Bifurcación del nodo de silla de montar

En la matemática área de teoría de la bifurcación una bifurcación silla-nodo , bifurcación tangencial o bifurcación pliegue es una bifurcación locales en la que dos puntos fijos (o equilibrios ) de un sistema dinámico chocan y se aniquilan entre sí. El término 'bifurcación de nodo silla de montar' se usa con mayor frecuencia en referencia a sistemas dinámicos continuos. En sistemas dinámicos discretos, la misma bifurcación a menudo se denomina bifurcación de pliegue . Otro nombre es bifurcación de cielo azul en referencia a la creación repentina de dos puntos fijos. ^[1]

Si el espacio de fase es unidimensional, uno de los puntos de equilibrio es inestable (la silla), mientras que el otro es estable (el nodo).

Las bifurcaciones del nodo silla de montar pueden estar asociadas con bucles de histéresis y catástrofes .

Forma normal

Un ejemplo típico de una ecuación diferencial con una bifurcación de nodo silla es:

{\ Displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = r + x ^ {2}.}

Aquí ${\ Displaystyle x}$ es la variable de estado y ${\ Displaystyle r}$ es el parámetro de bifurcación.

Si ${\ Displaystyle r <0}$ hay dos puntos de equilibrio, un punto de equilibrio estable en ${\ Displaystyle - {\ sqrt {-r}}}$ y uno inestable en ${\ Displaystyle + {\ sqrt {-r}}}$ .
A ${\ Displaystyle r = 0}$ (el punto de bifurcación) hay exactamente un punto de equilibrio. En este punto, el punto fijo ya no es hiperbólico . En este caso, el punto fijo se denomina punto fijo de nodo silla.
Si ${\ Displaystyle r> 0}$ no hay puntos de equilibrio. ^[2]

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Reproducir medios

Bifurcación del nodo de silla

De hecho, esta es una forma normal de bifurcación de nodo silla de montar. Una ecuación diferencial escalar ${\ Displaystyle {\ tfrac {dx} {dt}} = f (r, x)}$ que tiene un punto fijo en ${\ Displaystyle x = 0}$ por ${\ Displaystyle r = 0}$ con ${\ displaystyle {\ tfrac {\ partial f} {\ partial x}} (0,0) = 0}$ es localmente topológicamente equivalente a ${\ Displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = r \ pm x ^ {2}}$ , siempre que satisfaga ${\ displaystyle {\ tfrac {\ partial ^ {2} \! f} {\ partial x ^ {2}}} (0,0) \ neq 0}$ y ${\ Displaystyle {\ tfrac {\ partial f} {\ partial r}} (0,0) \ neq 0}$ . La primera condición es la condición de no degeneración y la segunda condición es la condición de transversalidad. ^[3]

Ejemplo en dos dimensiones

Retrato de fase que muestra la bifurcación del nodo de silla de montar

Un ejemplo de una bifurcación de nodo silla en dos dimensiones ocurre en el sistema dinámico bidimensional:

{\ Displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = \ alpha -x ^ {2}}

{\ Displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = - y.}

Como puede verse en la animación obtenida al trazar retratos de fase variando el parámetro ${\ Displaystyle \ alpha}$ ,

Cuándo ${\ Displaystyle \ alpha}$ es negativo, no hay puntos de equilibrio.
Cuándo ${\ Displaystyle \ alpha = 0}$ , hay un punto de nodo silla.
Cuándo ${\ Displaystyle \ alpha}$ es positivo, hay dos puntos de equilibrio: es decir, un punto de silla y un nodo (un atractor o un repelente).

Una bifurcación de nodo silla de montar también ocurre en la ecuación del consumidor (ver bifurcación transcrítica ) si el término de consumo se cambia de ${\ displaystyle px}$ a ${\ Displaystyle p}$ , es decir, la tasa de consumo es constante y no es proporcional al recurso ${\ Displaystyle x}$ .

Otros ejemplos se encuentran en el modelado de interruptores biológicos. ^[4] Recientemente, se demostró que bajo ciertas condiciones, las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general tienen la misma forma que una bifurcación de pliegue. ^[5] También se ha estudiado una versión no autónoma de la bifurcación del nodo silla de montar (es decir, el parámetro depende del tiempo). ^[6]

Ver también

Notas

^ Strogatz 1994 , p. 47.
^ Kuznetsov 1998 , págs. 80-81.
^ Kuznetsov 1998 , Teoremas 3.1 y 3.2.
^ Chong, Ket Hing; Samarasinghe, Sandhya; Kulasiri, Don; Zheng, Jie (2015). Técnicas computacionales en modelado matemático de interruptores biológicos . XXI Congreso Internacional de Modelado y Simulación. hdl : 10220/42793 .
^ Kohli, Ikjyot Singh; Haslam, Michael C (2018). "Ecuaciones de campo de Einstein como una bifurcación de pliegue". Revista de Geometría y Física . 123 : 434–7. arXiv : 1607.05300 . Código Bibliográfico : 2018JGP ... 123..434K . doi : 10.1016 / j.geomphys.2017.10.001 .
^ Li, Jeremiah H .; Ye, Felix X. -F .; Qian, Hong; Huang, Sui (1 de agosto de 2019). "Bifurcación silla-nodo dependiente del tiempo: Rompiendo el tiempo y el punto de no retorno en un modelo no autónomo de transiciones críticas". Physica D: Fenómenos no lineales . 395 : 7-14. arXiv : 1611.09542 . doi : 10.1016 / j.physd.2019.02.005 . ISSN 0167-2789 .

Referencias

Kuznetsov, Yuri A. (1998). Elementos de la teoría aplicada de la bifurcación (Segunda ed.). Saltador. ISBN 0-387-98382-1.
Strogatz, Steven H. (1994). Dinámica no lineal y caos . Addison Wesley. ISBN 0-201-54344-3.
Weisstein, Eric W. "Fold Bifurcation" . MathWorld .
Chong, KH; Samarasinghe, S .; Kulasiri, D .; Zheng, J. (2015). Técnicas Computacionales en Modelado Matemático de Interruptores Biológicos . En Weber, T., McPhee, MJ y Anderssen, RS (eds) MODSIM2015, XXI Congreso Internacional de Modelado y Simulación (MODSIM 2015). Sociedad de Modelado y Simulación de Australia y Nueva Zelanda, diciembre de 2015, págs. 578-584. ISBN 978-0-9872143-5-5.
Kohli, Ikjyot Singh; Haslam, Michael C. (2018). Ecuaciones de campo de Einstein como una bifurcación de pliegues . Journal of Geometry and Physics Volumen 123, enero de 2018, páginas 434-437.

[FOOTNOTEStrogatz199447-1] Strogatz 1994 , p. 47.

[FOOTNOTEKuznetsov199880–81-2] Kuznetsov 1998 , págs. 80-81.

[FOOTNOTEKuznetsov1998Theorems_3.1_and_3.2-3] Kuznetsov 1998 , Teoremas 3.1 y 3.2.

[4] Chong, Ket Hing; Samarasinghe, Sandhya; Kulasiri, Don; Zheng, Jie (2015). Técnicas computacionales en modelado matemático de interruptores biológicos . XXI Congreso Internacional de Modelado y Simulación. hdl : 10220/42793 .

[5] Kohli, Ikjyot Singh; Haslam, Michael C (2018). "Ecuaciones de campo de Einstein como una bifurcación de pliegue". Revista de Geometría y Física . 123 : 434–7. arXiv : 1607.05300 . Código Bibliográfico : 2018JGP ... 123..434K . doi : 10.1016 / j.geomphys.2017.10.001 .

[6] Li, Jeremiah H .; Ye, Felix X. -F .; Qian, Hong; Huang, Sui (1 de agosto de 2019). "Bifurcación silla-nodo dependiente del tiempo: Rompiendo el tiempo y el punto de no retorno en un modelo no autónomo de transiciones críticas". Physica D: Fenómenos no lineales . 395 : 7-14. arXiv : 1611.09542 . doi : 10.1016 / j.physd.2019.02.005 . ISSN 0167-2789 .

[1]