En el análisis de Fourier , un operador multiplicador es un tipo de operador lineal o transformación de funciones . Estos operadores actúan sobre una función alterando su transformada de Fourier . Específicamente, multiplican la transformada de Fourier de una función por una función específica conocida como multiplicador o símbolo . Ocasionalmente, el término operador multiplicador en sí mismo se abrevia simplemente a multiplicador . [1] En términos simples, el multiplicador cambia la forma de las frecuencias involucradas en cualquier función. Esta clase de operadores resulta ser amplia: la teoría general muestra que un operador invariante en traducción en unEl grupo que obedece a algunas condiciones de regularidad (muy leves) se puede expresar como un operador multiplicador y viceversa. [2] Muchos operadores familiares, como las traducciones y la diferenciación , son operadores multiplicadores, aunque hay muchos ejemplos más complicados como la transformada de Hilbert .
En el procesamiento de señales , un operador multiplicador se denomina " filtro " y el multiplicador es la respuesta de frecuencia del filtro (o función de transferencia ).
En el contexto más amplio, los operadores multiplicadores son casos especiales de operadores multiplicadores espectrales, que surgen del cálculo funcional de un operador (o familia de operadores de conmutación). También son casos especiales de operadores pseudo-diferenciales y, más generalmente, operadores integrales de Fourier . Hay preguntas naturales en este campo que aún están abiertas, como la caracterización de los operadores multiplicadores limitados L p (ver más abajo).
Los operadores multiplicadores no están relacionados con los multiplicadores de Lagrange , excepto que ambos involucran la operación de multiplicación.
Para obtener los antecedentes necesarios sobre la transformada de Fourier , consulte esa página. Se pueden encontrar antecedentes importantes adicionales en la norma del operador de páginas y el espacio L p .
Ejemplos de
En el establecimiento de funciones periódicas definidas en el círculo unitario , la transformada de Fourier de una función es simplemente la secuencia de sus coeficientes de Fourier . Para ver que la diferenciación se puede realizar como un multiplicador, considere la serie de Fourier para la derivada de una función periódicaDespués de usar la integración por partes en la definición del coeficiente de Fourier, tenemos que
- .
Entonces, formalmente, se sigue que la serie de Fourier para la derivada es simplemente la serie de Fourier para multiplicado por un factor . Esto es lo mismo que decir que la diferenciación es un operador multiplicador con multiplicador.
Un ejemplo de un operador multiplicador que actúa sobre funciones en la línea real es la transformada de Hilbert . Se puede demostrar que la transformada de Hilbert es un operador multiplicador cuyo multiplicador está dado por el, donde sgn es la función signum .
Finalmente, otro ejemplo importante de un multiplicador es la función característica del cubo unitario enque surge en el estudio de las "sumas parciales" para la transformada de Fourier (ver Convergencia de la serie de Fourier ).
Definición
Los operadores multiplicadores se pueden definir en cualquier grupo G para el que también se define la transformada de Fourier (en particular, en cualquier grupo abeliano localmente compacto ). La definición general es la siguiente. Sies una función suficientemente regular , dejemos denotar su transformada de Fourier (donde es el dual Pontryagin de G ). Dejardenotar otra función, que llamaremos multiplicador . Entonces el operador multiplicadorasociado a este símbolo m se define mediante la fórmula
En otras palabras, la transformada de Fourier de Tf a una frecuencia ξ viene dada por la transformada de Fourier de f a esa frecuencia, multiplicada por el valor del multiplicador a esa frecuencia. Esto explica la terminología "multiplicador".
Tenga en cuenta que la definición anterior solo define Tf implícitamente; para recuperar Tf explícitamente es necesario invertir la transformada de Fourier. Esto se puede hacer fácilmente si tanto f como m son lo suficientemente suaves e integrables. Uno de los principales problemas del tema es determinar, para cualquier multiplicador especificado m , si el correspondiente operador del multiplicador de Fourier sigue estando bien definido cuando f tiene una regularidad muy baja, por ejemplo, si solo se supone que se encuentra en un L p espacio. Vea la discusión sobre el "problema de delimitación" a continuación. Como mínimo, normalmente se requiere que el multiplicador m sea acotado y medible ; esto es suficiente para establecer la delimitación en pero en general no es lo suficientemente fuerte como para dar delimitación a otros espacios.
Se puede ver el operador multiplicador T como la composición de tres operadores, a saber, la transformada de Fourier, la operación de multiplicación puntual por my luego la transformada de Fourier inversa. De manera equivalente, T es la conjugación del operador de multiplicación puntual por la transformada de Fourier. Por tanto, se puede pensar en los operadores multiplicadores como operadores que están diagonalizados por la transformada de Fourier.
Operadores multiplicadores en grupos comunes
Ahora nos especializamos la definición general anterior a grupos específicos G . Primero considere el círculo unitarioPor tanto, las funciones en G se pueden considerar como funciones periódicas 2π en la línea real. En este grupo, el dual de Pontryagin es el grupo de enteros,La transformada de Fourier (para funciones suficientemente regulares f ) viene dada por
y la transformada de Fourier inversa está dada por
Un multiplicador en esta configuración es simplemente una secuencia de números, y el operador asociado a este multiplicador viene dado por la fórmula
al menos para elecciones suficientemente bien comportadas del multiplicador y la función f .
Ahora sea G un espacio euclidiano . Aquí el grupo dual también es euclidiano, y las transformadas de Fourier e inversa de Fourier están dadas por las fórmulas
Un multiplicador en esta configuración es una función y el operador multiplicador asociado es definido por
nuevamente asumiendo suposiciones de regularidad y delimitación suficientemente fuertes sobre el multiplicador y la función.
En el sentido de distribuciones , no hay diferencia entre operadores multiplicadores y operadores de convolución ; cada multiplicador T también se puede expresar en la forma Tf = f * K por alguna distribución K , conocido como el núcleo de convolución de T . En este punto de vista, la traslación en una cantidad x 0 es convolución con una función delta de Dirac δ (· - x 0 ), la diferenciación es convolución con δ '. En la tabla siguiente se dan más ejemplos .
Diagramas
Más ejemplos
En el círculo unitario
La siguiente tabla muestra algunos ejemplos comunes de operadores multiplicadores en el círculo unitario
Nombre | Multiplicador, | Operador, | Núcleo, |
---|---|---|---|
Operador de identidad | 1 | f ( t ) | Función delta de Dirac |
Multiplicación por una constante c | C | cf ( t ) | |
Traducción por s | f ( t - s ) | ||
Diferenciación | en | ||
diferenciación de k -fold | |||
Operador diferencial de coeficiente constante | |||
Derivada fraccional de orden | |||
Valor medio | 1 | ||
Componente libre de media | |||
Integración (de componente libre de media) | Función de diente de sierra | ||
Transformada periódica de Hilbert H | |||
Suma de Dirichlet | Núcleo de Dirichlet | ||
Suma de Fejér | Núcleo de Fejér | ||
Multiplicador general | |||
Operador de convolución general |
En el espacio euclidiano
La siguiente tabla muestra algunos ejemplos comunes de operadores multiplicadores en el espacio euclidiano. .
Nombre | Multiplicador, | Operador, | Núcleo, |
---|---|---|---|
Operador de identidad | 1 | f ( x ) | |
Multiplicación por una constante c | C | cf ( x ) | |
Traducción de y | |||
Derivado (solo una dimensión) | |||
Derivada parcial | |||
Laplaciano | |||
Operador diferencial de coeficiente constante | |||
Derivada fraccional de orden | |||
Riesz potencial de orden | |||
Bessel potencial de orden | |||
Operador de flujo de calor | Núcleo de calor | ||
Operador de evolución de la ecuación de Schrödinger | Núcleo de Schrödinger | ||
Transformada de Hilbert H (solo una dimensión) | |||
Riesz transforma R j | |||
Integral de Fourier parcial (solo una dimensión) | |||
Multiplicador de disco | ( J es una función de Bessel ) | ||
Operadores de Bochner – Riesz | |||
Multiplicador general | |||
Operador de convolución general |
Consideraciones Generales
El mapa es un homomorfismo de C * -álgebras . Esto se debe a que la suma de dos operadores multiplicadores y es un multiplicador de operadores con multiplicador , la composición de estos dos operadores multiplicadores es un operador multiplicador con multiplicador y el adjunto de un operador multiplicador es otro operador multiplicador con multiplicador .
En particular, vemos que dos operadores multiplicadores se conmutan entre sí. Se sabe que los operadores multiplicadores son invariantes en la traducción. A la inversa, se puede demostrar que cualquier operador lineal invariante en la traducción que esté limitado a L 2 ( G ) es un operador multiplicador.
El problema de la delimitación de L p
El problema de acotación de L p (para cualquier p en particular ) para un grupo dado G es, enunciado simplemente, para identificar los multiplicadores m de manera que el correspondiente operador del multiplicador esté acotado de L p ( G ) a L p ( G ). Por lo general, estos multiplicadores se denominan simplemente " multiplicadores L p ". Tenga en cuenta que como los operadores multiplicadores son siempre lineales, dichos operadores están acotados si y solo si son continuos . Este problema se considera extremadamente difícil en general, pero se pueden tratar muchos casos especiales. El problema depende en gran medida de p , aunque existe una relación de dualidad : siy 1 ≤ p , q ≤ ∞, entonces un operador multiplicador está acotado en L p si y solo si está acotado en L q .
El teorema de Riesz-Thorin muestra que si un operador multiplicador está acotado en dos espacios L p diferentes , entonces también está acotado en todos los espacios intermedios. Por lo tanto, obtenemos que el espacio de multiplicadores es más pequeño para L 1 y L ∞ y crece a medida que uno se acerca a L 2 , que tiene el mayor espacio de multiplicadores.
Delimitación en L 2
Este es el caso más sencillo. El teorema de Parseval permite resolver este problema por completo y obtener que una función m es un multiplicador L 2 ( G ) si y solo si es acotado y medible.
Delimitación en L 1 o L ∞
Este caso es más complicado que el caso Hilbertiano ( L 2 ), pero está completamente resuelto. Lo siguiente es cierto:
Teorema : en el espacio euclidiano Una función es un multiplicador L 1 (equivalentemente un multiplicador L ∞ ) si y solo si existe una medida finita de Borel μ tal que m es la transformada de Fourier de μ.
(La parte "si" es un cálculo simple. La parte "solo si" aquí es más complicada).
Delimitación en L p para 1 < p <∞
En este caso general, no se han establecido las condiciones necesarias y suficientes para la delimitación, incluso para el espacio euclidiano o el círculo unitario. Sin embargo, se conocen varias condiciones necesarias y varias condiciones suficientes. Por ejemplo, se sabe que para que un operador multiplicador esté acotado incluso en un solo espacio L p , el multiplicador debe ser acotado y medible (esto se deriva de la caracterización de los multiplicadores L 2 anterior y la propiedad de inclusión). Sin embargo, esto no es suficiente excepto cuando p = 2.
Los resultados que dan condiciones suficientes para la delimitación se conocen como teoremas del multiplicador . A continuación se dan tres de estos resultados.
Teorema del multiplicador de Marcinkiewicz
Dejar ser una función acotada que es continuamente diferenciable en cada conjunto de la forma[ aclaración necesaria ] para y tiene derivada tal que
Entonces m es un multiplicador de L p para todo 1 < p <∞.
Teorema del multiplicador de Mikhlin
Sea m una función acotada en que es suave excepto posiblemente en el origen, y tal que la función está acotado para todos los números enteros : entonces m es un multiplicador de L p para todo 1 < p <∞ .
Este es un caso especial del teorema del multiplicador de Hörmander-Mikhlin.
Las demostraciones de estos dos teoremas son bastante complicadas, ya que involucran técnicas de la teoría de Calderón-Zygmund y el teorema de interpolación de Marcinkiewicz : para la demostración original, vea Mikhlin (1956) o Mikhlin (1965 , pp. 225-240).
Multiplicadores radiales
Para multiplicadores radiales , una condición necesaria y suficiente para la delimitación es conocida por algún rango parcial de . Dejar y . Suponer quees un multiplicador radial sostenido de forma compacta lejos del origen. Luego es un multiplicador si y solo si la transformada de Fourier de pertenece a .
Este es un teorema de Heo, Nazarov y Seeger . [3] También proporcionaron una condición necesaria y suficiente que es válida sin el supuesto de soporte compacto en.
Ejemplos de
Las traducciones son operadores acotados en cualquier L p . La diferenciación no está limitada a ningún L p . La transformada de Hilbert está limitada solo para p estrictamente entre 1 y ∞. El hecho de que no esté acotado en L ∞ es fácil, ya que es bien sabido que la transformada de Hilbert de una función escalonada es ilimitada. La dualidad da lo mismo para p = 1 . Sin embargo, los teoremas del multiplicador de Marcinkiewicz y Mikhlin muestran que la transformada de Hilbert está limitada en L p para todo 1 < p <∞ .
Otro caso interesante en el círculo unitario es cuando la secuencia que se propone como multiplicador es constante para n en cada uno de los conjuntos y Del teorema del multiplicador de Marcinkiewicz (adaptado al contexto del círculo unitario) vemos que cualquier secuencia de este tipo (también asumida como acotada, por supuesto) [ aclaración necesaria ] es un multiplicador por cada 1 < p <∞ .
En una dimensión, el operador del multiplicador de disco (ver tabla anterior) está acotado en L p para cada 1 < p <∞ . Sin embargo, en 1972, Charles Fefferman mostró el sorprendente resultado de que en dos y más dimensiones el operador del multiplicador de discoes ilimitado en L p para cada p ≠ 2 . El problema correspondiente para los multiplicadores de Bochner-Riesz solo se resuelve parcialmente; véase también la conjetura de Bochner-Riesz .
Ver también
- Lema de Calderón – Zygmund
- Teorema de Marcinkiewicz
- Integrales singulares
- Operadores integrales singulares de tipo convolución
Notas
- ^ Duoandikoetxea 2001 , sección 3.5.
- ^ Stein 1970 , Capítulo II.
- ^ Heo, Yaryong; Nazarov, Fëdor; Seeger, Andreas. Multiplicadores radiales de Fourier en grandes dimensiones. Acta Math. 206 (2011), núm. 1, 55--92. doi: 10.1007 / s11511-011-0059-x. https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485892528
Trabajos citados
- Duoandikoetxea, Javier (2001), Análisis de Fourier , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2172-5
- Stein, Elias M. (1970), Integrales singulares y propiedades de diferenciación de funciones , Princeton University Press
Referencias generales
- Grafakos, Loukas (2008), Análisis clásico de Fourier (2a ed.), Springer, ISBN 978-0-387-09431-1
- Katznelson, Yitzhak (2004), Introducción al análisis armónico , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54359-0
- Hörmander, Lars (1960), "Estimaciones para operadores invariantes de traducción en espacios L p ", Acta Mathematica , 104 : 93–140, doi : 10.1007 / bf02547187
- Hörmander, Lars (1990), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales, I.Teoría de la distribución y análisis de Fourier (2a ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-52343-X
- Mikhlin, Solomon G. (1956), "Sobre los multiplicadores de las integrales de Fourier", Doklady Akademii Nauk SSSR , 109 : 701–703, Zbl 0073.08402(en ruso ).
- Mikhlin, Solomon G. (1965), Integrales singulares multidimensionales y ecuaciones integrales , Serie internacional de monografías en matemáticas puras y aplicadas, 83 , Pergamon Press , Zbl 0129.07701. Contiene un estudio completo de todos los resultados conocidos en el momento de la publicación, incluido un bosquejo de la historia.
- Rudin, Walter (1962), Análisis de Fourier sobre grupos , Interscience
- Torchinsky, Alberto (2004), Métodos de variables reales en análisis armónico , Dover, ISBN 0-486-43508-3