En matemáticas , el grupo circular , denotado por, es el grupo multiplicativo de todos los números complejos con valor absoluto 1, es decir, el círculo unitario en el plano complejo o simplemente los números complejos unitarios [1]
El grupo circular forma un subgrupo de, el grupo multiplicativo de todos los números complejos distintos de cero. Desdees abeliano , se sigue quees también. El grupo circular es también el grupode matrices unitarias de valor complejo 1 × 1 ; estos actúan sobre el plano complejo por rotación alrededor del origen. El grupo de círculos se puede parametrizar por el ángulo de rotación por
Este es el mapa exponencial del grupo circular.
El grupo circular juega un papel central en la dualidad de Pontryagin y en la teoría de los grupos de Lie .
La notación porque el grupo circular se debe al hecho de que, con la topología estándar (ver más abajo), el grupo circular es un 1- toro . Más generalmente(el producto directo de consigo mismo veces) es geométricamente un -toro.
Introducción elemental
Una forma de pensar en el grupo circular es que describe cómo sumar ángulos , donde solo se permiten ángulos entre 0 ° y 360 °. Por ejemplo, el diagrama ilustra cómo sumar 150 ° a 270 °. La respuesta debería ser 150 ° + 270 ° = 420 ° , pero cuando pensamos en términos del grupo circular, debemos "olvidar" el hecho de que hemos envuelto una vez el círculo. Por lo tanto, ajustamos nuestra respuesta en 360 °, lo que da 420 ° = 60 ° ( mod 360 ° ).
Otra descripción es en términos de suma ordinaria, donde solo se permiten números entre 0 y 1 (donde 1 corresponde a una rotación completa). Para lograr esto, es posible que necesitemos descartar los dígitos que aparecen antes del punto decimal. Por ejemplo, cuando calculamos 0,784 + 0,925 + 0,446 , la respuesta debería ser 2,155, pero descartamos el 2 inicial, por lo que la respuesta (en el grupo del círculo) es solo 0,155.
Estructura topológica y analítica
El grupo circular es más que un objeto algebraico abstracto. Tiene una topología natural cuando se lo considera un subespacio del plano complejo. Dado que la multiplicación y la inversión son funciones continuas en, el grupo circular tiene la estructura de un grupo topológico . Además, dado que el círculo unitario es un subconjunto cerrado del plano complejo, el grupo del círculo es un subgrupo cerrado de (en sí mismo considerado como un grupo topológico).
Incluso se puede decir más. El círculo es una variedad real unidimensional y la multiplicación y la inversión son mapas analíticos reales en el círculo. Esto le da al grupo circular la estructura de un grupo de un parámetro , una instancia de un grupo de Lie . De hecho, hasta el isomorfismo, es el único grupo de Lie conectado , compacto y unidimensional . Además, cada El grupo de Lie abeliano compacto, conectado y dimensional es isomorfo a .
Isomorfismos
El grupo de círculo aparece en una variedad de formas en matemáticas. Enumeramos algunas de las formas más comunes aquí. Específicamente, mostramos que
Tenga en cuenta que la barra (/) denota aquí un grupo de cocientes .
El conjunto de todas las matrices unitarias 1 × 1 coincide claramente con el grupo circular; la condición unitaria es equivalente a la condición de que su elemento tenga valor absoluto 1. Por lo tanto, el grupo circular es canónicamente isomorfo a, el primer grupo unitario .
La función exponencial da lugar a un homomorfismo de grupo de los números reales aditivos al grupo del círculo a través del mapa
La última igualdad es la fórmula de Euler o el exponencial complejo. El número real θ corresponde al ángulo (en radianes ) del círculo unitario medido en sentido antihorario desde el eje x positivo . Que este mapa es un homomorfismo se deriva del hecho de que la multiplicación de números complejos unitarios corresponde a la suma de ángulos:
Este mapa exponencial es claramente una función sobreyectiva de a . Sin embargo, no es inyectivo . El núcleo de este mapa es el conjunto de todos los múltiplos enteros de. Por el primer teorema del isomorfismo tenemos entonces que
Después de reescalar también podemos decir que es isomorfo a .
Si los números complejos se realizan como matrices reales 2 × 2 (ver número complejo ), los números complejos unitarios corresponden a matrices ortogonales 2 × 2 con determinante unitario . Específicamente, tenemos
Esta función muestra que el grupo circular es isomorfo al grupo ortogonal especial desde
- dónde es la multiplicación de matrices.
Este isomorfismo tiene la interpretación geométrica de que la multiplicación por un número complejo unitario es una rotación adecuada en el plano complejo (y real), y cada rotación de este tipo es de esta forma.
Propiedades
Cada grupo compacto de Lie de dimensión> 0 tiene un subgrupo isomorfo al grupo del círculo. Eso significa que, pensando en términos de simetría , se puede esperar que un grupo de simetría compacto que actúa continuamente tenga subgrupos circulares de un parámetro actuando; las consecuencias en los sistemas físicos se ven, por ejemplo, en la invariancia rotacional y la ruptura espontánea de la simetría .
El grupo circular tiene muchos subgrupos , pero sus únicos subgrupos cerrados apropiados consisten en raíces de unidad : Para cada entero, elLas raíces de la unidad forman un grupo cíclico de orden., que es único hasta el isomorfismo.
De la misma manera que los números reales son una terminación de los racionales b -ádicos para cada número natural , el grupo circular es la culminación del grupo Prüfer para, dado por el límite inverso .
Representaciones
Las representaciones del grupo circular son fáciles de describir. Se deduce del lema de Schur que las representaciones complejas irreductibles de un grupo abeliano son todas unidimensionales. Dado que el grupo circular es compacto, cualquier representación
debe tomar valores en . Por lo tanto, las representaciones irreductibles del grupo del círculo son solo los homomorfismos del grupo del círculo a sí mismo.
Todas estas representaciones son desiguales. La representaciónes conjugado a,
Estas representaciones son solo los personajes del grupo circular. El grupo de personajes dees claramente un grupo cíclico infinito generado por:
Las representaciones reales irreductibles del grupo circular son la representación trivial (que es unidimensional) y las representaciones
tomando valores en . Aquí solo tenemos enteros positivos desde la representacion es equivalente a .
Estructura de grupo
El grupo circular es un grupo divisible . Su subgrupo de torsión viene dado por el conjunto de todoslas raíces de la unidad para todos, y es isomorfo a . El teorema de estructura para grupos divisibles y el axioma de elección juntos nos dicen quees isomorfo a la suma directa de con varias copias de . [ cita requerida ]
El número de copias de debe ser (la cardinalidad del continuo ) para que la cardinalidad de la suma directa sea correcta. Pero la suma directa de Copias de es isomorfo a , como es un espacio vectorial de dimensión encima . Por lo tanto
El isomorfismo
puede probarse de la misma manera, ya que es también un grupo abeliano divisible cuyo subgrupo de torsión es el mismo que el subgrupo de torsión de .
Ver también
- Grupo de puntos racionales en el círculo unitario
- Subgrupo de un parámetro
- Grupo ortogonal
- Factor de fase (aplicación en mecánica cuántica)
- Grupo Prüfer ( análogo contablemente infinito )
- Solenoide
- Número de rotación
Notas
- ^ James, Robert C .; James, Glenn (1992). Diccionario de Matemáticas (Quinta ed.). Chapman y Hall. pag. 436. ISBN 9780412990410.
un número complejo unitario es un número complejo de valor absoluto unitario
Referencias
- James, Robert C .; James, Glenn (1992). Diccionario de Matemáticas (Quinta ed.). Chapman y Hall. ISBN 9780412990410.
Otras lecturas
- Hua Luogeng (1981) Comenzando con el círculo unitario , Springer Verlag , ISBN 0-387-90589-8 .
enlaces externos
- Homeomorfismo y estructura de grupo en círculo