En matemáticas , el espacio de Schwartzes el espacio funcional de todas las funciones cuyas derivadas disminuyen rápidamente. Este espacio tiene la importante propiedad de que la transformada de Fourier es un automorfismo en este espacio. Esta propiedad permite a uno, por dualidad, definir la transformada de Fourier para elementos en el espacio dual de , es decir, para distribuciones templadas . Una función en el espacio de Schwartz a veces se denomina función de Schwartz .
El espacio de Schwartz lleva el nombre del matemático francés Laurent Schwartz .
Definición
Motivación
La idea detrás del espacio Schwartz es considerar el conjunto de todas las funciones suaves en que disminuyen rápidamente. Esto se codifica considerando todas las posibles derivadas(con multi-índice ) en una función uniforme con valores complejos y el supremo de todos los valores posibles demultiplicado por cualquier monomio y delimitándolos. Esta restricción se codifica como desigualdad
Definición
Dejar ser el conjunto de enteros no negativos , y para cualquier, dejar ser el producto cartesiano n- pliegue . El espacio de Schwartz o espacio de funciones rápidamente decrecientes en es el espacio funcional
Para poner en lenguaje común esta definición, se podría considerar una función rápidamente decreciente como esencialmente una función f ( x ) tal que f ( x ) , f ′ ( x ) , f ′ ′ ( x ) , ... todas existen en todas partes en R y vaya a cero cuando x → ± ∞ más rápido que cualquier potencia recíproca de x . En particular, S ( R n , C ) es un subespacio del espacio de función C ∞ ( R n , C ) de funciones suaves de R n en C .
Ejemplos de funciones en el espacio de Schwartz
- Si α es un índice múltiple y a es un número real positivo , entonces
- Cualquier función suave f con soporte compacto está en S ( R n ). Esto es claro ya que cualquier derivada de f es continua y se apoya en el soporte de f , entonces ( x α D β ) f tiene un máximo en R n por el teorema del valor extremo .
- Como el espacio de Schwarz es un espacio vectorial, cualquier polinomio se puede multiplicar por un factor por una constante real, para dar un elemento del espacio de Schwarz. En particular, hay una incrustación de polinomios dentro de un espacio de Schwartz.
Propiedades
Propiedades analíticas
- De la regla de Leibniz , se deduce que 𝒮 ( R n ) también se cierra bajo la multiplicación puntual :
- Si f , g ∈ 𝒮 ( R n ) entonces el producto fg ∈ 𝒮 ( R n ) .
- La transformada de Fourier es un isomorfismo lineal F: 𝒮 ( R n ) → 𝒮 ( R n ) .
- Si f ∈ 𝒮 ( R ) entonces f es uniformemente continua en R .
- 𝒮 ( R n ) es un TVS de Fréchet Schwartz localmente convexo distinguido sobre los números complejos .
- Tanto 𝒮 ( R n ) como su fuerte espacio dual también son:
- completar espacios localmente convexos de Hausdorff ,
- espacios nucleares de Montel ,
- Se sabe que en el espacio dual de cualquier espacio de Montel, una secuencia converge en la topología dual fuerte si y solo si converge en la topología débil * , [1]
- Espacios ultrabornológicos ,
- espacios de Mackey de barril reflexivo .
Relación de los espacios de Schwartz con otros espacios vectoriales topológicos
- Si 1 ≤ p ≤ ∞ , entonces 𝒮 ( R n ) ⊂ L p ( R n ) .
- Si 1 ≤ p <∞ , entonces 𝒮 ( R n ) es denso en L p ( R n ) .
- El espacio de todas las funciones de relieve , C∞
c( R n ) , se incluye en 𝒮 ( R n ) .
Ver también
- Función de golpe
- Función de Schwartz-Bruhat
- Espacio nuclear
Referencias
- ^ Trèves , 2006 , págs. 351–359.
Fuentes
- Hörmander, L. (1990). El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I, (teoría de la distribución y análisis de Fourier) (2ª ed.). Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-52343-X.
- Reed, M .; Simon, B. (1980). Métodos de Física Matemática Moderna: Análisis Funcional I (Ed. Revisada y ampliada). San Diego: Prensa académica. ISBN 0-12-585050-6.
- Stein, Elias M .; Shakarchi, Rami (2003). Análisis de Fourier: Introducción (Conferencias de Princeton en Análisis I) . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-11384-X.
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
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