En matemáticas , la descomposición JSJ , también conocida como descomposición toral , es una construcción topológica dada por el siguiente teorema:
- Los 3 colectores cerrados, orientables e irreducibles (es decir, compactos y sin límite) tienen una colección mínima única (hasta isotopía ) de toros incompresibles incrustados disjuntamente, de modo que cada componente del colector 3 obtenido cortando a lo largo del toro es atoroidal o Seifert- fibrado .
El acrónimo JSJ es para William Jaco , Peter Shalen y Klaus Johannson . Los dos primeros trabajaron juntos y el tercero de forma independiente.
La subvariedad característica
Una versión alternativa de los estados de descomposición JSJ:
- Un colector M 3-múltiple orientable irreducible cerrado cerrado tiene un sub -colector Σ que es un colector Seifert (posiblemente desconectado y con límite) cuyo complemento es atoroidal (y posiblemente desconectado).
La subvariedad Σ con el menor número de toros de contorno se denomina subvarietal característica de M ; es único (hasta isotopía).
El límite de la subvariedad característica Σ es una unión de tori que son casi iguales a los tori que aparecen en la descomposición de JSJ. Sin embargo, hay una diferencia sutil: si uno de los toros en la descomposición JSJ es "no separador", entonces el límite de la subvariedad característica tiene dos copias paralelas (y la región entre ellas es una variedad Seifert isomórfica al producto de un toro y un intervalo unitario). El conjunto de toros que delimitan la subvariedad característica se puede caracterizar como la colección mínima única (hasta la isotopía ) de toros incompresibles incrustados disjuntamente, de modo que el cierre de cada componente de la variedad 3 obtenida cortando a lo largo de los toros es atoroidal o con fibras de Seifert .
Advertencia: Cortar el colector a lo largo del tori que delimita el sub colector característico también se denomina a veces descomposición JSJ, aunque puede tener más tori que la descomposición JSJ definida en la introducción.
Advertencia: la descomposición JSJ no es exactamente la misma que la descomposición en la conjetura de geometrización , porque algunas de las piezas en la descomposición JSJ pueden no tener estructuras geométricas de volumen finito. Por ejemplo, el toro de mapeo de un mapa de Anosov de un toro tiene una estructura de sol de volumen finito, pero su descomposición JSJ lo abre a lo largo de un toro para producir un producto de un toro y un intervalo unitario, y el interior de este no tiene una estructura finita. estructura geométrica de volumen.
Ver también
Referencias
- Jaco, William H .; Shalen, Peter B (1979), "Seifert fibered spaces in 3-manifolds", Memorias de la American Mathematical Society , 21 (220).
- Jaco, William; Shalen, Peter B. Seifert espacios con fibras en 3 colectores. Topología geométrica (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Georgia, 1977), págs. 91–99, Academic Press, Nueva York-Londres, 1979.
- Jaco, William; Shalen, Peter B. Un nuevo teorema de descomposición para 3 variedades irreductibles suficientemente grandes. Topología algebraica y geométrica (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Parte 2, págs. 71-84, Proc. Simpos. Matemáticas puras., XXXII, Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, 1978.
- Johannson, Klaus, Equivalencias de homotopía de 3 variedades con límites. Lecture Notes in Mathematics, 761. Springer, Berlín, 1979. ISBN 3-540-09714-7
enlaces externos
- Allen Hatcher , Notas sobre la topología básica de tres distribuidores .
- William Jaco , JSJ Descomposición de 3 colectores [ enlace muerto permanente ] . Esta conferencia ofrece una breve introducción a las variedades de tres fibras de Seifert y proporciona el teorema de existencia y unicidad de Jaco, Shalen y Johannson para la descomposición JSJ de una variedad de tres.
- William Jaco, un algoritmo para construir la descomposición JSJ de una variedad de 3 . Se proporciona un algoritmo para construir la descomposición JSJ de una variedad 3 y derivar las invariantes de Seifert de la subvarietal Característica.