En la teoría matemática de los nudos , un nudo satélite es un nudo que contiene un toro incompresible que no es paralelo a los límites en su complemento . [1] Cada nudo es hiperbólico, toroidal o satélite. La clase de nudos satélite incluye nudos compuestos , nudos de cable y dobles Whitehead. ( Consulte las familias básicas , a continuación, para ver las definiciones de las dos últimas clases). Un enlace por satélite es aquel que orbita un nudo compañero K en el sentido de que se encuentra dentro de un vecindario regular del compañero. [2] : 217
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Un nudo satélite se puede describir pintorescamente de la siguiente manera: comience tomando un nudo no trivial acostado dentro de un toro sólido sin nudos . Aquí "no trivial" significa que el nudo no se le permite sentarse dentro de una bola 3 en y no se permite que sea isotópico a la curva del núcleo central del toro sólido. Luego, ate el toro sólido en un nudo no trivial.
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Esto significa que hay una incrustación no trivial y . La curva del núcleo central del toro sólido se envía a un nudo , que se denomina "nudo compañero" y se considera el planeta alrededor del cual el "nudo satélite" órbitas. La construcción asegura que es un toro incompresible paralelo no límite en el complemento de . Los nudos compuestos contienen un cierto tipo de toro incompresible llamado toro de seguimiento de la deglución , que se puede visualizar como tragar un sumando y siguiendo otro sumando.
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Desde es un toro sólido sin nudos, es un barrio tubular de un nudo . El enlace de 2 componentes junto con la incrustación se denomina patrón asociado a la operación del satélite.
Una convención: la gente suele exigir que la incorporación está desenrollado en el sentido de que debe enviar la longitud estándar de a la longitud estándar de . Dicho de otra manera, dadas dos curvas distintas, conserva sus números de enlace, es decir: .
Familias básicas
Cuándo es un nudo toro , entoncesse llama nudo de cable. Los ejemplos 3 y 4 son nudos de cable.
Si es un nudo no trivial en y si un disco de compresión para se cruza precisamente en un punto, entonces se llama suma de conexión. Otra forma de decir esto es que el patrón es la suma de conexión de un nudo no trivial con un enlace Hopf.
Si el enlace es el enlace de Whitehead ,se llama un doble de Whitehead. Si está desenrollado, se llama un doble de Whitehead sin torsión.
Ejemplos de
Ejemplo 1: La suma de conexión de un nudo en forma de 8 y un trébol.
Ejemplo 2: Whitehead sin trenzar doble de una figura de 8.
Ejemplo 3: Cable de una suma de conexión.
Ejemplo 4: Cable de trébol.
Los ejemplos 5 y 6 son variantes de la misma construcción. Ambos tienen dos toros incompresibles no paralelos, no paralelos a los límites en sus complementos, dividiendo el complemento en la unión de tres variedades. En el Ejemplo 5, esas variedades son: el complemento de anillos de Borromeo , el complemento de trébol y el complemento de figura 8. En el Ejemplo 6, el complemento en forma de 8 se reemplaza por otro complemento en forma de trébol.
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Orígenes
En 1949 [3] Horst Schubert demostró que cada nudo orientado en se descompone como una suma de conexión de los nudos primos de una manera única, hasta el reordenamiento, haciendo que el monoide de las clases de isotopías orientadas de nudos en un monoide conmutativo libre en un número infinito de generadores. Poco después, se dio cuenta de que podía dar una nueva prueba de su teorema mediante un análisis detallado de los toros incompresibles presentes en el complemento de una suma de conexiones. Esto lo llevó a estudiar toros incompresibles generales en complementos de nudos en su obra épica Knoten und Vollringe , [4] donde definió los nudos satélites y acompañantes.
Trabajo de seguimiento
La demostración de Schubert de que los toros incompresibles desempeñan un papel importante en la teoría de nudos fue una de las primeras ideas que llevaron a la unificación de la teoría de tres variedades y la teoría de nudos. Atrajo la atención de Waldhausen, quien más tarde usó superficies incompresibles para mostrar que una gran clase de variedades 3 son homeomorfas si y solo si sus grupos fundamentales son isomorfos. [5] Waldhausen conjeturó lo que ahora es la descomposición Jaco-Shalen-Johannson de 3-variedades, que es una descomposición de 3-variedades a lo largo de esferas y toros incompresibles. Más tarde, esto se convirtió en un ingrediente importante en el desarrollo de la geometrización , que puede verse como una clasificación parcial de variedades tridimensionales. Las ramificaciones de la teoría de los nudos se describieron por primera vez en el manuscrito inédito de Bonahon y Siebenmann. [6]
Singularidad de la descomposición de satélites
En Knoten und Vollringe , Schubert demostró que, en algunos casos, existe esencialmente una forma única de expresar un nudo como satélite. Pero también hay muchos ejemplos conocidos donde la descomposición no es única. [7] Con una noción adecuadamente mejorada de operación de satélites llamada empalme, la descomposición JSJ da un teorema de unicidad adecuado para los nudos de satélite. [8] [9]
Ver también
Referencias
- ^ Colin Adams, El libro del nudo: una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos , (2001), ISBN 0-7167-4219-5
- ^ Menasco, William ; Thistlethwaite, Morwen , eds. (2005). Manual de teoría de nudos . Elsevier. ISBN 0080459544. Consultado el 18 de agosto de 2014 .
- ^ Schubert, H. Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens en Primknoten. S.-B Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. 1949 (1949), 57–104.
- ↑ Schubert, H. Knoten und Vollringe. Acta Math. 90 (1953), 131-286.
- ↑ Waldhausen, F. Sobre 3 colectores irreductibles que son suficientemente grandes. de Matemáticas. (2) 87 (1968), 56–88.
- ^ F.Bonahon, L.Siebenmann, Nuevas divisiones geométricas de nudos clásicos y la clasificación y simetrías de nudos arborescentes , [1]
- ^ Motegi, K. Tipos de nudos de nudos satélite y nudos retorcidos. Conferencias en Knots '96. World Scientific.
- ^ Eisenbud, D. Neumann, W. Teoría de vínculos tridimensionales e invariantes de singularidades de curva plana. Ana. de Matemáticas. Semental. 110
- ^ Budney, R. JSJ-descomposiciones de complementos de nudos y enlaces en S ^ 3. L'enseignement Mathematique 2e Serie Tome 52 Fasc. 3-4 (2006). arXiv: matemáticas.GT/0506523