Este es un glosario de teoría de tensores . Para exposiciones de la teoría del tensor desde diferentes puntos de vista, consulte:
- Tensor
- Tensor (definición intrínseca)
- Aplicación de la teoría del tensor en la ciencia de la ingeniería
Para un poco de historia de la teoría abstracta, consulte también Álgebra multilineal .
Notación clásica
El fundamento más temprano de la teoría del tensor: la notación del índice del tensor. [1]
Los componentes de un tensor con respecto a una base es una matriz indexada. El orden de un tensor es el número de índices necesarios. Algunos textos pueden referirse al orden tensorial usando el término grado o rango .
El rango de un tensor es el número mínimo de tensor de rango uno que se debe sumar para obtener el tensor. Un tensor de rango uno puede definirse como expresable como el producto externo del número de vectores distintos de cero necesarios para obtener el orden correcto.
Un tensor diádico es un tensor de orden dos y puede representarse como una matriz cuadrada . En contraste, una díada es específicamente un tensor diádico de rango uno.
Esta notación se basa en el entendimiento de que siempre que una matriz multidimensional contiene una letra de índice repetida, la interpretación predeterminada es que el producto se suma a todos los valores permitidos del índice. Por ejemplo, si a ij es una matriz, entonces bajo esta convención a ii es su traza . La convención de Einstein se usa ampliamente en textos de física e ingeniería, en la medida en que si no se aplica la suma, es normal notarlo explícitamente.
- Tensor covariante
- Tensor contravariante
La interpretación clásica es por componentes. Por ejemplo, en la forma diferencial a i dx i las componentes a i son un vector covariante. Eso significa que todos los índices son más bajos; contravariante significa que todos los índices son superiores.
Esto se refiere a cualquier tensor que tenga índices tanto superior como inferior.
Tensor cartesiano
Los tensores cartesianos se utilizan ampliamente en diversas ramas de la mecánica del continuo , como la mecánica de fluidos y la elasticidad . En la mecánica del continuo clásico , el espacio de interés suele ser el espacio euclidiano tridimensional , al igual que el espacio tangente en cada punto. Si restringimos las coordenadas locales para que sean coordenadas cartesianas con la misma escala centrada en el punto de interés, el tensor métrico es el delta de Kronecker . Esto significa que no hay necesidad de distinguir componentes covariantes y contravariantes y, además, no hay necesidad de distinguir tensores y densidades de tensores . Todos los índices de tensor cartesiano se escriben como subíndices. Los tensores cartesianos logran una simplificación computacional considerable a costa de la generalidad y de cierta comprensión teórica.
Notación algebraica
Esto evita el uso inicial de componentes y se distingue por el uso explícito del símbolo del producto tensorial.
Producto tensor
Si v y w son vectores en los espacios vectoriales V y W respectivamente, entonces
es un tensor en
Es decir, la operación ⊗ es una operación binaria , pero lleva valores a un espacio nuevo (es, en un sentido fuerte, externo ). La operación ⊗ es un mapa bilineal ; pero no se le aplican otras condiciones.
Tensor puro
Un tensor puro de V ⊗ W es uno que tiene la forma v ⊗ w
Podría ser escrito diádicamente un i b j , o más exactamente una i b j e i ⊗ f j , donde el e i son una base para V y la f j una base para W . Por lo tanto, a menos que V y W tengan la misma dimensión, no es necesario que la matriz de componentes sea cuadrada. Tales tensores puros no son genéricos: si tanto V como W tienen una dimensión mayor que 1, habrá tensores que no son puros y habrá condiciones no lineales para que un tensor satisfaga, sea puro. Para obtener más información, consulte Incrustación de Segre .
Álgebra tensorial
En el álgebra tensorial T ( V ) de un espacio vectorial V , la operaciónse convierte en una operación binaria normal (interna) . Una consecuencia es que T ( V ) tiene dimensión infinita a menos que V tenga dimensión 0. El álgebra libre en un conjunto X es, para propósitos prácticos, el mismo que el álgebra tensorial en el espacio vectorial con X como base.
Operador estrella Hodge
Poder exterior
El producto de la cuña es la forma antisimétrica de la operación ⊗. El espacio cociente de T ( V ) sobre el que se convierte en una operación interna es el álgebra exterior de V ; es un álgebra graduada , con la pieza graduadas de peso k se llama el k -ésimo de potencia exterior de V .
Poder simétrico, álgebra simétrica
Esta es la forma invariante de construir álgebras polinomiales .
Aplicaciones
Teoría del campo tensorial
- Densidad del tensor
- Derivada de la mentira
- Derivada del tensor
- Geometría diferencial
Álgebra abstracta
- Producto tensorial de campos
Esta es una operación en campos, que no siempre produce un campo.
- Producto tensorial de R-álgebras
- Módulo Clifford
Una representación de un álgebra de Clifford que da una realización de un álgebra de Clifford como un álgebra matricial.
- Tor functors
Estos son los functores derivados del producto tensorial y se destacan fuertemente en el álgebra homológica . El nombre proviene del subgrupo de torsión en la teoría de grupos abelianos .
- Método simbólico de la teoría invariante
- Categoría derivada
- Las seis operaciones de Grothendieck
Estos son enfoques muy abstractos que se utilizan en algunas partes de la geometría.
Spinors
Ver:
- Grupo de giro
- Grupo spin-c
- Spinor
- Grupo de pines
- Pinores
- Campo spinor
- Matar a spinor
- Colector de centrifugado
Referencias
- ^ Ricci, Gregorio ; Levi-Civita, Tullio (marzo de 1900), "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications" [Métodos de cálculo diferencial absoluto y sus aplicaciones] (PDF) , Mathematische Annalen (en francés), Springer, 54 (1-2): 125 –201, doi : 10.1007 / BF01454201
Libros
- Bishop, RL ; Goldberg, SI (1968), Tensor Analysis on Manifolds (Primera edición de Dover 1980), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
- Danielson, Donald A. (2003). Vectores y tensores en ingeniería y física (2 / e ed.). Westview (Perseo). ISBN 978-0-8133-4080-7.
- Dimitrienko, Yuriy (2002). Análisis de tensor y funciones de tensor no lineal . Editores académicos de Kluwer (Springer). ISBN 1-4020-1015-X.
- Lovelock, David; Hanno Rund (1989) [1975]. Tensores, formas diferenciales y principios variacionales . Dover. ISBN 978-0-486-65840-7.
- Synge, John L ; Schild, Alfred (1949). Cálculo de tensor . Publicaciones de Dover, edición de 1978. ISBN 978-0-486-63612-2.