La conjetura SYZ es un intento de comprender la conjetura de la simetría especular , un problema en física teórica y matemáticas. La conjetura original fue propuesta en un artículo de Strominger , Yau y Zaslow , titulado "La simetría de espejo es T- dualidad". [1]
Junto con la conjetura de la simetría especular homológica , es una de las herramientas más exploradas aplicadas para comprender la simetría especular en términos matemáticos. Mientras que la simetría especular homológica se basa en el álgebra homológica , la conjetura SYZ es una realización geométrica de la simetría especular.
Formulación
En la teoría de cuerdas , la simetría especular relaciona las teorías de tipo IIA y de tipo IIB . Predice que la teoría del campo efectivo del tipo IIA y del tipo IIB debería ser la misma si las dos teorías se compactan en colectores de pares de espejos.
La conjetura SYZ utiliza este hecho para realizar la simetría especular. Se parte de considerar los estados BPS de las teorías de tipo IIA compactificada en X , en especial 0-branas que tienen módulos espacio X . Se sabe que todos los estados BPS de las teorías de tipo IIB compactadas en Y son 3-branas . Por lo tanto, la simetría especular mapeará 0-branas de las teorías de tipo IIA en un subconjunto de 3-branas de las teorías de tipo IIB.
Al considerar las condiciones supersimétricas , se ha demostrado que estas 3 branas deberían ser subvariedades lagrangianas especiales . [2] [3] Por otro lado, la dualidad T hace la misma transformación en este caso, por lo que "la simetría especular es la dualidad T".
Declaración matemática
La propuesta inicial de la conjetura SYZ de Strominger, Yau y Zaslow, no fue dada como una declaración matemática precisa. [1] Una parte de la resolución matemática de la conjetura SYZ es, en cierto sentido, formular correctamente el enunciado de la conjetura misma. No hay un enunciado preciso acordado de la conjetura dentro de la literatura matemática, pero hay un enunciado general que se espera que esté cerca de la formulación correcta de la conjetura, que se presenta aquí. [4] [5] Esta afirmación enfatiza la imagen topológica de la simetría especular, pero no caracteriza con precisión la relación entre las estructuras complejas y simplécticas de los pares de espejos, ni hace referencia a las métricas riemannianas asociadas involucradas.
Conjetura de SYZ: Cada variedad de Calabi-Yau de 6 dimensiones tiene un colector Calabi-Yau de 6 dimensiones espejo tal que hay continuas sobreyecciones , a un colector topológico compacto de dimensión 3, tal que
- Existe un subconjunto abierto denso en el que los mapas son fibraciones por 3-toros lagrangianos especiales no singulares . Además por cada punto, las fibras del toro y deberían ser duales entre sí en algún sentido, análogo a la dualidad de las variedades abelianas .
- Para cada , las fibras y deben ser subvariedades lagrangianas especiales tridimensionales singulares de y respectivamente.
La situación en la que de modo que no hay un locus singular se denomina límite semiplano de la conjetura SYZ, y se utiliza a menudo como una situación modelo para describir las fibraciones del toro. Se puede demostrar que la conjetura SYZ se cumple en algunos casos simples de límites semiplanos, por ejemplo, dados por variedades abelianas y superficies K3 que están fibradas por curvas elípticas .
Se espera que la formulación correcta de la conjetura SYZ difiera algo de la declaración anterior. Por ejemplo, el posible comportamiento del conjunto singular no se entiende bien, y este conjunto podría ser bastante grande en comparación con . La simetría de espejo también se expresa a menudo en términos de familias degeneradas de variedades Calabi-Yau en lugar de para un solo Calabi-Yau, y uno podría esperar que la conjetura SYZ se reformulara con más precisión en este lenguaje. [4]
Referencias
- ^ a b Strominger, Andrew; Yau, Shing-Tung; Zaslow, Eric (1996), "La simetría de espejo es T- dualidad", Física nuclear B , 479 (1-2): 243-259, arXiv : hep-th / 9606040 , Bibcode : 1996NuPhB.479..243S , doi : 10.1016 / 0550-3213 (96) 00434-8.
- ^ Becker, Katrin; Becker, Melanie; Strominger, Andrew (1995), "Fivebranes, membranas y teoría de cuerdas no perturbativas", Física nuclear B , 456 (1-2): 130-152, arXiv : hep-th / 9507158 , Bibcode : 1995NuPhB.456..130B , doi : 10.1016 / 0550-3213 (95) 00487-1.
- ^ Harvey, Reese; Lawson, H. Blaine, Jr. (1982), " Geometrías calibradas", Acta Mathematica , 148 (1): 47-157, doi : 10.1007 / BF02392726.
- ^ a b Gross, M., Huybrechts, D. y Joyce, D., 2012. Variedades de Calabi-Yau y geometrías relacionadas: conferencias en una escuela de verano en Nordfjordeid, Noruega, junio de 2001. Springer Science & Business Media.
- ^ Gross, M., 2012. Simetría de espejo y la conjetura de Strominger-Yau-Zaslow. Desarrollos actuales en matemáticas, 2012 (1), pp.133-191.