Potencial escalar
En física matemática , el potencial escalar , simplemente expresado, describe la situación en la que la diferencia en las energías potenciales de un objeto en dos posiciones diferentes depende solo de las posiciones, no de la trayectoria tomada por el objeto al viajar de una posición a la otra. Es un campo escalar en tres espacios: un valor sin dirección (escalar) que depende solo de su ubicación. Un ejemplo familiar es la energía potencial debida a la gravedad.
Un potencial escalar es un concepto fundamental en el análisis de vectores y la física (el adjetivo escalar se omite con frecuencia si no hay peligro de confusión con el potencial vectorial ). El potencial escalar es un ejemplo de campo escalar . Dado un campo vectorial F , el potencial escalar P se define de manera que:
donde ∇ P es el gradiente de P y la segunda parte de la ecuación es menos el gradiente para una función de las coordenadas cartesianas x , y , z . [2] En algunos casos, los matemáticos pueden usar un signo positivo delante del gradiente para definir el potencial. [3] Debido a esta definición de P en términos del gradiente, la dirección de F en cualquier punto es la dirección de la disminución más pronunciada de P en ese punto, su magnitud es la tasa de esa disminución por unidad de longitud.
Para que F se describa en términos de un potencial escalar únicamente, cualquiera de las siguientes afirmaciones equivalentes debe ser verdadera:
La primera de estas condiciones representa el teorema fundamental del gradiente y es verdadera para cualquier campo vectorial que sea un gradiente de un campo escalar P de valor único diferenciable . La segunda condición es un requisito de F para que pueda expresarse como el gradiente de una función escalar. La tercera condición reexpresa la segunda condición en términos del rizo de F usando el teorema fundamental del rizo . Se dice que un campo vectorial F que satisface estas condiciones es irrotacional (conservador).
Los potenciales escalares juegan un papel destacado en muchas áreas de la física y la ingeniería. El potencial de gravedad es el potencial escalar asociado con la gravedad por unidad de masa, es decir, la aceleración debida al campo, en función de la posición. El potencial de gravedad es la energía potencial gravitacional por unidad de masa. En electrostática, el potencial eléctrico es el potencial escalar asociado con el campo eléctrico , es decir, con la fuerza electrostática por unidad de carga . El potencial eléctrico es en este caso la energía potencial electrostática por unidad de carga. En dinámica de fluidos , irrotacionalLos campos lamelares tienen un potencial escalar solo en el caso especial cuando se trata de un campo laplaciano . Ciertos aspectos de la fuerza nuclear pueden describirse mediante un potencial Yukawa . El potencial juega un papel destacado en las formulaciones lagrangianas y hamiltonianas de la mecánica clásica . Además, el potencial escalar es la cantidad fundamental en mecánica cuántica .
