Ecuación de Sine-Gordon

La ecuación seno-Gordon es una ecuación diferencial parcial hiperbólica no lineal en dimensiones 1 + 1 que involucra al operador de d'Alembert y el seno de la función desconocida. Fue introducido originalmente por Edmond Bour  ( 1862 ) en el curso del estudio de superficies de curvatura negativa constante como la ecuación de Gauss-Codazzi para superficies de curvatura -1 en el espacio 3, ^[1] y redescubierto por Frenkel y Kontorova ( 1939 ) en su estudio de dislocaciones de cristales conocido como modelo de Frenkel-Kontorova . ^[2]Esta ecuación atrajo mucha atención en la década de 1970 debido a la presencia de soluciones de solitón .

Origen de la ecuación y su nombre

Hay dos formas equivalentes de la ecuación seno-Gordon. En las coordenadas del espacio-tiempo ( reales ) , denotadas ( x ,  t ), la ecuación dice: ^[3]

${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\sin \varphi =0,}$

donde las derivadas parciales se indican mediante subíndices. Pasando a las coordenadas del cono de luz ( u ,  v ), similar a las coordenadas asintóticas donde

${\displaystyle u={\frac {x+t}{2}},\quad v={\frac {x-t}{2}},}$

la ecuación toma la forma ^[4]

${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi .}$

Esta es la forma original de la ecuación seno-Gordon, como se consideró en el siglo XIX en el curso de la investigación de superficies de curvatura gaussiana constante K  = -1, también llamadas superficies pseudoesféricas . Elija un sistema de coordenadas para dicha superficie en el que la malla de coordenadas u  = constante, v  = constante viene dada por las líneas asintóticas parametrizadas con respecto a la longitud del arco. La primera forma fundamental de la superficie en estas coordenadas tiene una forma especial

${\displaystyle ds^{2}=du^{2}+2\cos \varphi \,du\,dv+dv^{2},}$

dónde ${\displaystyle \varphi }$expresa el ángulo entre las líneas asintóticas, y para la segunda forma fundamental , L  =  N  = 0. Entonces, la ecuación de Codazzi-Mainardi que expresa una condición de compatibilidad entre la primera y la segunda forma fundamental da como resultado la ecuación sinusoidal de Gordon. El estudio de esta ecuación y de las transformaciones asociadas de superficies pseudoesféricas en el siglo XIX por Bianchi y Bäcklund condujo al descubrimiento de las transformaciones de Bäcklund . Otra transformación de superficies pseudoesféricas es la transformada de Lie introducida por Sophus Lie en 1879, que corresponde a los aumentos de Lorentz en términos de coordenadas de cono de luz, por lo que la ecuación seno-Gordon es invariante de Lorentz . ^[5]

El nombre "ecuación seno-Gordon" es un juego de palabras con la conocida ecuación de Klein-Gordon en física: ^[3]

${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\varphi =0.}$

La ecuación seno-Gordon es la ecuación de Euler-Lagrange del campo cuya densidad lagrangiana está dada por

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{SG}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-1+\cos \varphi .}$

Usando la expansión de la serie de Taylor del coseno en el lagrangiano,

${\displaystyle \cos(\varphi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}},}$

se puede reescribir como el Klein-Gordon Lagrangiano más términos de orden superior:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\text{SG}}(\varphi )&={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-{\frac {\varphi ^{2}}{2}}+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}\\&={\mathcal {L}}_{\text{KG}}(\varphi )+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}}$

Soluciones soliton

Una característica interesante de la ecuación seno-Gordon es la existencia de soluciones de solitones y multisolitones.

Soluciones de 1 solitón

La ecuación seno-Gordon tiene las siguientes soluciones de 1 solitón :

${\displaystyle \varphi _{\text{soliton}}(x,t):=4\arctan \left(e^{m\gamma (x-vt)+\delta }\right),}$

dónde

${\displaystyle \gamma ^{2}={\frac {1}{1-v^{2}}},}$

y se asume la forma un poco más general de la ecuación:

${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+m^{2}\sin \varphi =0.}$

La solución de 1 solitón para la que hemos elegido la raíz positiva para ${\displaystyle \gamma }$se llama torcedura y representa un giro en la variable${\displaystyle \varphi }$ que toma el sistema de una solución ${\displaystyle \varphi =0}$ a un adyacente con ${\displaystyle \varphi =2\pi }$. Los Estados${\displaystyle \varphi =0{\pmod {2\pi }}}$se conocen como estados de vacío, ya que son soluciones constantes de energía cero. La solución de 1 solitón en la que sacamos la raíz negativa para${\displaystyle \gamma }$se llama antikink . La forma de las soluciones de 1 solitón se puede obtener mediante la aplicación de una transformada de Bäcklund a la solución trivial (vacío constante) y la integración de los diferenciales de primer orden resultantes:

${\displaystyle \varphi '_{u}=\varphi _{u}+2\beta \sin {\frac {\varphi '+\varphi }{2}},}$

${\displaystyle \varphi '_{v}=-\varphi _{v}+{\frac {2}{\beta }}\sin {\frac {\varphi '-\varphi }{2}}{\text{ with }}\varphi =\varphi _{0}=0}$

para todo el tiempo.

Las soluciones de 1 solitón se pueden visualizar con el uso del modelo de cinta elástica sinusoidal-Gordon como lo discutieron Dodd y sus colaboradores. ^[6] Aquí tomamos un giro en el sentido de las agujas del reloj (a la izquierda ) de la cinta elástica para que sea una torcedura con carga topológica${\displaystyle \vartheta _{\text{K}}=-1}$. El giro alternativo en sentido antihorario ( diestro ) con carga topológica${\displaystyle \vartheta _{\text{AK}}=+1}$ será un antikink.

Viajar torcedura solitón representa la propagación de giro hacia la derecha. [7]

El solitón antikink que viaja representa un giro en sentido antihorario que se propaga. [7]

Soluciones de 2 solitones

Multi- solitones soluciones se pueden obtener mediante la aplicación continuada de la Bäcklund transformar a la solución 1-solitón, según lo prescrito por un Bianchi celosía relacionando los resultados transformadas. ^[8] Las soluciones de 2 solitones de la ecuación seno-Gordon muestran algunos de los rasgos característicos de los solitones. Las torceduras y / o anti-retorcimientos sinusoidales de Gordon que viajan se atraviesan como si fueran perfectamente permeables, y el único efecto observado es un cambio de fase . Dado que los solitones en colisión recuperan su velocidad y forma , este tipo de interacción se denomina colisión elástica .

Colisión Antikink-Kink . [7]

Colisión retorcida . [7]

Otras soluciones interesantes de 2 solitones surgen de la posibilidad de un comportamiento acoplado anti-retorcimiento conocido como respiradero . Se conocen tres tipos de respiradores: el respirador de pie , el respirador de gran amplitud que viaja y el respirador de pequeña amplitud que viaja . ^[9]

El sistema de respiración de pie es un solitón que oscila en el tiempo y se dobla y se contrae. [7]

Respiradero móvil de gran amplitud . [7]

Respiradero móvil de pequeña amplitud  : parece exótico, pero esencialmente tiene un sobre de respiradero. [7]

Soluciones de 3 solitones

Las colisiones de 3 solitones entre una torcedura que viaja y un respirador de pie o un anti-retorcimiento que viaja y un respirador de pie dan como resultado un cambio de fase del respirador de pie. En el proceso de colisión entre una torcedura en movimiento y un respiradero de pie, el cambio del respiradero${\displaystyle \Delta _{\text{B}}}$ es dado por

${\displaystyle \Delta _{\text{B}}={\frac {2\operatorname {artanh} {\sqrt {(1-\omega ^{2})(1-v_{\text{K}}^{2})}}}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}},}$

dónde ${\displaystyle v_{\text{K}}}$ es la velocidad de la torcedura, y ${\displaystyle \omega }$es la frecuencia del respirador. ^[9] Si la posición anterior del respirador de pie es${\displaystyle x_{0}}$, después de la colisión, la nueva posición será ${\displaystyle x_{0}+\Delta _{\text{B}}}$.

Colisión de torcedura en movimiento y respiradero de pie . [7]

Colisión de antikink en movimiento y respiradero de pie . [7]

Simulación de video FDTD (1D) de un solitón con fuerzas

El siguiente video muestra una simulación de dos solitones de estacionamiento. Ambos envían un campo de presión-velocidad con diferente polaridad. Debido a que el final del espacio 1D no termina simétricamente, las ondas se reflejan.

"> Reproducir medios

Solitones según la ecuación seno-Gordon con fuerzas