algebraico , cuando también se considera un espacio dual topológico . A menudo se denota Hom ( V , k ) , [2] o, cuando el campo está entendido, ; [3] también se utilizan otras notaciones, como, [4] [5] o [2] Cuando los vectores están representados por vectores de columna (como es común cuando una base es fija), los funcionales lineales se representan como vectores de fila , y sus valores en vectores específicos están dados por productos matriciales (con el vector de fila a la izquierda ).
Ejemplos de
La "función cero constante", que asigna cada vector a cero, es trivialmente una función lineal. Todos los demás funcionales lineales (como los que se muestran a continuación) son sobreyectivos (es decir, su rango es todo de k ).
Funcionales lineales en R n
Suponga que los vectores en el espacio de coordenadas real se representan como vectores de columna
Para cada vector de fila [ a 1 ⋯ a n ] hay una f funcional lineal definida por
y cada funcional lineal se puede expresar de esta forma.
Esto se puede interpretar como el producto matricial o el producto escalar del vector fila [ a 1 ⋯ a n ] y el vector columna:
Integración (Definida)
Los funcionales lineales aparecieron por primera vez en el análisis funcional , el estudio de espacios vectoriales de funciones . Un ejemplo típico de un funcional lineal es la integración : la transformación lineal definida por la integral de Riemann
es un funcional lineal desde el espacio vectorial C [ a , b ] de funciones continuas en el intervalo [ a , b ] a los números reales. La linealidad de I se deriva de los hechos estándar sobre la integral:
Evaluación
Sea P n el espacio vectorial de funciones polinomiales de valor real de grado ≤ n definidas en un intervalo [ a , b ]. Si c ∈ [ a , b ] , entonces seaser la evaluación funcional
El mapeo f → f ( c ) es lineal ya que
Si x 0 ,…, x n son n + 1 puntos distintos en [ a , b ] , entonces los funcionales de evaluación ev x i , i = 0, 1,…, n forman una base del espacio dual de P n . ( Lax (1996) prueba este último hecho utilizando la interpolación de Lagrange ).
No es un ejemplo
Una función f que tiene la ecuación de una línea f ( x ) = a + rx con a ≠ 0 (por ejemplo, f ( x ) = 1 + 2 x ) no es una funcional lineal, ya que no es lineal . [nb 1] Sin embargo, es afín-lineal .
Visualización
En dimensiones finitas, un funcional lineal se puede visualizar en términos de sus conjuntos de niveles , los conjuntos de vectores que se asignan a un valor dado. En tres dimensiones, los conjuntos de niveles de un funcional lineal son una familia de planos mutuamente paralelos; en dimensiones superiores, son hiperplanos paralelos . Este método de visualizar funcionales lineales se introduce a veces en textos de relatividad general , como Gravitation de Misner, Thorne y Wheeler (1973) .
Aplicaciones
Aplicación a la cuadratura
Si x 0 ,…, x n son n + 1 puntos distintos en [ a , b ] , entonces los funcionales lineales ev x i : f → f ( x i ) definidos anteriormente forman una base del espacio dual de P n , el espacio de polinomios de grado ≤ n . El funcional de integración I también es un funcional lineal en P n , por lo que puede expresarse como una combinación lineal de estos elementos básicos. En los símbolos, hay coeficientes a 0 ,…, a n para los cuales
para todo f ∈ P n . Esto forma la base de la teoría de la cuadratura numérica . [6]
En mecánica cuántica
Los funcionales lineales son particularmente importantes en la mecánica cuántica . Sistemas mecánicos cuánticos están representados por los espacios de Hilbert , que son contra - isomorfo a sus propios espacios duales. Un estado de un sistema mecánico cuántico se puede identificar con un funcional lineal. Para obtener más información, consulte la notación bra-ket .
Distribuciones
En la teoría de funciones generalizadas , ciertos tipos de funciones generalizadas llamadas distribuciones pueden realizarse como funcionales lineales en espacios de funciones de prueba .
Vectores duales y formas bilineales
Toda forma bilineal no degenerada en un espacio vectorial de dimensión finita V induce un isomorfismo V → V ∗ : v ↦ v ∗ tal que
donde la forma bilineal en V se denota ⟨,⟩ (por ejemplo, en el espacio euclidiano ⟨ v , w ⟩ = v ⋅ w es el producto escalar de v y w ).
El isomorfismo inverso es V ∗ → V : v ∗ ↦ v , donde v es el elemento único de V tal que
El vector se ha definido anteriormente v * ∈ V * se dice que es el vector doble de v ∈ V .
En un espacio de Hilbert de dimensión infinita , el teorema de representación de Riesz mantiene resultados análogos . Hay un mapeo V → V ∗ en el espacio dual continuo V ∗ .
Relación con las bases
Base del espacio dual
Deje que el espacio vectorial V tenga una base, no necesariamente ortogonal . Entonces el espacio dual V * tiene una basellamada la base dual definida por la propiedad especial que
O, más sucintamente,
donde δ es el delta de Kronecker . Aquí los superíndices de los funcionales básicos no son exponentes, sino índices contravariantes .
Un funcional lineal perteneciente al espacio dual se puede expresar como una combinación lineal de funciones básicas, con coeficientes ("componentes") u i ,
Luego, aplicando el funcional a un vector base e j produce
debido a la linealidad de múltiplos escalares de funcionales y linealidad puntual de sumas de funcionales. Luego
Entonces, cada componente de un funcional lineal se puede extraer aplicando el funcional al vector base correspondiente.
La base dual y el producto interior
Cuando el espacio V lleva un producto interno , entonces es posible escribir explícitamente una fórmula para la base dual de una base dada. Sea V tener una base (no necesariamente ortogonal). En tres dimensiones ( n = 3 ), la base dual se puede escribir explícitamente
para i = 1, 2, 3, donde ε es el símbolo de Levi-Civita yel producto interno (o producto punto ) en V .
En dimensiones superiores, esto se generaliza de la siguiente manera
dónde es el operador estrella de Hodge .
Sobre un anillo
Los módulos sobre un anillo son generalizaciones de espacios vectoriales, lo que elimina la restricción de que los coeficientes pertenecen a un campo . Dado un módulo M sobre un anillo R , una forma lineal en M es un mapa lineal de M a R , donde este último se considera un módulo sobre sí mismo. El espacio de formas lineales siempre se denota como Hom k ( V , k ) , ya sea que k sea un campo o no. Es un módulo derecho , si V es un módulo izquierdo.
La existencia de formas lineales "suficientes" en un módulo es equivalente a la proyectividad . [8]
Lema de base dual - Un módulo R - M es proyectivo si y solo si existe un subconjunto y formas lineales tal que, por cada solo un número finito son distintos de cero, y
Cambio de campo
Cualquier espacio vectorial X sobre es también un espacio vectorial sobre , dotado de una estructura compleja ; es decir, existe un subespacio vectorial real de modo que podamos (formalmente) escribir como -espacios vectoriales. Cada-lineal funcional en X es un R {\ Displaystyle \ mathbb {R}} -operador lineal , pero no es un-lineal funcional en X , porque su rango (es decir,) es bidimensional sobre . (Por el contrario, un-el funcional lineal tiene un rango demasiado pequeño para ser un -lineal funcional también.)
Sin embargo, cada -el funcional lineal determina unívocamente un -funcional lineal en por restricción . Más sorprendentemente, este resultado puede revertirse: cada-linear funcional g en X induce un canonical-lineal funcional L g ∈ X # , tal que la parte real de L g es g : define
- L g ( x ) = g ( x ) - i g ( ix ) para todos x ∈ X .
El mapa L • es-lineal (es decir, L g + h = L g + L h y L rg = r L g para todos y ). Del mismo modo, la inversa de la sobreyeccióndefinido por f ↦ Im f es el mapa I ↦ ( x ↦ I ( ix ) + i I ( x )) .
Esta relación fue descubierta por Henry Löwig en 1934 (aunque generalmente se le atribuye a F. Murray), [9] y puede generalizarse a extensiones finitas arbitrarias de un campo de forma natural.
En infinitas dimensiones
A continuación, todos los espacios vectoriales están por encima de los números reales. o los números complejos .
Si V es un espacio vectorial topológico , el espacio de funcionales lineales continuos , el dual continuo , a menudo se denomina simplemente espacio dual. Si V es un espacio de Banach , entonces también lo es su dual (continuo). Para distinguir el espacio dual ordinario del espacio dual continuo, el primero a veces se denomina espacio dual algebraico . En dimensiones finitas, todo funcional lineal es continuo, por lo que el dual continuo es lo mismo que el dual algebraico, pero en dimensiones infinitas el dual continuo es un subespacio propio del dual algebraico.
Una función lineal f en un espacio vectorial topológico X (no necesariamente localmente convexo ) es continua si y sólo si existe una seminorma continua p en X tal que | f | ≤ p . [10]
Caracterización de subespacios cerrados
Los funcionales lineales continuos tienen buenas propiedades para el análisis : un funcional lineal es continuo si y solo si su núcleo está cerrado, [11] y un funcional lineal continuo no trivial es un mapa abierto , incluso si el espacio vectorial (topológico) no está completo . [12]
Hiperplanos y subespacios máximos
Un subespacio vectorial M de X se llama máxima si M ⊊ X , pero no hay subespacios vector N satisfacer M ⊊ N ⊊ X . M es máxima si y solo si es el núcleo de algún funcional lineal no trivial en X (es decir, M = ker f para algún funcional lineal no trivial f en X ). Un hiperplano en X es una traslación de un subespacio vectorial máximo. Por linealidad, un subconjunto H de X es un hiperplano si y solo si existe algún f funcional lineal no trivial en X tal que H = { x ∈ X : f ( x ) = 1} . [9]
Relaciones entre múltiples funcionales lineales
Dos funcionales lineales cualesquiera con el mismo núcleo son proporcionales (es decir, múltiplos escalares entre sí). Este hecho se puede generalizar al siguiente teorema.
Teorema [13] [14] - Si f , g 1 ,…, g n son funcionales lineales en X , entonces los siguientes son equivalentes:
- f se puede escribir como una combinación lineal de g 1 ,…, g n (es decir, existen escalares s 1 ,…, s n tales que f = s 1 g 1 + ⋯ + s n g n );
- ⋂n
yo = 1Ker g i ⊆ Ker f ; - existe un número real r tal que | f ( x ) | ≤ r | g i ( x ) | para todo x ∈ X y todo i .
Si f es un funcional lineal no trivial en X con kernel N , x ∈ X satisface f ( x ) = 1 , y U es un subconjunto balanceado de X , entonces N ∩ ( x + U ) = ∅ si y solo si | f ( u ) | <1 para todo u ∈ U . [12]
Teorema de Hahn-Banach
Cualquier funcional lineal (algebraico) en un subespacio vectorial puede extenderse a todo el espacio; Por ejemplo, las funciones de evaluación descritas anteriormente se pueden extender al espacio vectorial de polinomios en todos los. Sin embargo, esta extensión no siempre se puede realizar manteniendo continuo el funcional lineal. La familia de teoremas de Hahn-Banach da las condiciones bajo las cuales se puede realizar esta extensión. Por ejemplo,
Teorema de extensión dominado por Hahn-Banach [15] ( Rudin 1991 , Th. 3.2) - Sies una función sublineal , yes un funcional lineal en un subespacio lineal M ⊆ X que está dominado por p en M , entonces existe una extensión linealde f al espacio completo X que está dominado por p , es decir, existe un funcional lineal F tal que
- F ( m ) = f ( m ) para todo m ∈ M ,
- | F ( x ) | ≤ p ( x ) para todo x ∈ X .
Equicontinuidad de familias de funcionales lineales
Sea X un espacio vectorial topológico (TVS) con un espacio dual continuo X ' .
Para cualquier subconjunto H de X ' , los siguientes son equivalentes: [16]
- H es equicontinuo ;
- H está contenido en el polar de alguna vecindad de 0 en X ;
- el (pre) polar de H es una vecindad de 0 en X ;
Si H es un subconjunto equicontinuo de X ', entonces los siguientes conjuntos también son equicontinuos: el cierre débil * , el casco equilibrado , el casco convexo y el casco convexo equilibrado . [16] Además, el teorema de Alaoglu implica que el cierre débil- * de un subconjunto equicontinuo de X ' es débil- * compacto (y por lo tanto que todo subconjunto equicontinuo débil- * relativamente compacto). [17] [16]
Ver también
- Mapa lineal discontinuo
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Funcional lineal positivo
- Forma multilineal : mapa de varios vectores a un campo subyacente de escalares, lineal en cada argumento
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
Notas
- ^ Por ejemplo, f (1 + 1) = a + 2 r ≠ 2 a + 2 r = f (1) + f (1) .
Referencias
- ^ Axler (2015) p. 101, §3.92
- ↑ a b Tu (2011) p. 19, §3.1
- ^ Katznelson y Katznelson (2008) p. 37, §2.1.3
- ^ Axler (2015) p. 101, §3.94
- ^ Halmos (1974) p. 20, §13
- ^ Lax 1996
- ^ Misner, Thorne y Wheeler (1973) p. 57
- ^ Clark, Pete L. Álgebra conmutativa (PDF) . Inédito. Lema 3.12.
- ↑ a b Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 10-11.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , p. 126.
- ^ Rudin 1991 , Teorema 1.18
- ↑ a b Narici y Beckenstein , 2011 , p. 128.
- ^ Rudin 1991 , págs. 63-64.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 1-18.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 177-220.
- ↑ a b c Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 225-273.
- ^ Schaefer y Wolff 1999 , Corolario 4.3.
Bibliografía
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