En matemáticas , la hipótesis H de Schinzel es uno de los problemas abiertos más famosos en el tema de la teoría de números. Es una generalización muy amplia de conjeturas ampliamente abiertas , como la conjetura de los primos gemelos . La hipótesis lleva el nombre de Andrzej Schinzel .
Declaración
La hipótesis afirma que para cada colección finita de polinomios irreducibles no constantes sobre los números enteros con coeficientes iniciales positivos, se cumple una de las siguientes condiciones :
- Hay infinitos números enteros positivos tal que todos son simultáneamente números primos , o
- Hay un entero (llamado divisor fijo ) que siempre divide el producto. (O, de manera equivalente: existe un primo tal que por cada hay un tal que divide ).
La segunda condición se satisface con conjuntos como , desde es siempre divisible por 2. Es fácil ver que esta condición evita que la primera condición sea verdadera. La hipótesis de Schinzel esencialmente afirma que la condición 2 es la única forma en que la condición 1 puede fallar.
No se conoce ninguna técnica eficaz para determinar si la primera condición se cumple para un conjunto dado de polinomios, pero la segunda es sencilla de verificar:y calcular el máximo común divisor de sucesivos valores de . Se puede ver extrapolando con diferencias finitas que este divisor también dividirá todos los demás valores de también.
La hipótesis de Schinzel se basa en la conjetura anterior de Bunyakovsky , para un solo polinomio, y en las conjeturas de Hardy-Littlewood y la conjetura de Dickson para múltiples polinomios lineales. A su vez, se amplía con la conjetura de Bateman-Horn .
Ejemplos de
Como un simple ejemplo con ,
no tiene divisor principal fijo. Por lo tanto, esperamos que haya infinitos números primos
Sin embargo, esto no ha sido probado. Fue una de las conjeturas de Landau y se remonta a Euler, quien observó en una carta a Goldbach en 1752 que a menudo es primordial para hasta 1500.
Como, otro ejemplo, tome con y . La hipótesis implica entonces la existencia de un número infinito de primos gemelos , un problema abierto básico y notorio.
Variantes
Como lo demostraron Schinzel y Sierpiński en la página 188 de [1] , es equivalente a lo siguiente: si la condición 2 no se cumple, entonces existe al menos un entero positivo tal que todos será simultáneamente primo, para cualquier elección de polinomios integrales irreducibles con coeficientes iniciales positivos.
Si los coeficientes principales fueran negativos, podríamos esperar valores primos negativos; esta es una restricción inofensiva.
Probablemente no haya una razón real para restringir polinomios con coeficientes enteros, en lugar de polinomios con valores enteros (como, que toma valores enteros para todos los enteros aunque los coeficientes no sean números enteros).
Resultados anteriores
El caso especial de un polinomio lineal simple es el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas , uno de los resultados más importantes de la teoría de números. De hecho, este caso especial es el único ejemplo conocido de la Hipótesis H de Schinzel. No sabemos cuál es la hipótesis para cualquier polinomio dado de grado mayor que, ni para ningún sistema de más de un polinomio.
Muchos matemáticos han intentado aproximaciones casi primarias a la hipótesis de Schinzel; entre ellos, en particular, el teorema de Chen establece que existen infinitos números tal que es primo o semiprime [2] e Iwaniec demostró que existen infinitos números enteros para cual es un primo o un semiprimo . [3] Skorobogatov y Sofos han demostrado que casi todos los polinomios de cualquier grado fijo satisfacen la hipótesis H. de Schinzel. [4]
Prospectos y aplicaciones
La hipótesis probablemente no sea accesible con los métodos actuales en la teoría analítica de números , pero ahora se usa con bastante frecuencia para probar resultados condicionales , por ejemplo, en geometría diofántica . Esta conexión se debe a Jean-Louis Colliot-Thélène y Jean-Jacques Sansuc. [5] Para más explicaciones y referencias a este respecto, véanse las notas [6] de Swinnerton-Dyer . Siendo el resultado conjetural de una naturaleza tan fuerte, es posible que se demuestre que es demasiado de lo esperado.
Ampliación para incluir la conjetura de Goldbach
La hipótesis no cubre la conjetura de Goldbach , pero sí una versión estrechamente relacionada ( hipótesis H N ). Eso requiere un polinomio extra, que en el problema de Goldbach sería , para cual
- N - F ( n )
también se requiere que sea un número primo. Esto se cita en Halberstam y Richert, Sieve Methods . La conjetura aquí toma la forma de un enunciado cuando N es suficientemente grande y está sujeto a la condición
no tiene divisor fijo > 1. Entonces deberíamos poder requerir la existencia de n tal que N - F ( n ) sea tanto positivo como un número primo; y con todos los números primos de f i ( n ).
No se conocen muchos casos de estas conjeturas; pero hay una teoría cuantitativa detallada ( conjetura de Bateman-Horn ).
Análisis local
La condición de no tener un divisor primo fijo es puramente local (es decir, dependiendo solo de los primos). En otras palabras, se conjetura que un conjunto finito de polinomios de valores enteros irreductibles sin obstrucción local para tomar infinitos valores primos toma infinitos valores primos.
Un análogo que falla
La conjetura análoga con los números enteros reemplazados por el anillo polinomial de una variable sobre un campo finito es falsa . Por ejemplo, Swan señaló en 1962 (por razones no relacionadas con la Hipótesis H) que el polinomio
sobre el anillo F 2 [ u ] es irreducible y no tiene divisor polinomio primo fijo (después de todo, sus valores en x = 0 y x = 1 son polinomios primos relativamente) pero todos sus valores cuando x corre sobre F 2 [ u ] son compuestos. Se pueden encontrar ejemplos similares con F 2 reemplazado por cualquier campo finito; las obstrucciones en una formulación adecuada de la Hipótesis H sobre F [ u ], donde F es un campo finito , ya no son solo locales, sino que ocurre una nueva obstrucción global sin paralelo clásico, asumiendo que la hipótesis H es de hecho correcta.
Referencias
- ^ Schinzel, A .; Sierpiński, W. (1958). "Sur certaines hypothèses concernnant les nombres premiers". Acta Arithmetica . 4 (3): 185-208. doi : 10.4064 / aa-4-3-185-208 . Señor 0106202 .
- ^ Chen, JR (1973). "Sobre la representación de un número entero par mayor como la suma de un primo y el producto de como máximo dos primos". Sci. Sinica . 16 : 157-176. Señor 0434997 .
- ^ Iwaniec, H. (1978). "Casi primos representados por polinomios cuadráticos". Inventiones Mathematicae . 47 (2): 171–188. Código Bibliográfico : 1978InMat..47..171I . doi : 10.1007 / BF01578070 . Señor 0485740 . S2CID 122656097 .
- ^ Skorobogatov, A .; Sofos, E. (2020). "Hipótesis de Schinzel con probabilidad 1 y puntos racionales". arXiv : 2005.02998 [ math.NT ].
- ^ Colliot-Thélène, JL ; Sansuc, JJ (1982). "Sur le principe de Hasse et l'approximation faible, et sur une hypothese de Schinzel" . Acta Arithmetica . 41 (1): 33–53. doi : 10.4064 / aa-41-1-33-53 . Señor 0667708 .
- ^ Swinnerton-Dyer, P. (2011). "Temas en ecuaciones diofánticas". Geometría aritmética . Notas de clase en matemáticas. 2009 . Springer, Berlín. págs. 45-110. Señor 2757628 .
- Crandall, Richard ; Pomerance, Carl B. (2005). Números primos: una perspectiva computacional (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag . doi : 10.1007 / 0-387-28979-8 . ISBN 0-387-25282-7. Señor 2156291 . Zbl 1088.11001 .
- Guy, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números (Tercera ed.). Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001 .
- Pollack, Paul (2008). "Un enfoque explícito de la hipótesis H para polinomios sobre un campo finito". En De Koninck, Jean-Marie ; Granville, Andrew ; Luca, Florian (eds.). Anatomía de los enteros. Basado en el taller de CRM, Montreal, Canadá, 13 al 17 de marzo de 2006 . Actas de CRM y notas de conferencias. 46 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 259-273. ISBN 978-0-8218-4406-9. Zbl 1187.11046 .
- Swan, RG (1962). "Factorización de polinomios sobre campos finitos" . Pacific Journal of Mathematics . 12 (3): 1099-1106. doi : 10.2140 / pjm.1962.12.1099 .