Dualidad Spanier-Whitehead

En matemáticas , la dualidad Spanier-Whitehead es una teoría de la dualidad en la teoría de la homotopía , basada en la idea geométrica de que un espacio topológico X puede considerarse dual a su complemento en la n - esfera , donde n es lo suficientemente grande. Sus orígenes se encuentran en la teoría de la dualidad de Alexander , en la teoría de la homología , sobre los complementos en las variedades . La teoría también se conoce como S-dualidad , pero esto ahora puede causar una posible confusión con la S-dualidad de la teoría de cuerdas . Lleva el nombre deEdwin Spanier y JHC Whitehead , quienes lo desarrollaron en artículos de 1955.

El punto básico es que los complementos de esferas determinan la homología, pero no el tipo de homotopía , en general. Sin embargo, lo que se determina es el tipo de homotopía estable , que se concibió como una primera aproximación al tipo de homotopía. Por tanto, la dualidad Spanier-Whitehead encaja en la teoría de la homotopía estable .

Sea X un barrio compacto que se retrae . Entonces y son objetos duales en la categoría de espectros puntiagudos con el producto de aplastamiento como una estructura monoidal. Aquí está la unión de y un punto, y son suspensiones reducidas y no reducidas respectivamente. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle X ^ {+}}$ ${\ Displaystyle \ Sigma ^ {- n} \ Sigma '(\ mathbb {R} ^ {n} \ setminus X)}$ ${\ Displaystyle X ^ {+}}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ Sigma}$ ${\ Displaystyle \ Sigma '}$

Al tomar la homología y la cohomología con respecto a un espectro de Eilenberg-MacLane se recupera formalmente la dualidad de Alexander .