Momento de inercia

El momento de inercia , también conocido como el momento de inercia de masa , masa angular , segundo momento de la masa , o más exactamente, la inercia de rotación , de un cuerpo rígido es una cantidad que determina el par de torsión necesario para una deseada aceleración angular alrededor de un eje de rotación , similar a cómo la masa determina la fuerza necesaria para una aceleración deseada . Depende de la distribución de masa del cuerpo y del eje elegido, con momentos más grandes que requieren más torque para cambiar la velocidad de rotación del cuerpo.

Momento de inercia
Los volantes tienen grandes momentos de inercia para suavizar el movimiento de rotación.
Símbolos comunes	I
Unidad SI	kg m ²
Otras unidades	lbf · ft · s ²
Derivaciones de otras cantidades	${\ Displaystyle I = {\ frac {L} {\ omega}}}$
Dimensión	M L ²

Los que caminan por la cuerda floja utilizan el momento de inercia de una varilla larga para mantener el equilibrio mientras caminan por la cuerda. Samuel Dixon cruzando el río Niágara en 1890.

Es una propiedad extensa (aditiva): para una masa puntual, el momento de inercia es simplemente la masa multiplicada por el cuadrado de la distancia perpendicular al eje de rotación. El momento de inercia de un sistema compuesto rígido es la suma de los momentos de inercia de sus subsistemas componentes (todos tomados alrededor del mismo eje). Su definición más simple es el segundo momento de masa con respecto a la distancia desde un eje .

Para los cuerpos obligados a rotar en un plano, solo importa su momento de inercia alrededor de un eje perpendicular al plano, un valor escalar . Para los cuerpos libres para rotar en tres dimensiones, sus momentos pueden describirse mediante una matriz simétrica de 3 × 3 , con un conjunto de ejes principales perpendiculares entre sí para los cuales esta matriz es diagonal y los pares alrededor de los ejes actúan independientemente entre sí.

Introducción

Cuando un cuerpo puede girar libremente alrededor de un eje, se debe aplicar un par para cambiar su momento angular . La cantidad de torque necesaria para causar cualquier aceleración angular dada (la tasa de cambio en la velocidad angular ) es proporcional al momento de inercia del cuerpo. El momento de inercia puede expresarse en unidades de kilogramo metro cuadrado (kg · m ² ) en unidades SI y libra-pie-segundo cuadrado (lbf · ft · s ² ) en unidades imperiales o estadounidenses .

El momento de inercia juega el papel en la cinética rotacional que la masa (inercia) juega en la cinética lineal; ambos caracterizan la resistencia de un cuerpo a los cambios en su movimiento. El momento de inercia depende de cómo se distribuya la masa alrededor de un eje de rotación y variará según el eje elegido. Para una masa puntual, el momento de inercia alrededor de algún eje viene dado por ${\ Displaystyle mr ^ {2}}$ , dónde ${\ Displaystyle r}$ es la distancia del punto al eje, y ${\ Displaystyle m}$ es la masa. Para un cuerpo rígido extendido, el momento de inercia es solo la suma de todas las pequeñas piezas de masa multiplicada por el cuadrado de sus distancias desde el eje en rotación. Para un cuerpo extendido de forma regular y densidad uniforme, esta suma a veces produce una expresión simple que depende de las dimensiones, la forma y la masa total del objeto.

En 1673, Christiaan Huygens introdujo este parámetro en su estudio de la oscilación de un cuerpo que cuelga de un pivote, conocido como péndulo compuesto . ^[1] El término momento de inercia fue introducido por Leonhard Euler en su libro Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum en 1765, ^[1]^[2] y se incorpora a la segunda ley de Euler .

La frecuencia natural de oscilación de un péndulo compuesto se obtiene a partir de la relación entre el par impuesto por la gravedad sobre la masa del péndulo y la resistencia a la aceleración definida por el momento de inercia. La comparación de esta frecuencia natural con la de un péndulo simple que consta de un solo punto de masa proporciona una formulación matemática para el momento de inercia de un cuerpo extendido. ^[3]^[4]

El momento de inercia también aparece en el momento , la energía cinética y en las leyes del movimiento de Newton para un cuerpo rígido como un parámetro físico que combina su forma y masa. Hay una diferencia interesante en la forma en que aparece el momento de inercia en el movimiento plano y espacial. El movimiento plano tiene un escalar único que define el momento de inercia, mientras que para el movimiento espacial los mismos cálculos producen una matriz de momentos de inercia de 3 × 3, denominada matriz de inercia o tensor de inercia. ^[5]^[6]

El momento de inercia de un volante giratorio se utiliza en una máquina para resistir variaciones en el par aplicado para suavizar su salida de rotación. El momento de inercia de un avión alrededor de sus ejes longitudinal, horizontal y vertical determina cómo las fuerzas de dirección en las superficies de control de sus alas, elevadores y timón (s) afectan los movimientos del avión en alabeo, cabeceo y guiñada.

Definición

El momento de inercia se define como el producto de la masa de la sección por el cuadrado de la distancia entre el eje de referencia y el centroide de la sección.

Los patinadores artísticos que giran pueden reducir su momento de inercia tirando de sus brazos, lo que les permite girar más rápido debido a la conservación del momento angular .

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Reproducir medios

Video del experimento de la silla giratoria, que ilustra el momento de inercia. Cuando el profesor giratorio tira de sus brazos, su momento de inercia disminuye; para conservar el momento angular, su velocidad angular aumenta.

Momento de inercia $I$ se define como la relación entre el momento angular neto $L$ de un sistema y su velocidad angular $ω$ alrededor de un eje principal, ^[7]^[8] que es

{\ Displaystyle I = {\ frac {L} {\ omega}}.}

Si el momento angular de un sistema es constante, a medida que el momento de inercia se reduce, la velocidad angular debe aumentar. Esto ocurre cuando los patinadores artísticos giratorios tiran de sus brazos extendidos o los buzos doblan sus cuerpos en una posición doblada durante una inmersión, para girar más rápido. ^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]

Si la forma del cuerpo no cambia, entonces su momento de inercia aparece en la ley de movimiento de Newton como la relación entre un par de torsión aplicado $τ$ sobre un cuerpo y la aceleración angular $α$ alrededor de un eje principal, es decir

{\ Displaystyle \ tau = I \ alpha.}

Para un péndulo simple , esta definición produce una fórmula para el momento de inercia $I$ en términos de la masa $m$ del péndulo y su distancia $r$ desde el punto de pivote como,

{\ Displaystyle I = señor ^ {2}.}

Por tanto, el momento de inercia del péndulo depende tanto de la masa $m$ de un cuerpo como de su geometría, o forma, definida por la distancia $r$ al eje de rotación.

Esta fórmula simple se generaliza para definir el momento de inercia para un cuerpo de forma arbitraria como la suma de todas las masas puntuales elementales $d m$ cada una multiplicada por el cuadrado de su distancia perpendicular $r$ a un eje $k$ . El momento de inercia de un objeto arbitrario depende, por tanto, de la distribución espacial de su masa.

En general, dado un objeto de masa $m$ , se puede definir un radio efectivo $k$ , dependiente de un eje de rotación particular, con un valor tal que su momento de inercia alrededor del eje sea

{\ Displaystyle I = mk ^ {2},}

donde $k$ se conoce como el radio de giro alrededor del eje.

Ejemplos de

Péndulo simple

El momento de inercia se puede medir con un simple péndulo, porque es la resistencia a la rotación provocada por la gravedad. Matemáticamente, el momento de inercia del péndulo es la relación entre el torque debido a la gravedad alrededor del pivote de un péndulo y su aceleración angular alrededor de ese punto de pivote. Para un péndulo simple, se encuentra que es el producto de la masa de la partícula. ${\ Displaystyle m}$ con el cuadrado de su distancia ${\ Displaystyle r}$ al pivote, es decir

{\ Displaystyle I = señor ^ {2}.}

Esto se puede mostrar de la siguiente manera: La fuerza de gravedad sobre la masa de un péndulo simple genera un par ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}}$ alrededor del eje perpendicular al plano del movimiento pendular. Aquí ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$ es el vector de distancia perpendicular ay desde la fuerza al eje de torsión, y ${\ Displaystyle \ mathbf {F}}$ es la fuerza neta sobre la masa. Asociado con este par hay una aceleración angular , ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ , de la cuerda y la masa alrededor de este eje. Dado que la masa está restringida a un círculo, la aceleración tangencial de la masa es ${\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r}}$ . Desde ${\ Displaystyle F = ma}$ la ecuación de torque se convierte en:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ boldsymbol {\ tau}} & = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} = \ mathbf {r} \ times (m {\ boldsymbol {\ alpha}} \ veces \ mathbf {r}) \\ & = m ((\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {r}) {\ boldsymbol {\ alpha}} - (\ mathbf {r} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha }}) \ mathbf {r}) \\ & = mr ^ {2} {\ boldsymbol {\ alpha}} = I \ alpha \ mathbf {\ hat {k}}, \ end {alineado}}}

dónde ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$ es un vector unitario perpendicular al plano del péndulo. (El penúltimo paso usa la expansión de producto triple vectorial con la perpendicularidad de ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ y ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$ .) La cantidad ${\ Displaystyle I = señor ^ {2}}$ es el momento de inercia de esta única masa alrededor del punto de pivote.

La cantidad ${\ Displaystyle I = señor ^ {2}}$ también aparece en el momento angular de un péndulo simple, que se calcula a partir de la velocidad ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}}$ de la masa del péndulo alrededor del pivote, donde ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ es la velocidad angular de la masa alrededor del punto de pivote. Este momento angular está dado por

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {L} & = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {r} \ times (m {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}) \\ & = m ((\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {r}) {\ boldsymbol {\ omega}} - (\ mathbf {r} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \ mathbf {r}) \\ & = mr ^ {2} {\ boldsymbol {\ omega}} = I \ omega \ mathbf {\ hat {k}}, \ end {alineado}}}

utilizando una derivación similar a la ecuación anterior.

De manera similar, la energía cinética de la masa del péndulo se define por la velocidad del péndulo alrededor del pivote para producir

{\ Displaystyle E _ {\ text {K}} = {\ frac {1} {2}} m \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} = {\ frac {1} {2}} \ left (mr ^ {2} \ right) \ omega ^ {2} = {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2}.}

Esto muestra que la cantidad ${\ Displaystyle I = señor ^ {2}}$ es cómo la masa se combina con la forma de un cuerpo para definir la inercia rotacional. El momento de inercia de un cuerpo de forma arbitraria es la suma de los valores ${\ Displaystyle mr ^ {2}}$ para todos los elementos de masa del cuerpo.

Péndulo compuesto

Péndulos utilizados en el aparato gravimétrico de Mendenhall , de la revista científica de 1897. El gravímetro portátil desarrollado en 1890 por Thomas C. Mendenhall proporcionó las medidas relativas más precisas del campo gravitacional local de la Tierra.

Un péndulo compuesto es un cuerpo formado por un conjunto de partículas de forma continua que gira rígidamente alrededor de un pivote. Su momento de inercia es la suma de los momentos de inercia de cada una de las partículas que lo componen. ^[14]^[15]^{: 395–396}^[16]^{: 51–53} La frecuencia natural ( ${\ Displaystyle \ omega _ {\ text {n}}}$ ) de un péndulo compuesto depende de su momento de inercia, ${\ Displaystyle I_ {P}}$ ,

{\ Displaystyle \ omega _ {\ text {n}} = {\ sqrt {\ frac {mgr} {I_ {P}}}},}

dónde ${\ Displaystyle m}$ es la masa del objeto, ${\ Displaystyle g}$ es la aceleración local de la gravedad, y ${\ Displaystyle r}$ es la distancia desde el punto de pivote hasta el centro de masa del objeto. La medición de esta frecuencia de oscilación en pequeños desplazamientos angulares proporciona una forma eficaz de medir el momento de inercia de un cuerpo. ^[17]^{: 516–517}

Por lo tanto, para determinar el momento de inercia del cuerpo, simplemente suspendalo de un punto de pivote conveniente ${\ Displaystyle P}$ para que oscile libremente en un plano perpendicular a la dirección del momento de inercia deseado, luego mida su frecuencia natural o período de oscilación ( ${\ Displaystyle t}$ ), para obtener

{\ Displaystyle I_ {P} = {\ frac {mgr} {\ omega _ {\ text {n}} ^ {2}}} = {\ frac {mgrt ^ {2}} {4 \ pi ^ {2} }},}

dónde ${\ Displaystyle t}$ es el período (duración) de la oscilación (generalmente promediado durante varios períodos).

Centro de oscilación

Un péndulo simple que tiene la misma frecuencia natural que un péndulo compuesto define la longitud ${\ Displaystyle L}$ desde el pivote hasta un punto llamado centro de oscilación del péndulo compuesto. Este punto también corresponde al centro de percusión . La longitud ${\ Displaystyle L}$ se determina a partir de la fórmula,

{\ Displaystyle \ omega _ {\ text {n}} = {\ sqrt {\ frac {g} {L}}} = {\ sqrt {\ frac {mgr} {I_ {P}}}},}

o

{\ Displaystyle L = {\ frac {g} {\ omega _ {\ text {n}} ^ {2}}} = {\ frac {I_ {P}} {mr}}.}

El péndulo de los segundos , que proporciona el "tic" y el "tac" de un reloj de pie, tarda un segundo en oscilar de un lado a otro. Este es un período de dos segundos, o una frecuencia natural de ${\ Displaystyle \ pi \ \ mathrm {rad / s}}$ para el péndulo. En este caso, la distancia al centro de oscilación, ${\ Displaystyle L}$ , puede calcularse para ser

{\ Displaystyle L = {\ frac {g} {\ omega _ {\ text {n}} ^ {2}}} \ approx {\ frac {9,81 \ \ mathrm {m / s ^ {2}}} {( 3,14 \ \ mathrm {rad / s}) ^ {2}}} \ aproximadamente 0,99 \ \ mathrm {m}.}

Observe que la distancia al centro de oscilación del péndulo de segundos debe ajustarse para adaptarse a diferentes valores de la aceleración local de la gravedad. El péndulo de Kater es un péndulo compuesto que usa esta propiedad para medir la aceleración local de la gravedad y se llama gravímetro .

Momento de inercia de medición

El momento de inercia de un sistema complejo como un vehículo o un avión alrededor de su eje vertical se puede medir suspendiendo el sistema desde tres puntos para formar un péndulo trifilar . Un péndulo trifilar es una plataforma sostenida por tres alambres diseñados para oscilar en torsión alrededor de su eje centroidal vertical. ^[18] El período de oscilación del péndulo trifilar produce el momento de inercia del sistema. ^[19]

Movimiento en un plano fijo

Masa puntual

Cuatro objetos con masas y radios idénticos corriendo por un avión mientras ruedan sin resbalar.

De atrás hacia adelante:

cáscara esférica,
esfera sólida,
anillo cilíndrico, y
cilindro macizo.

El tiempo que tarda cada objeto en llegar a la meta depende de su momento de inercia. ( Versión OGV )

El momento de inercia alrededor de un eje de un cuerpo se calcula sumando ${\ Displaystyle mr ^ {2}}$ para cada partícula del cuerpo, donde ${\ Displaystyle r}$ es la distancia perpendicular al eje especificado. Para ver cómo surge el momento de inercia en el estudio del movimiento de un cuerpo extendido, es conveniente considerar un conjunto rígido de masas puntuales. (Esta ecuación se puede utilizar para ejes que no son ejes principales siempre que se entienda que no describe completamente el momento de inercia. ^[20] )

Considere la energía cinética de un conjunto de ${\ Displaystyle N}$ masas ${\ Displaystyle m_ {i}}$ que mienten a las distancias ${\ Displaystyle r_ {i}}$ desde el punto de pivote ${\ Displaystyle P}$ , que es el punto más cercano en el eje de rotación. Es la suma de la energía cinética de las masas individuales, ^[17]^{: 516–517}^[21]^{: 1084–1085}^[21]^{: 1296–1300}

{\ Displaystyle E _ {\ text {K}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {1} {2}} \, m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {1} {2}} \, m_ {i} \ left (\ omega r_ {i} \ right ) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \, \ omega ^ {2} \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} r_ {i} ^ {2}.}

Esto muestra que el momento de inercia del cuerpo es la suma de cada uno de los ${\ Displaystyle mr ^ {2}}$ términos, eso es

{\ Displaystyle I_ {P} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} r_ {i} ^ {2}.}

Por tanto, el momento de inercia es una propiedad física que combina la masa y la distribución de las partículas alrededor del eje de rotación. Observe que la rotación sobre diferentes ejes del mismo cuerpo produce diferentes momentos de inercia.

El momento de inercia de un cuerpo continuo que gira alrededor de un eje especificado se calcula de la misma manera, excepto con infinitas partículas puntuales. Por lo tanto, se eliminan los límites de la suma y la suma se escribe de la siguiente manera:

{\ Displaystyle I_ {P} = \ sum _ {i} m_ {i} r_ {i} ^ {2}}

Otra expresión reemplaza la suma con una integral ,

{\ Displaystyle I_ {P} = \ iiint \ límites _ {Q} \ rho \ left (x, y, z \ right) \ left \ | \ mathbf {r} \ right \ | ^ {2} \ mathrm {d } V}

Aquí, la función ${\ Displaystyle \ rho}$ da la densidad de masa en cada punto ${\ Displaystyle (x, y, z)}$ , ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$ es un vector perpendicular al eje de rotación y que se extiende desde un punto en el eje de rotación hasta un punto ${\ Displaystyle (x, y, z)}$ en el sólido, y la integración se evalúa sobre el volumen ${\ Displaystyle V}$ del cuerpo ${\ displaystyle Q}$ . El momento de inercia de una superficie plana es similar y la densidad de masa se reemplaza por su densidad de masa de área con la integral evaluada sobre su área.

Nota sobre el segundo momento de área : el momento de inercia de un cuerpo que se mueve en un plano y el segundo momento de área de la sección transversal de una viga a menudo se confunden. El momento de inercia de un cuerpo con la forma de la sección transversal es el segundo momento de esta área alrededor del ${\ Displaystyle z}$ -Eje perpendicular a la sección transversal, ponderado por su densidad. A esto también se le llama el momento polar del área , y es la suma de los segundos momentos alrededor del ${\ Displaystyle x}$ - y ${\ Displaystyle y}$ -axes. ^[22] Las tensiones en una viga se calculan utilizando el segundo momento del área de la sección transversal alrededor de la ${\ Displaystyle x}$ -eje o ${\ Displaystyle y}$ -Eje dependiendo de la carga.

Ejemplos de

El momento de inercia de un péndulo compuesto construido a partir de un disco delgado montado en el extremo de una varilla delgada que oscila alrededor de un pivote en el otro extremo de la varilla, comienza con el cálculo del momento de inercia de la varilla delgada y el disco delgado. sobre sus respectivos centros de masa. ^[21]

El momento de inercia de una varilla delgada con sección transversal constante. ${\ Displaystyle s}$ y densidad ${\ Displaystyle \ rho}$ y con largo ${\ Displaystyle \ ell}$ alrededor de un eje perpendicular que pasa por su centro de masa se determina por integración. ^[21]^{: 1301} Alinear el ${\ Displaystyle x}$ eje con la varilla y ubique el origen de su centro de masa en el centro de la varilla, luego
${\ Displaystyle I_ {C, {\ text {varilla}}} = \ iiint \ límites _ {Q} \ rho \, x ^ {2} \, \ mathrm {d} V = \ int _ {- {\ frac {\ ell} {2}}} ^ {\ frac {\ ell} {2}} \ rho \, x ^ {2} s \, \ mathrm {d} x = \ left. \ rho s {\ frac { x ^ {3}} {3}} \ right | _ {- {\ frac {\ ell} {2}}} ^ {\ frac {\ ell} {2}} = {\ frac {\ rho s} { 3}} \ left ({\ frac {\ ell ^ {3}} {8}} + {\ frac {\ ell ^ {3}} {8}} \ right) = {\ frac {m \ ell ^ { 2}} {12}},}$
dónde ${\ Displaystyle m = \ rho s \ ell}$ es la masa de la varilla.
El momento de inercia de un disco delgado de espesor constante. ${\ Displaystyle s}$ , radio ${\ Displaystyle R}$ y densidad ${\ Displaystyle \ rho}$ alrededor de un eje que pasa por su centro y perpendicular a su cara (paralelo a su eje de simetría rotacional ) se determina por integración. ^[21]^{: 1301}^{[ verificación fallida ]} Alinee el ${\ Displaystyle z}$ -eje con el eje del disco y definir un elemento de volumen como ${\ Displaystyle \ mathrm {d} V = sr \ mathrm {d} r \ mathrm {d} \ theta}$ , luego
${\ Displaystyle I_ {C, {\ text {disc}}} = \ iiint \ limits _ {Q} \ rho \, r ^ {2} \, \ mathrm {d} V = \ int _ {0} ^ { 2 \ pi} \ int _ {0} ^ {R} \ rho r ^ {2} sr \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ theta = 2 \ pi \ rho s {\ frac { R ^ {4}} {4}} = {\ frac {1} {2}} mR ^ {2},}$
dónde ${\ Displaystyle m = \ pi R ^ {2} \ rho s}$ es su masa.
El momento de inercia del péndulo compuesto ahora se obtiene sumando el momento de inercia de la varilla y el disco alrededor del punto de pivote. ${\ Displaystyle P}$ como,
${\ Displaystyle I_ {P} = I_ {C, {\ text {rod}}} + M _ {\ text {rod}} \ left ({\ frac {L} {2}} \ right) ^ {2} + I_ {C, {\ text {disco}}} + M _ {\ text {disco}} (L + R) ^ {2},}$
dónde ${\ Displaystyle L}$ es la longitud del péndulo. Observe que el teorema del eje paralelo se usa para cambiar el momento de inercia del centro de masa al punto de pivote del péndulo.

Una lista de fórmulas de momentos de inercia para formas de cuerpos estándar proporciona una forma de obtener el momento de inercia de un cuerpo complejo como un conjunto de cuerpos de formas más simples. El teorema del eje paralelo se utiliza para desplazar el punto de referencia de los cuerpos individuales al punto de referencia del ensamblaje.

Como un ejemplo más, considere el momento de inercia de una esfera sólida de densidad constante alrededor de un eje que pasa por su centro de masa. Esto se determina sumando los momentos de inercia de los discos delgados que forman la esfera. Si la superficie de la pelota está definida por la ecuación ^[21]^{: 1301}

{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = R ^ {2},}

luego el cuadrado del radio ${\ Displaystyle r}$ del disco en la sección transversal ${\ Displaystyle z}$ a lo largo de ${\ Displaystyle z}$ -eje es

{\ Displaystyle r (z) ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} = R ^ {2} -z ^ {2}.}

Por tanto, el momento de inercia de la bola es la suma de los momentos de inercia de los discos a lo largo del ${\ Displaystyle z}$ -eje,

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} I_ {C, {\ text {ball}}} & = \ int _ {- R} ^ {R} {\ frac {\ pi \ rho} {2}} r (z ) ^ {4} \, \ mathrm {d} z = \ int _ {- R} ^ {R} {\ frac {\ pi \ rho} {2}} \ left (R ^ {2} -z ^ { 2} \ right) ^ {2} \, \ mathrm {d} z \\ & = \ left. {\ Frac {\ pi \ rho} {2}} \ left (R ^ {4} z - {\ frac {2} {3}} R ^ {2} z ^ {3} + {\ frac {1} {5}} z ^ {5} \ right) \ right | _ {- R} ^ {R} \\ & = \ pi \ rho \ left (1 - {\ frac {2} {3}} + {\ frac {1} {5}} \ right) R ^ {5} \\ & = {\ frac {2} {5}} mR ^ {2}, \ end {alineado}}}

dónde ${\ Displaystyle m = {\ frac {4} {3}} \ pi R ^ {3} \ rho}$ es la masa de la esfera.

Cuerpo rígido

Los cilindros con mayor momento de inercia ruedan por una pendiente con menor aceleración, ya que es necesario convertir una mayor parte de su energía potencial en energía cinética de rotación.

Si un sistema mecánico está obligado a moverse en paralelo a un plano fijo, entonces la rotación de un cuerpo en el sistema ocurre alrededor de un eje. ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$ perpendicular a este plano. En este caso, el momento de inercia de la masa en este sistema es un escalar conocido como momento polar de inercia . La definición del momento polar de inercia se puede obtener considerando el momento, la energía cinética y las leyes de Newton para el movimiento plano de un sistema rígido de partículas. ^[14]^[17]^[23]^[24]

Si un sistema de ${\ Displaystyle n}$ partículas ${\ Displaystyle P_ {i}, i = 1, ..., n}$ , se ensamblan en un cuerpo rígido, entonces el impulso del sistema se puede escribir en términos de posiciones relativas a un punto de referencia ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ y velocidades absolutas ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {i}}$ :

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Delta \ mathbf {r} _ {i} & = \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R}, \\\ mathbf {v} _ {i} & = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R} \ right) + \ mathbf {V} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {V}, \ end {alineado}}}

dónde ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ es la velocidad angular del sistema y ${\ Displaystyle \ mathbf {V}}$ es la velocidad de ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ .

Para el movimiento plano, el vector de velocidad angular se dirige a lo largo del vector unitario ${\ Displaystyle \ mathbf {k}}$ que es perpendicular al plano de movimiento. Introducir los vectores unitarios ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}$ desde el punto de referencia ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ a un punto ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$ , y el vector unitario ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} = \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ mathbf {\ hat {e}} _ {i}}$ , entonces

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} & = {\ frac {\ Delta \ mathbf {r} _ {i}} {\ Delta r_ {i}}}, \ quad \ mathbf {\ hat {k}} = {\ frac {\ boldsymbol {\ omega}} {\ omega}}, \ quad \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} = \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ mathbf {\ hat {e}} _ {i}, \\\ mathbf {v} _ {i} & = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {V} = \ omega \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} + \ mathbf {V} = \ omega \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} + \ mathbf {V} \ end {alineado}}}

Esto define el vector de posición relativa y el vector de velocidad para el sistema rígido de partículas que se mueven en un plano.

Nota sobre el producto cruzado : cuando un cuerpo se mueve paralelo a un plano de tierra, las trayectorias de todos los puntos del cuerpo se encuentran en planos paralelos a este plano de tierra. Esto significa que cualquier rotación que experimente el cuerpo debe ser alrededor de un eje perpendicular a este plano. El movimiento plano a menudo se presenta como proyectado en este plano del suelo, de modo que el eje de rotación aparece como un punto. En este caso, la velocidad angular y la aceleración angular del cuerpo son escalares y se ignora el hecho de que son vectores a lo largo del eje de rotación. Por lo general, se prefiere para las introducciones al tema. Pero en el caso del momento de inercia, la combinación de masa y geometría se beneficia de las propiedades geométricas del producto cruzado. Por esta razón, en esta sección sobre movimiento plano la velocidad angular y las aceleraciones del cuerpo son vectores perpendiculares al plano del suelo, y las operaciones de producto cruzado son las mismas que se utilizan para el estudio del movimiento espacial de cuerpos rígidos.

Momento angular

El vector de momento angular para el movimiento plano de un sistema rígido de partículas viene dado por ^[14]^[17]

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {L} & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {v} _ {i} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} \ times \ left ( \ omega \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) \\ & = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n } m_ {i} \, \ Delta r_ {i} ^ {2} \ right) \ omega \ mathbf {\ hat {k}} + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i } \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} \ right) \ times \ mathbf {V}. \ End {alineado}}}

Usa el centro de masa ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ como punto de referencia

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} & = \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C}, \\\ suma _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} & = 0, \ end {alineado}}}

y definir el momento de inercia relativo al centro de masa ${\ Displaystyle I _ {\ mathbf {C}}}$ como

{\ Displaystyle I _ {\ mathbf {C}} = \ sum _ {i} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} ^ {2},}

entonces la ecuación para el momento angular se simplifica a ^[21]^{: 1028}

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = I _ {\ mathbf {C}} \ omega \ mathbf {\ hat {k}}.}

El momento de la inercia ${\ Displaystyle I _ {\ mathbf {C}}}$ alrededor de un eje perpendicular al movimiento del sistema rígido ya través del centro de masa se conoce como momento polar de inercia . Específicamente, es el segundo momento de masa con respecto a la distancia ortogonal de un eje (o polo).

Para una cantidad dada de momento angular, una disminución en el momento de inercia da como resultado un aumento en la velocidad angular. Los patinadores artísticos pueden cambiar su momento de inercia tirando de sus brazos. Por lo tanto, la velocidad angular alcanzada por un patinador con los brazos extendidos da como resultado una mayor velocidad angular cuando los brazos se tiran hacia adentro, debido al reducido momento de inercia. Sin embargo, un patinador artístico no es un cuerpo rígido.

Energía cinética

Esta cizalla rotativa de 1906 utiliza el momento de inercia de dos volantes para almacenar energía cinética que, cuando se libera, se utiliza para cortar material metálico (Biblioteca Internacional de Tecnología, 1906).

La energía cinética de un sistema rígido de partículas que se mueven en el plano viene dada por ^[14]^[17]

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} E _ {\ text {K}} & = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i}, \\ & = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left (\ omega \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) \ cdot \ left (\ omega \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ sombrero {t}} _ {i} + \ mathbf {V} \ right), \\ & = {\ frac {1} {2}} \ omega ^ {2} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} ^ {2} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} \ cdot \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} \ right ) + \ omega \ mathbf {V} \ cdot \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i } \ right) + {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ right) \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V}. \ end {alineado}}}

Sea el punto de referencia el centro de masa ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ del sistema por lo que el segundo término se convierte en cero, e introduce el momento de inercia ${\ Displaystyle I _ {\ mathbf {C}}}$ entonces la energía cinética viene dada por ^[21]^{: 1084}

{\ Displaystyle E _ {\ text {K}} = {\ frac {1} {2}} I _ {\ mathbf {C}} \ omega ^ {2} + {\ frac {1} {2}} M \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V}.}

El momento de la inercia ${\ Displaystyle I _ {\ mathbf {C}}}$ es el momento polar de inercia del cuerpo.

Leyes de Newton

Un tractor John Deere de la década de 1920 con volante de radios en el motor. El gran momento de inercia del volante suaviza el funcionamiento del tractor.

Las leyes de Newton para un sistema rígido de ${\ Displaystyle n}$ partículas ${\ Displaystyle P_ {i}, i = 1, ..., n}$ , se puede escribir en términos de una fuerza y un par resultantes en un punto de referencia ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ , para ceder ^[14]^[17]

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {F} & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {A} _ {i}, \\ {\ boldsymbol {\ tau }} & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times m_ {i} \ mathbf {A} _ {i}, \ end {alineado}}}

dónde ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$ denota la trayectoria de cada partícula.

La cinemática de un cuerpo rígido produce la fórmula para la aceleración de la partícula. ${\ Displaystyle P_ {i}}$ en términos de la posición ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ y aceleración ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$ de la partícula de referencia, así como el vector de velocidad angular ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ y vector de aceleración angular ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ del sistema rígido de partículas como,

{\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {i} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {A}.}

Para sistemas que están restringidos al movimiento plano, los vectores de velocidad angular y aceleración angular se dirigen a lo largo de ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$ perpendicular al plano de movimiento, lo que simplifica esta ecuación de aceleración. En este caso, los vectores de aceleración se pueden simplificar introduciendo los vectores unitarios ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {i}}$ desde el punto de referencia ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ a un punto ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$ y los vectores unitarios ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} = \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ mathbf {\ hat {e}} _ {i}}$ , entonces

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {A} _ {i} & = \ alpha \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ { i} - \ omega \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ omega \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} + \ mathbf {A} \\ & = \ alpha \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} - \ omega ^ {2} \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e} } _ {i} + \ mathbf {A}. \ end {alineado}}}

Esto produce el torque resultante en el sistema como

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ boldsymbol {\ tau}} & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e }} _ {i} \ times \ left (\ alpha \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} - \ omega ^ {2} \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} + \ mathbf {A} \ right) \\ & = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} ^ { 2} \ right) \ alpha \ mathbf {\ hat {k}} + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat { e}} _ {i} \ right) \ times \ mathbf {A}, \ end {alineado}}}

dónde ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} \ times \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} = \ mathbf {0}}$ , y ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} \ times \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} = \ mathbf {\ hat {k}}}$ es el vector unitario perpendicular al plano de todas las partículas ${\ Displaystyle P_ {i}}$ .

Usa el centro de masa ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ como punto de referencia y definir el momento de inercia relativo al centro de masa ${\ Displaystyle I _ {\ mathbf {C}}}$ , entonces la ecuación para el par resultante se simplifica a ^[21]^{: 1029}

{\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = I _ {\ mathbf {C}} \ alpha \ mathbf {\ hat {k}}.}

Movimiento en el espacio de un cuerpo rígido y la matriz de inercia

Los momentos escalares de inercia aparecen como elementos en una matriz cuando un sistema de partículas se ensambla en un cuerpo rígido que se mueve en un espacio tridimensional. Esta matriz de inercia aparece en el cálculo del momento angular, la energía cinética y el par resultante del sistema rígido de partículas. ^[3]^[4]^[5]^[6]^[25]

Deje que el sistema de ${\ Displaystyle n}$ partículas ${\ Displaystyle P_ {i}, i = 1, ..., n}$ estar ubicado en las coordenadas ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$ con velocidades ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {i}}$ relativo a un marco de referencia fijo. Para un punto de referencia (posiblemente en movimiento) ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ , las posiciones relativas son

{\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R}}

y las velocidades (absolutas) son

{\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {i} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {V} _ {\ mathbf {R}}}

dónde ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ es la velocidad angular del sistema, y ${\ Displaystyle \ mathbf {V_ {R}}}$ es la velocidad de ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ .

Momento angular

Tenga en cuenta que el producto cruzado se puede escribir de manera equivalente como multiplicación de matrices combinando el primer operando y el operador en una matriz de simetría sesgada, ${\ Displaystyle \ left [\ mathbf {b} \ right]}$ , construido a partir de los componentes de ${\ Displaystyle \ mathbf {b} = (b_ {x}, b_ {y}, b_ {z})}$ :

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {b} \ times \ mathbf {y} & \ equiv \ left [\ mathbf {b} \ right] \ mathbf {y} \\\ left [\ mathbf {b} \ right] & \ equiv {\ begin {bmatrix} 0 & -b_ {z} & b_ {y} \\ b_ {z} & 0 & -b_ {x} \\ - b_ {y} & b_ {x} & 0 \ end {bmatrix }}. \ end {alineado}}}

La matriz de inercia se construye considerando el momento angular, con el punto de referencia ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ del cuerpo elegido para ser el centro de masa ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ : ^[3]^[6]

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {L} & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf { v} _ {i} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ omega }} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {V} _ {\ mathbf {R}} \ right) \\ & = \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ { n} m_ {i} \, \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ left (\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) \ right ) + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {V} _ {\ mathbf {R}} \ derecha), \ end {alineado}}}

donde los términos que contienen ${\ Displaystyle \ mathbf {V_ {R}}}$ ( ${\ Displaystyle = \ mathbf {C}}$ ) suma cero según la definición de centro de masa .

Entonces, la matriz simétrica sesgada ${\ Displaystyle [\ Delta \ mathbf {r} _ {i}]}$ obtenido del vector de posición relativa ${\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C}}$ , se puede utilizar para definir,

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ right) {\ boldsymbol {\ omega}} = \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} {\ boldsymbol {\ omega}},}

dónde ${\ Displaystyle \ mathbf {I_ {C}}}$ definido por

{\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right ] ^ {2},}

es la matriz de inercia simétrica del sistema rígido de partículas medida con respecto al centro de masa ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ .

Energía cinética

La energía cinética de un sistema rígido de partículas se puede formular en términos del centro de masa y una matriz de momentos de inercia de masa del sistema. Deje que el sistema de ${\ Displaystyle n}$ partículas ${\ Displaystyle P_ {i}, i = 1, ..., n}$ estar ubicado en las coordenadas ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$ con velocidades ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {i}}$ , entonces la energía cinética es ^[3]^[6]

{\ Displaystyle E _ {\ text {K}} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ right) \ cdot \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ { i} + \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ derecha),}

dónde ${\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C}}$ es el vector de posición de una partícula con respecto al centro de masa.

Esta ecuación se expande para producir tres términos

{\ Displaystyle E _ {\ text {K}} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left ({\ boldsymbol {\ omega }} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ cdot \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ cdot \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) + {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ cdot \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ derecha).}

El segundo término de esta ecuación es cero porque ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ es el centro de masa. Presentar la matriz simétrica sesgada ${\ Displaystyle [\ Delta \ mathbf {r} _ {i}]}$ por lo que la energía cinética se convierte en

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} E _ {\ text {K}} & = {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left (\ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) \ cdot \ left (\ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right ] {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) \ right) + {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ right) \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ cdot \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \\ & = {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1 } ^ {n} m_ {i} \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} ^ {\ mathsf {T}} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {\ mathsf { T}} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) \ right) + {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ right) \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ cdot \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \\ & = { \ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ right) {\ boldsymbol {\ omega}} + {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i } \ derecha) \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ cdot \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}}. \ end {alineado}}}

Por tanto, la energía cinética del sistema rígido de partículas está dada por

{\ Displaystyle E _ {\ text {K}} = {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} {\ boldsymbol {\ omega}} + {\ frac {1} {2}} M \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} ^ {2}.}

dónde ${\ Displaystyle \ mathbf {I_ {C}}}$ es la matriz de inercia relativa al centro de masa y ${\ Displaystyle M}$ es la masa total.

Torque resultante

La matriz de inercia aparece en la aplicación de la segunda ley de Newton a un conjunto rígido de partículas. El par resultante en este sistema es, ^[3]^[6]

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (\ mathbf {r_ {i}} - \ mathbf {R} \ right) \ times m_ {i} \ mathbf {a} _ {i},}

dónde ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {i}}$ es la aceleración de la partícula ${\ Displaystyle P_ {i}}$ . La cinemática de un cuerpo rígido produce la fórmula para la aceleración de la partícula. ${\ Displaystyle P_ {i}}$ en términos de la posición ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ y aceleración ${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {\ mathbf {R}}}$ del punto de referencia, así como el vector de velocidad angular ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ y vector de aceleración angular ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ del sistema rígido como,

{\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {i} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ left (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R} \ right) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R} \ right) \ right) + \ mathbf {A} _ { \ mathbf {R}}.}

Usa el centro de masa ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ como punto de referencia, e introduzca la matriz simétrica sesgada ${\ Displaystyle \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] = \ left [\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C} \ right]}$ para representar el producto cruzado ${\ Displaystyle (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C}) \ times}$ , para obtener

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ right) {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ right) {\ boldsymbol {\ omega}}}

El cálculo usa la identidad

{\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) = 0,}

obtenido de la identidad de Jacobi para el producto de triple cruz como se muestra en la siguiente prueba:

Prueba

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ boldsymbol {\ tau}} & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ mathbf {r_ {i}} - \ mathbf {R}) \ times ( m_ {i} \ mathbf {a} _ {i}) \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ( m_ {i} \ mathbf {a} _ {i}) \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ { i} \ times \ mathbf {a} _ {i}] \; \ ldots {\ text {multiplicación escalar de productos cruzados}} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [ {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times (\ mathbf {a} _ {{\ text {tangencial}}, i} + \ mathbf {a} _ {{\ text {centrípeto }}, i} + \ mathbf {A} _ {\ mathbf {R}})] \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times (\ mathbf {a} _ {{\ text {tangencial}}, i} + \ mathbf {a} _ {{\ text {centrípeto}}, i} +0) ] \\ & \; \; \; \; \; \ ldots \; \ mathbf {R} {\ text {está en reposo o moviéndose a una velocidad constante pero no acelerada, o}} \\ & \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; {\ text {el origen del sistema de referencia de coordenadas fijas (mundial) se coloca en el centro de masa}} \ mathbf {C} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf { r} _ {i} \ times \ mathbf {a} _ {{\ text {tangencial}}, i} + {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {a} _ {{\ text {centrípeto}}, i}] \; \ ldots {\ text {distributividad entre productos sobre la suma}} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [ {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + { \ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} _ {{\ text {tangencial}}, i})] \\ {\ boldsymbol {\ tau}} & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol { \ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}))] \\\ end {alineado}}}

Entonces, la siguiente identidad de Jacobi se usa en el último término:

{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}}) \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times (({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta }} \ mathbf {r} _ {i}) \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta }} \ mathbf {r} _ {i}) \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}) \\ & = {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r } _ {i})) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times (({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ times - ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \; \ ldots {\ text {anticommutatividad de productos cruzados}} \\ & = {\ negrita bol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf { r} _ {i})) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times (({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ veces {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + - [({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ) \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})] \; \ ldots {\ text {multiplicación escalar de productos cruzados}} \\ & = {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta} } \ mathbf {r} _ {i})) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times (({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ { i}) \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + - [0] \; \ ldots {\ text {self cross-product}} \\ 0 & = {\ boldsymbol { \ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})) + {\ b símbolo antiguo {\ omega}} \ times (({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ end {alineado}}}

El resultado de aplicar la identidad de Jacobi se puede continuar de la siguiente manera:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})) & = - [{\ boldsymbol {\ omega}} \ times (({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})] \\ & = - [({\ boldsymbol {\ omega}} \ veces {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - { \ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r } _ {i}))] \; \ ldots {\ text {vector triple producto}} \\ & = - [({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r } _ {i}) ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}))] \; \ ldots { \ text {producto triple escalar}} \\ & = - [ ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot (0)) ] \; \ ldots {\ text {producto cruzado propio}} \\ & = - [({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})] \\ & = - [{\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}))] \; \ ldots { \ text {multiplicación escalar de productos cruzados}} \\ & = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ omega }} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})) \; \ ldots {\ text {multiplicación escalar de productos cruzados}} \\ {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})) & = {\ boldsymbol {\ omega}} \ hora s - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}})) \; \ ldots {\ text {conmutatividad de producto-punto}} \\\ end {alineado}}}

El resultado final se puede sustituir por la prueba principal de la siguiente manera:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ boldsymbol {\ tau}} & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ { i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}))] \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol { \ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}))] \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol { \ omega}} \ times \ {0 - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \}] \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ( {\ boldsymb ol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {[{\ boldsymbol {\ omega}} ({ \ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol { \ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})] - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ { i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \}] \; \ ldots \; {\ boldsymbol {\ omega}} ({ \ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol { \ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) = 0 \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n } m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {[{\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol { \ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}})] - {\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i } \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \}] \; \ ldots {\ text {asociatividad de adición}} \\\ end {alineado}}}

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ quad \ quad & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ veces ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{\ boldsymbol {\ omega} } ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times { \ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})] \; \ ldots {\ text {distributividad entre productos sobre la suma}} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{\ boldsymbol {\ omega }} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \} - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ omega}})] \; \ ldots {\ text {multiplicación escalar de productos cruzados}} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r } _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \} - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf { r} _ {i}) (0)] \; \ ldots {\ text {producto cruzado propio}} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol { \ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \}] \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf { r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ { {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \} ] \; \ ldots {\ text {vector triple producto}} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ { i} \ times - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ alpha}}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}) \}] \ ; \ ldots {\ text {anticomutatividad de productos cruzados}} \\ & = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ { i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ alpha}}) + {\ boldsymbol {\ omega }} \ times \ {{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}) \}] \; \ ldots {\ text {multiplicación escalar de productos cruzados}} \\ & = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta }} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ alpha}})] + - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta }} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}) \}] \; \ ldots {\ text {distributividad de suma}} \\ {\ boldsymbol {\ tau}} & = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ alpha}})] + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ omega}})] \; \ ldots \; {\ boldsymbol {\ omega}} {\ text {no es característico de la partícula}} P_ {i} \ end {alineado}}}$

Tenga en cuenta que para cualquier vector ${\ Displaystyle \ mathbf {u} \,}$ , lo siguiente es válido:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {u})] & = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left ({\ begin {bmatrix } 0 & - \ Delta r_ {3, i} & \ Delta r_ {2, i} \\\ Delta r_ {3, i} & 0 & - \ Delta r_ {1, i} \\ - \ Delta r_ {2, i } & \ Delta r_ {1, i} & 0 \ end {bmatrix}} \ left ({\ begin {bmatrix} 0 & - \ Delta r_ {3, i} & \ Delta r_ {2, i} \\\ Delta r_ {3, i} & 0 & - \ Delta r_ {1, i} \\ - \ Delta r_ {2, i} & \ Delta r_ {1, i} & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} u_ { 1} \\ u_ {2} \\ u_ {3} \ end {bmatrix}} \ right) \ right) \; \ ldots {\ text {producto cruzado como multiplicación de matrices}} \\ [6pt] & = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left ({\ begin {bmatrix} 0 & - \ Delta r_ {3, i} & \ Delta r_ {2, i} \\\ Delta r_ { 3, i} & 0 & - \ Delta r_ {1, i} \\ - \ Delta r_ {2, i} & \ Delta r_ {1, i} & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} - \ Delta r_ {3, i} \, u_ {2} + \ Delta r_ {2, i} \, u_ {3} \\ + \ Delta r_ {3, i} \, u_ {1} - \ Delta r_ {1 , i} \, u_ {3} \\ - \ Delta r_ {2, i} \, u_ {1} + \ Delta r_ {1, i} \, u_ {2} \ end {bmatrix}} \ right) \\ [6pt] & = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ begin {bmatrix} - \ Delta r_ {3, i} (+ \ Delta r_ {3, i} \ , u_ {1} - \ Delta r_ {1, i} \, u_ {3}) + \ Delta r_ {2, i} (- \ Delta r_ {2, i} \, u_ {1} + \ Delta r_ {1, i} \, u_ {2}) \\ + \ Delta r_ {3, i} (- \ Delta r_ {3, i} \, u_ {2} + \ Delta r_ {2, i} \, u_ {3}) - \ Delta r_ {1, i} (- \ Delta r_ {2, i} \, u_ {1} + \ Delta r_ {1, i} \, u_ {2}) \\ - \ Delta r_ {2, i} (- \ Delta r_ {3, i} \, u_ {2} + \ Delta r_ {2, i} \, u_ {3}) + \ Delta r_ {1, i} (+ \ Delta r_ {3, i } \, u_ {1} - \ Delta r_ {1, i} \, u_ {3}) \ end {bmatrix}} \\ [6pt] & = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ begin {bmatrix} - \ Delta r_ {3, i} ^ {2} \, u_ {1} + \ Delta r_ {1, i} \ Delta r_ {3, i} \, u_ {3 } - \ Delta r_ {2, i} ^ {2} \, u_ {1} + \ Delta r_ {1, i} \ Delta r_ {2, i} \, u_ {2} \\ - \ Delta r_ { 3, i} ^ {2} \, u_ {2} + \ Delta r_ {2, i} \ Delta r_ {3, i} \, u_ {3} + \ Delta r_ {2, i} \ Delta r_ { 1, i} \, u_ {1} - \ Delta r_ {1, i} ^ {2} \, u_ {2} \\ + \ Delta r_ {3, i} \ Delta r_ {2, i} \, u_ {2} - \ Delta r_ {2, i} ^ {2} \, u_ {3} + \ Delta r_ {3, i} \ Delta r_ {1, i} \, u_ {1} - \ Delta r_ {1, i} ^ {2} \, u_ {3} \ end {bmatrix}} \\ [6pt] & = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ begin {bmatrix } - (\ Delta r_ {2, i} ^ {2} + \ Delta r_ {3, i} ^ {2}) \, u_ {1} + \ Delta r_ {1, i} \ Delta r_ {2, i} \, u_ {2} + \ Delta r_ {1, i} \ Delta r_ {3, i} \, u_ {3} \\ + \ Delta r_ {2, i} \ Delta r_ {1, i} \, u_ {1} - (\ Delta r_ {1, i} ^ {2} + \ Delta r_ {3, i} ^ {2}) \, u_ {2} + \ Delta r_ {2, i} \ Delta r_ {3, i} \, u_ {3} \\ + \ Delta r_ {3, i} \ Delta r_ {1, i} \, u_ {1} + \ Delta r_ {3, i} \ Delta r_ {2, i} \, u_ {2} - (\ Delta r_ { 1, i} ^ {2} + \ Delta r_ {2, i} ^ {2}) \, u_ {3} \ end {bmatrix}} \\ [6pt] & = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ begin {bmatrix} - (\ Delta r_ {2, i} ^ {2} + \ Delta r_ {3, i} ^ {2}) & \ Delta r_ {1, i } \ Delta r_ {2, i} y \ Delta r_ {1, i} \ Delta r_ {3, i} \\\ Delta r_ {2, i} \ Delta r_ {1, i} y - (\ Delta r_ {1, i} ^ {2} + \ Delta r_ {3, i} ^ {2}) & \ Delta r_ {2, i} \ Delta r_ {3, i} \\\ Delta r_ {3, i} \ Delta r_ {1, i} y \ Delta r_ {3, i} \ Delta r_ {2, i} y - (\ Delta r_ {1, i} ^ {2} + \ Delta r_ {2, i} ^ {2}) \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} u_ {1} \\ u_ {2} \\ u_ {3} \ end {bmatrix}} \\ & = - \ sum _ {i = 1 } ^ {n} m_ {i} [\ Delta r_ {i}] ^ {2} \ mathbf {u} \\ [6pt] - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{ \ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {u})] & = \ left ( - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ Delta r_ {i}] ^ {2} \ right) \ mathbf {u} \; \ ldots \; \ mathbf {u} {\ texto {no es característico de}} P_ {i} \ end {alineado}}}

Finalmente, el resultado se usa para completar la prueba principal de la siguiente manera:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ boldsymbol {\ tau}} & = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ alpha}})] + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i } \ times {\ boldsymbol {\ omega}})] \\ & = \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ Delta r_ {i}] ^ {2} \ derecha) {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ Delta r_ {i}] ^ {2} \ right) {\ boldsymbol {\ omega}} \ end {alineado}}}

Por tanto, el par de torsión resultante en el sistema rígido de partículas está dado por

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} {\ boldsymbol {\ omega}},}

dónde ${\ Displaystyle \ mathbf {I_ {C}}}$ es la matriz de inercia relativa al centro de masa.

Teorema del eje paralelo

La matriz de inercia de un cuerpo depende de la elección del punto de referencia. Existe una relación útil entre la matriz de inercia en relación con el centro de masa ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ y la matriz de inercia relativa a otro punto ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ . Esta relación se denomina teorema del eje paralelo. ^[3]^[6]

Considere la matriz de inercia ${\ Displaystyle \ mathbf {I_ {R}}}$ obtenido para un sistema rígido de partículas medidas con respecto a un punto de referencia ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ , dada por

{\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left [\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf { R} \ derecha] ^ {2}.}

Dejar ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ ser el centro de masa del sistema rígido, entonces

{\ Displaystyle \ mathbf {R} = (\ mathbf {R} - \ mathbf {C}) + \ mathbf {C} = \ mathbf {d} + \ mathbf {C},}

dónde ${\ Displaystyle \ mathbf {d}}$ es el vector del centro de masa ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ al punto de referencia ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ . Utilice esta ecuación para calcular la matriz de inercia,

{\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ mathbf {r} _ {i} - \ left (\ mathbf {C} + \ mathbf {d} \ right)] ^ {2} = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ left (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C} \ right) - \ mathbf {d}] ^ {2}.}

Distribuir sobre el producto cruzado para obtener

{\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} = - \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C}] ^ {2} \ right) + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C}] \ right ) [\ mathbf {d}] + [\ mathbf {d}] \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C }] \ derecha) - \ izquierda (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ derecha) [\ mathbf {d}] ^ {2}.}

El primer término es la matriz de inercia. ${\ Displaystyle \ mathbf {I_ {C}}}$ relativo al centro de masa. El segundo y tercer términos son cero por definición del centro de masa. ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ . Y el último término es la masa total del sistema multiplicada por el cuadrado de la matriz simétrica sesgada ${\ Displaystyle [\ mathbf {d}]}$ construido a partir de ${\ Displaystyle \ mathbf {d}}$ .

El resultado es el teorema del eje paralelo,

{\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} = \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} -M [\ mathbf {d}] ^ {2},}

dónde ${\ Displaystyle \ mathbf {d}}$ es el vector del centro de masa ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ al punto de referencia ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ .

Nota sobre el signo menos : Al usar la matriz simétrica sesgada de vectores de posición con respecto al punto de referencia, la matriz de inercia de cada partícula tiene la forma ${\ Displaystyle -m \ left [\ mathbf {r} \ right] ^ {2}}$ , que es similar al ${\ Displaystyle mr ^ {2}}$ que aparece en movimiento plano. Sin embargo, para que esto funcione correctamente se necesita un signo menos. Este signo menos se puede absorber en el término ${\ Displaystyle m \ left [\ mathbf {r} \ right] ^ {\ mathsf {T}} \ left [\ mathbf {r} \ right]}$ , si lo desea, utilizando la propiedad de simetría sesgada de ${\ Displaystyle [\ mathbf {r}]}$ .

Momento de inercia escalar en un plano

El momento escalar de inercia, ${\ Displaystyle I_ {L}}$ , de un cuerpo alrededor de un eje especificado cuya dirección está especificada por el vector unitario ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$ y pasa por el cuerpo en un punto ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ es el siguiente: ^[6]

{\ Displaystyle I_ {L} = \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ right) \ mathbf {\ hat {k}} = \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} \ mathbf { \ hat {k}} = \ mathbf {\ hat {k}} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} \ mathbf {\ hat {k}},}

dónde ${\ Displaystyle \ mathbf {I_ {R}}}$ es la matriz de momentos de inercia del sistema con respecto al punto de referencia ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ , y ${\ Displaystyle [\ Delta \ mathbf {r} _ {i}]}$ es la matriz simétrica sesgada obtenida del vector ${\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R}}$ .

Esto se deriva de la siguiente manera. Deje que un conjunto rígido de ${\ Displaystyle n}$ partículas ${\ Displaystyle P_ {i}, i = 1, ..., n}$ , tener coordenadas ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$ . Escoger ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ como punto de referencia y calcular el momento de inercia alrededor de una línea L definida por el vector unitario ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$ a través del punto de referencia ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ , ${\ Displaystyle \ mathbf {L} (t) = \ mathbf {R} + t \ mathbf {\ hat {k}}}$ . El vector perpendicular de esta línea a la partícula ${\ Displaystyle P_ {i}}$ se obtiene de ${\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i}}$ quitando el componente que se proyecta en ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$ .

{\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} ^ {\ perp} = \ Delta \ mathbf {r} _ {i} - \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ mathbf {\ hat {k}} = \ left (\ mathbf {E} - \ mathbf {\ hat {k}} \ mathbf {\ hat {k}} ^ {\ mathsf {T}} \ right) \ Delta \ mathbf {r} _ {i},}

dónde ${\ Displaystyle \ mathbf {E}}$ es la matriz de identidad, para evitar confusiones con la matriz de inercia, y ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {k}} \ mathbf {\ hat {k}} ^ {\ mathsf {T}}}$ es la matriz de producto exterior formada a partir del vector unitario ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$ a lo largo de la línea ${\ Displaystyle L}$ .

Para relacionar este momento escalar de inercia con la matriz de inercia del cuerpo, introduzca la matriz de simetría sesgada ${\ Displaystyle \ left [\ mathbf {\ hat {k}} \ right]}$ tal que ${\ Displaystyle \ left [\ mathbf {\ hat {k}} \ right] \ mathbf {y} = \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ mathbf {y}}$ , entonces tenemos la identidad

{\ Displaystyle - \ left [\ mathbf {\ hat {k}} \ right] ^ {2} \ equiv \ left | \ mathbf {\ hat {k}} \ right | ^ {2} \ left (\ mathbf { E} - \ mathbf {\ hat {k}} \ mathbf {\ hat {k}} ^ {\ mathsf {T}} \ right) = \ mathbf {E} - \ mathbf {\ hat {k}} \ mathbf {\ hat {k}} ^ {\ mathsf {T}},}

señalando que ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$ es un vector unitario.

La magnitud al cuadrado del vector perpendicular es

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ left | \ Delta \ mathbf {r} _ {i} ^ {\ perp} \ right | ^ {2} & = \ left (- \ left [\ mathbf {\ hat { k}} \ right] ^ {2} \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ cdot \ left (- \ left [\ mathbf {\ hat {k}} \ right] ^ {2} \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \\ & = \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf { r} _ {i} \ right) \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) \ end {alineado}}}

La simplificación de esta ecuación utiliza la identidad del producto triple escalar

{\ Displaystyle \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) \ equiv \ left ( \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) \ times \ mathbf { \ hat {k}} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right),}

donde se han intercambiado los productos punto y cruzado. Intercambiar productos y simplificar notando que ${\ Displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i}}$ y ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$ son ortogonales:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ derecha) \ derecha) \ cdot \ izquierda (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ derecha) \\ = {} & \ left (\ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) \ times \ mathbf {\ hat {k}} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \\ = {} & \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ cdot \ left (- \ Delta \ mathbf {r} _ {i } \ times \ mathbf {\ hat {k}} \ right) \\ = {} & - \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ left (\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {\ hat {k}} \ right) \\ = {} & - \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ left [\ Delta \ mathbf { r} _ {i} \ right] ^ {2} \ mathbf {\ hat {k}}. \ end {alineado}}}

Por lo tanto, el momento de inercia alrededor de la línea ${\ Displaystyle L}$ mediante ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ en la dirección ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$ se obtiene del cálculo

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} I_ {L} & = \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} \ left | \ Delta \ mathbf {r} _ {i} ^ {\ perp} \ right | ^ {2} \\ & = - \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ mathbf {\ hat {k}} = \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i } \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ right) \ mathbf {\ hat {k}} \\ & = \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} \ mathbf {\ hat {k}} = \ mathbf {\ hat {k}} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R }} \ mathbf {\ hat {k}}, \ end {alineado}}}

dónde ${\ Displaystyle \ mathbf {I_ {R}}}$ es la matriz de momentos de inercia del sistema con respecto al punto de referencia ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ .

Esto muestra que la matriz de inercia se puede utilizar para calcular el momento de inercia de un cuerpo alrededor de cualquier eje de rotación especificado en el cuerpo.

Tensor de inercia

Para el mismo objeto, diferentes ejes de rotación tendrán diferentes momentos de inercia alrededor de esos ejes. En general, los momentos de inercia no son iguales a menos que el objeto sea simétrico en todos los ejes. El tensor de momento de inercia es una forma conveniente de resumir todos los momentos de inercia de un objeto con una cantidad. Puede calcularse con respecto a cualquier punto del espacio, aunque a efectos prácticos se utiliza con mayor frecuencia el centro de masa.

Definición

Para un objeto rígido de ${\ Displaystyle N}$ masas puntuales ${\ Displaystyle m_ {k}}$ , el tensor del momento de inercia viene dado por

{\ Displaystyle \ mathbf {I} = {\ begin {bmatrix} I_ {11} & I_ {12} & I_ {13} \\ I_ {21} & I_ {22} & I_ {23} \\ I_ {31} & I_ {32 } & I_ {33} \ end {bmatrix}}}

.

Sus componentes se definen como

{\ Displaystyle I_ {ij} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (\ left \ | \ mathbf {r } _ {k} \ right \ | ^ {2} \ delta _ {ij} -x_ {i} ^ {(k)} x_ {j} ^ {(k)} \ right)}

dónde

{\ Displaystyle i}

,

{\ Displaystyle j}

es igual a 1, 2 o 3 para

{\ Displaystyle x}

,

{\ Displaystyle y}

, y

{\ Displaystyle z}

, respectivamente,

{\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {k} = \ left (x_ {1} ^ {(k)}, x_ {2} ^ {(k)}, x_ {3} ^ {(k)} \ right )}

es el vector a la masa puntual

{\ Displaystyle m_ {k}}

desde el punto sobre el cual se calcula el tensor y

{\ Displaystyle \ delta _ {ij}}

es el delta de Kronecker .

Tenga en cuenta que, según la definición, ${\ Displaystyle \ mathbf {I}}$ es un tensor simétrico .

Los elementos diagonales se escriben más sucintamente como

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} I_ {xx} \ & {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (y_ {k} ^ {2} + z_ {k} ^ {2} \ right), \\ I_ {yy} \ & {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {k = 1 } ^ {N} m_ {k} \ left (x_ {k} ^ {2} + z_ {k} ^ {2} \ right), \\ I_ {zz} \ & {\ stackrel {\ mathrm {def} } {=}} \ \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (x_ {k} ^ {2} + y_ {k} ^ {2} \ right), \ end {alineado }}}

mientras que los elementos fuera de la diagonal, también llamados productos de inercia , son

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} I_ {xy} = I_ {yx} \ & {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ { k} x_ {k} y_ {k}, \\ I_ {xz} = I_ {zx} \ & {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ - \ sum _ {k = 1} ^ { N} m_ {k} x_ {k} z_ {k}, \\ I_ {yz} = I_ {zy} \ & {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} y_ {k} z_ {k}. \ End {alineado}}}

Aquí ${\ Displaystyle I_ {xx}}$ denota el momento de inercia alrededor del ${\ Displaystyle x}$ -eje cuando los objetos se giran alrededor del eje x, ${\ Displaystyle I_ {xy}}$ denota el momento de inercia alrededor del ${\ Displaystyle y}$ -eje cuando los objetos se giran alrededor del ${\ Displaystyle x}$ -axis, y así sucesivamente.

Estas cantidades se pueden generalizar a un objeto con masa distribuida, descrito por una función de densidad de masa, de manera similar al momento de inercia escalar. Entonces uno tiene

{\ Displaystyle \ mathbf {I} = \ iiint \ limits _ {V} \ rho (x, y, z) \ left (\ | \ mathbf {r} \ | ^ {2} \ mathbf {E} _ {3 } - \ mathbf {r} \ otimes \ mathbf {r} \ right) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} z,}

dónde ${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ otimes \ mathbf {r}}$ es su producto externo , E ₃ es la matriz identidad de 3 × 3 y V es una región del espacio que contiene completamente el objeto.

Alternativamente, también se puede escribir en términos del operador de momento angular ${\ Displaystyle [\ mathbf {r}] \ mathbf {x} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {x}}$ :

{\ Displaystyle \ mathbf {I} = \ iiint \ limits _ {V} \ rho (\ mathbf {r}) [\ mathbf {r}] ^ {\ textsf {T}} [\ mathbf {r}] \, \ mathrm {d} V = - \ iiint \ límites _ {Q} \ rho (\ mathbf {r}) [\ mathbf {r}] ^ {2} \, \ mathrm {d} V}

El tensor de inercia se puede usar de la misma manera que la matriz de inercia para calcular el momento escalar de inercia alrededor de un eje arbitrario en la dirección ${\ Displaystyle \ mathbf {n}}$ ,

{\ Displaystyle I_ {n} = \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {I} \ cdot \ mathbf {n},}

donde el producto escalar se toma con los elementos correspondientes en los componentes tensores. Un producto de término de inercia como ${\ Displaystyle I_ {12}}$ se obtiene por el cálculo

{\ Displaystyle I_ {12} = \ mathbf {e} _ {1} \ cdot \ mathbf {I} \ cdot \ mathbf {e} _ {2},}

y se puede interpretar como el momento de inercia alrededor del ${\ Displaystyle x}$ -eje cuando el objeto gira alrededor del ${\ Displaystyle y}$ -eje.

Los componentes de los tensores de grado dos se pueden ensamblar en una matriz. Para el tensor de inercia, esta matriz está dada por,

{\ Displaystyle \ mathbf {I} = {\ begin {bmatrix} I_ {11} & I_ {12} & I_ {13} \\ I_ {21} & I_ {22} & I_ {23} \\ I_ {31} & I_ {32 } & I_ {33} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} I_ {xx} & I_ {xy} & I_ {xz} \\ I_ {yx} & I_ {yy} & I_ {yz} \\ I_ {zx} & I_ {zy} & I_ {zz} \ end {bmatrix}}.}

Es común en la mecánica de cuerpos rígidos utilizar la notación que identifica explícitamente la ${\ Displaystyle x}$ , ${\ Displaystyle y}$ , y ${\ Displaystyle z}$ -axes, tales como ${\ Displaystyle I_ {xx}}$ y ${\ Displaystyle I_ {xy}}$ , para los componentes del tensor de inercia.

Convención de inercia alternativa

Hay algunas aplicaciones CAD y CAE como SolidWorks, Unigraphics NX / Siemens NX y MSC Adams que utilizan una convención alternativa para los productos de inercia. De acuerdo con esta convención, el signo menos se elimina del producto de fórmulas de inercia y en su lugar se inserta en la matriz de inercia:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} I_ {xy} = I_ {yx} \ & {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k } x_ {k} y_ {k}, \\ I_ {xz} = I_ {zx} \ & {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} x_ {k} z_ {k}, \\ I_ {yz} = I_ {zy} \ & {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} y_ {k} z_ {k}, \\ [3pt] \ mathbf {I} & = {\ begin {bmatrix} I_ {xx} & - I_ {xy} & - I_ {xz} \\ - I_ {yx} & I_ {yy} & - I_ {yz} \\ - I_ {zx} & - I_ {zy} & I_ {zz} \ end {bmatrix}}. \ End {alineado}}}

Derivación de los componentes tensoriales

La distancia ${\ Displaystyle r}$ de una partícula en ${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$ desde el eje de rotación pasando por el origen en el ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}$ la dirección es ${\ Displaystyle \ left | \ mathbf {x} - \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ right) \ mathbf {\ hat {n}} \ right |}$ , dónde ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}$ es vector unitario. El momento de inercia sobre el eje es

{\ Displaystyle I = mr ^ {2} = m \ left (\ mathbf {x} - \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ right) \ mathbf {\ hat {n }} \ derecha) \ cdot \ left (\ mathbf {x} - \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ right) \ mathbf {\ hat {n}} \ right) = m \ left (\ mathbf {x} ^ {2} -2 \ mathbf {x} \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ right) \ mathbf {\ hat {n }} + \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ right) ^ {2} \ mathbf {\ hat {n}} ^ {2} \ right) = m \ left ( \ mathbf {x} ^ {2} - \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ right) ^ {2} \ right)}

.

Reescribe la ecuación usando la transposición de la matriz :

{\ Displaystyle I = m \ left (\ mathbf {x} ^ {\ textsf {T}} \ mathbf {x} - \ mathbf {\ hat {n}} ^ {\ textsf {T}} \ mathbf {x} \ mathbf {x} ^ {\ textsf {T}} \ mathbf {\ hat {n}} \ right) = m \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} ^ {\ textsf {T}} \ left (\ mathbf {x} ^ {\ textsf {T}} \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {E_ {3}} - \ mathbf {x} \ mathbf {x} ^ {\ textsf {T}} \ right) \ mathbf {\ hat {n}}}

,

donde E ₃ es la matriz identidad de 3 × 3 .

Esto conduce a una fórmula tensorial para el momento de inercia.

{\ Displaystyle I = m {\ begin {bmatrix} n_ {1} & n_ {2} & n_ {3} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} y ^ {2} + z ^ {2} & - xy & -xz \\ - yx & x ^ {2} + z ^ {2} & - yz \\ - zx & -zy & x ^ {2} + y ^ {2} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} n_ {1 } \\ n_ {2} \\ n_ {3} \ end {bmatrix}}}

.

Para partículas múltiples, solo necesitamos recordar que el momento de inercia es aditivo para ver que esta fórmula es correcta.

Tensor de inercia de traducción

Dejar ${\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {0}}$ ser el tensor de inercia de un cuerpo calculado en su centro de masa , y ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ ser el vector de desplazamiento del cuerpo. El tensor de inercia del cuerpo trasladado con respecto a su centro de masa original viene dado por:

{\ Displaystyle \ mathbf {I} = \ mathbf {I} _ {0} + m [(\ mathbf {R} \ cdot \ mathbf {R}) \ mathbf {E} _ {3} - \ mathbf {R} \ otimes \ mathbf {R}]}

dónde ${\ Displaystyle m}$ es la masa del cuerpo, E ₃ es la matriz identidad de 3 × 3, y ${\ Displaystyle \ otimes}$ es el producto exterior .

Tensor de inercia de rotación

Dejar ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ ser la matriz que representa la rotación de un cuerpo. El tensor de inercia del cuerpo girado viene dado por: ^[26]

{\ Displaystyle \ mathbf {I} = \ mathbf {R} \ mathbf {I_ {0}} \ mathbf {R} ^ {\ textsf {T}}}

Matriz de inercia en diferentes marcos de referencia

El uso de la matriz de inercia en la segunda ley de Newton supone que sus componentes se calculan en relación con los ejes paralelos al marco inercial y no en relación con un marco de referencia fijo en el cuerpo. ^[6]^[23] Esto significa que a medida que el cuerpo se mueve, los componentes de la matriz de inercia cambian con el tiempo. Por el contrario, los componentes de la matriz de inercia medidos en un marco fijo al cuerpo son constantes.

Estructura del cuerpo

Denotemos la matriz de inercia de la estructura de la carrocería relativa al centro de masa ${\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} ^ {B}}$ , y definir la orientación del marco de la carrocería en relación con el marco de inercia por la matriz de rotación ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$ , tal que,

{\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {A} \ mathbf {y},}

donde vectores ${\ Displaystyle \ mathbf {y}}$ en el cuerpo el marco de coordenadas fijas tiene coordenadas ${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$ en el marco inercial. Entonces, la matriz de inercia del cuerpo medida en el marco de inercia viene dada por

{\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} = \ mathbf {A} \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} ^ {B} \ mathbf {A} ^ {\ mathsf {T }}.}

Darse cuenta de ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$ cambia a medida que el cuerpo se mueve, mientras ${\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} ^ {B}}$ permanece constante.

Ejes principales

Medida en el marco del cuerpo, la matriz de inercia es una matriz simétrica real constante. Una matriz simétrica real tiene la descomposición propia en el producto de una matriz de rotación. ${\ Displaystyle \ mathbf {Q}}$ y una matriz diagonal ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Lambda}}}$ , dada por

{\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} ^ {B} = \ mathbf {Q} {\ boldsymbol {\ Lambda}} \ mathbf {Q} ^ {\ mathsf {T}},}

dónde

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Lambda}} = {\ begin {bmatrix} I_ {1} & 0 & 0 \\ 0 & I_ {2} & 0 \\ 0 & 0 & I_ {3} \ end {bmatrix}}.}

Las columnas de la matriz de rotación ${\ Displaystyle \ mathbf {Q}}$ definir las direcciones de los ejes principales del cuerpo, y las constantes ${\ Displaystyle I_ {1}}$ , ${\ Displaystyle I_ {2}}$ , y ${\ Displaystyle I_ {3}}$ se llaman los principales momentos de inercia . Este resultado fue mostrado por primera vez por JJ Sylvester (1852) , y es una forma de la ley de inercia de Sylvester . ^[27]^[28] El eje principal con el momento de inercia más alto a veces se denomina eje de la figura o eje de la figura .

Cuando todos los momentos principales de inercia son distintos, los ejes principales que pasan por el centro de masa se especifican de forma única y el cuerpo rígido se denomina techo asimétrico . Si dos momentos principales son iguales, el cuerpo rígido se llama techo simétrico y no hay una opción única para los dos ejes principales correspondientes. Si los tres momentos principales son iguales, el cuerpo rígido se llama parte superior esférica (aunque no es necesario que sea esférico) y cualquier eje puede considerarse un eje principal, lo que significa que el momento de inercia es el mismo con respecto a cualquier eje.

Los ejes principales suelen estar alineados con los ejes de simetría del objeto. Si un cuerpo rígido tiene un eje de simetría de orden ${\ Displaystyle m}$ , lo que significa que es simétrico bajo rotaciones de 360 ° / m alrededor del eje dado, ese eje es un eje principal. Cuándo ${\ Displaystyle m> 2}$ , el cuerpo rígido es una parte superior simétrica. Si un cuerpo rígido tiene al menos dos ejes de simetría que no son paralelos o perpendiculares entre sí, es una parte superior esférica, por ejemplo, un cubo o cualquier otro sólido platónico .

El movimiento de los vehículos se describe a menudo en términos de guiñada, cabeceo y balanceo, que normalmente corresponden aproximadamente a rotaciones alrededor de los tres ejes principales. Si el vehículo tiene simetría bilateral, entonces uno de los ejes principales corresponderá exactamente al eje transversal (cabeceo).

Un ejemplo práctico de este fenómeno matemático es la tarea automotriz rutinaria de equilibrar un neumático , que básicamente significa ajustar la distribución de masa de una rueda de automóvil de manera que su eje principal de inercia esté alineado con el eje para que la rueda no se tambalee.

Las moléculas rotativas también se clasifican en cimas asimétricas, simétricas o esféricas, y la estructura de sus espectros rotacionales es diferente para cada tipo.

Elipsoide

Un elipsoide con los diámetros semi-principales etiquetados

{\ Displaystyle a}

,

{\ Displaystyle b}

, y

{\ Displaystyle c}

.

La matriz del momento de inercia en las coordenadas del cuerpo-marco es una forma cuadrática que define una superficie en el cuerpo llamada elipsoide de Poinsot . ^[29] Deja ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Lambda}}}$ ser la matriz de inercia relativa al centro de masa alineado con los ejes principales, entonces la superficie

{\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ mathsf {T}} {\ boldsymbol {\ Lambda}} \ mathbf {x} = 1,}

o

{\ Displaystyle I_ {1} x ^ {2} + I_ {2} y ^ {2} + I_ {3} z ^ {2} = 1,}

define un elipsoide en la estructura del cuerpo. Escribe esta ecuación en la forma,

{\ Displaystyle \ left ({\ frac {x} {1 / {\ sqrt {I_ {1}}}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {1 / {\ sqrt {I_ {2}}}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {z} {1 / {\ sqrt {I_ {3}}}}} \ right) ^ {2} = 1 ,}

para ver que los diámetros semi-principales de este elipsoide están dados por

{\ Displaystyle a = {\ frac {1} {\ sqrt {I_ {1}}}}, \ quad b = {\ frac {1} {\ sqrt {I_ {2}}}}, \ quad c = { \ frac {1} {\ sqrt {I_ {3}}}}.}

Deja un punto ${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$ en este elipsoide definirse en términos de su magnitud y dirección, ${\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ | \ mathbf {x} \ | \ mathbf {n}}$ , dónde ${\ Displaystyle \ mathbf {n}}$ es un vector unitario. Entonces la relación presentada anteriormente, entre la matriz de inercia y el momento de inercia escalar ${\ Displaystyle I _ {\ mathbf {n}}}$ alrededor de un eje en la dirección ${\ Displaystyle \ mathbf {n}}$ , rinde

{\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ mathsf {T}} {\ boldsymbol {\ Lambda}} \ mathbf {x} = \ | \ mathbf {x} \ | ^ {2} \ mathbf {n} ^ { \ mathsf {T}} {\ boldsymbol {\ Lambda}} \ mathbf {n} = \ | \ mathbf {x} \ | ^ {2} I _ {\ mathbf {n}} = 1.}

Por tanto, la magnitud de un punto ${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$ en la dirección ${\ Displaystyle \ mathbf {n}}$ en el elipsoide de inercia es

{\ Displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | = {\ frac {1} {\ sqrt {I _ {\ mathbf {n}}}}}.}

Ver también

Momento central
Lista de momentos de inercia
Lámina plana
Energía rotacional
Momento de factor de inercia

Referencias

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enlaces externos

Momento angular y rotación del cuerpo rígido en dos y tres dimensiones
Apuntes de clase sobre rotación de cuerpos rígidos y momentos de inercia
El tensor del momento de inercia
Una lección introductoria sobre el momento de inercia: mantener un poste vertical que no se caiga (simulación de Java)
Tutorial sobre la búsqueda de momentos de inercia, con problemas y soluciones en varias formas básicas.
Notas sobre la mecánica de la manipulación: el tensor de inercia angular

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