En la teoría matemática del análisis armónico , las transformadas de Riesz son una familia de generalizaciones de la transformada de Hilbert a espacios euclidianos de dimensión d > 1. Son un tipo de operador integral singular , lo que significa que están dadas por una convolución de una función con otra función que tiene una singularidad en el origen. Específicamente, las transformadas de Riesz de una función de valores complejos ƒ en R d se definen por
( 1 )
para j = 1,2, ..., d . La constante c d es una normalización dimensional dada por
donde ω d −1 es el volumen de la unidad ( d - 1) -ball . El límite se escribe de varias maneras, a menudo como un valor principal o como una convolución con la distribución templada
La transformada de Riesz surge en el estudio de las propiedades de diferenciabilidad de los potenciales armónicos en la teoría de potenciales y el análisis armónico . En particular, surgen en la prueba de la desigualdad Calderón-Zygmund ( Gilbarg & Trudinger 1983 , §9.4).
Propiedades multiplicadoras
Las transformadas de Riesz están dadas por un multiplicador de Fourier . De hecho, la transformada de Fourier de R j ƒ está dada por
De esta forma, las transformadas de Riesz se consideran generalizaciones de la transformada de Hilbert . El núcleo es una distribución que es homogénea de grado cero. Una consecuencia particular de esta última observación es que la transformada de Riesz define un operador lineal acotado de L 2 ( R d ) a sí mismo. [1]
Esta propiedad de homogeneidad también se puede establecer más directamente sin la ayuda de la transformada de Fourier. Si σ s es la dilatación de R d por el escalar s , es decir, σ s x = sx , entonces σ s define una acción sobre funciones a través del retroceso :
El Riesz transforma el desplazamiento con σ s :
Del mismo modo, el Riesz transforma el desplazamiento con traducciones. Sea τ a la traslación de R d a lo largo del vector a ; es decir, τ a ( x ) = x + a . Luego
Para la propiedad final, es conveniente considerar las transformadas de Riesz como una única entidad vectorial R ƒ = ( R 1 ƒ, ..., R d ƒ). Considere una rotación ρ en R d . La rotación actúa sobre las variables espaciales y, por tanto, sobre las funciones a través del retroceso. Pero también puede actuar sobre el vector espacial R ƒ. La propiedad de transformación final afirma que la transformada de Riesz es equivariante con respecto a estas dos acciones; es decir,
De hecho, estas tres propiedades caracterizan la transformada de Riesz en el siguiente sentido. Sea T = ( T 1 , ..., T d ) una d -tupla de operadores lineales acotados de L 2 ( R d ) a L 2 ( R d ) tal que
- T conmuta con todas las dilataciones y traslaciones.
- T es equivariante con respecto a las rotaciones.
Entonces, para alguna constante c , T = cR .
Relación con el laplaciano
De manera algo imprecisa, las transformaciones de Riesz de dar las primeras derivadas parciales de una solución de la ecuación
donde Δ es el laplaciano. Así, la transformada de Riesz de Se puede escribir como:
En particular, también se debe tener
de modo que las transformaciones de Riesz brindan una forma de recuperar información sobre todo el hessiano de una función a partir del conocimiento de solo su laplaciano.
Esto ahora se hace más preciso. Suponer quees una función de Schwartz . Entonces, de hecho, por la forma explícita del multiplicador de Fourier, uno tiene
La identidad no es generalmente verdadera en el sentido de distribuciones . Por ejemplo, sies una distribución templada tal que, entonces uno solo puede concluir que
para algún polinomio .
Ver también
Referencias
- ^ Estrictamente hablando, la definición ( 1 ) solo puede tener sentido para la función de Schwartz f . La limitación en un subespacio denso de L 2 implica que cada transformada de Riesz admite una extensión lineal continua para todo L 2 .
- Gilbarg, D .; Trudinger, Neil (1983), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Nueva York: Springer, ISBN 3-540-41160-7.
- Stein, Elias (1970), Integrales singulares y propiedades de diferenciación de funciones , Princeton University Press.
- Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier sobre espacios euclidianos , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
- Arcozzi, N. (1998), Transformada de Riesz sobre esferas y grupos de Lie compactos , Nueva York: Springer, ISSN 0004-2080.