En dinámica de fluidos , la función de corriente de Stokes se utiliza para describir las líneas de corriente y la velocidad del flujo en un flujo incompresible tridimensional con axisimetría . Una superficie con un valor constante de la función de flujo de Stokes encierra un tubo de flujo , en todas partes tangencial a los vectores de velocidad de flujo. Además, el flujo de volumen dentro de este tubo de flujo es constante y todas las líneas de flujo del flujo están ubicadas en esta superficie. El campo de velocidad asociado con la función de flujo de Stokes es solenoide , tiene divergencia cero. Esta función de flujo lleva el nombre de George Gabriel Stokes .
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/a/ae/Stokes_sphere.svg/150px-Stokes_sphere.svg.png)
Coordenadas cilíndricas
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/0/01/Cylindrical_with_grid.svg/300px-Cylindrical_with_grid.svg.png)
Considere un sistema de coordenadas cilíndrico ( ρ , φ , z ), con el eje z la línea alrededor de la cual el flujo incompresible es axisimétrico, φ el ángulo azimutal y ρ la distancia al eje z . Entonces los componentes de la velocidad del flujo u ρ y u z se pueden expresar en términos de la función de flujo de Stokespor: [1]
El componente de velocidad azimutal u φ no depende de la función de la corriente. Debido a la simetría axial, los tres componentes de la velocidad ( u ρ , u φ , u z ) sólo dependen de ρ y z y no en el acimut φ .
El flujo de volumen, a través de la superficie delimitada por un valor constante ψ de la función de flujo de Stokes, es igual a 2π ψ .
Coordenadas esféricas
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/c/c0/Spherical_with_grid.svg/300px-Spherical_with_grid.svg.png)
En coordenadas esféricas ( r , θ , φ ), r es la distancia radial desde el origen , θ es el ángulo cenital y φ es el ángulo azimutal . En flujo axisimétrico, con θ = 0 el eje de simetría rotacional, las cantidades que describen el flujo son nuevamente independientes del acimut φ . Los componentes de la velocidad de flujo u r y u θ están relacionados con la función de flujo de Stokeshasta: [2]
Nuevamente, el componente de velocidad azimutal u φ no es una función de la función de flujo de Stokes ψ . El flujo de volumen a través de un tubo de flujo, limitado por una superficie de constante ψ , es igual a 2π ψ , como antes.
Vorticidad
La vorticidad se define como:
- , dónde
con el vector unitario en el-dirección.
Derivación de vorticidad usando una función de flujo de Stokes Considere la vorticidad definida por De la definición del rizo en coordenadas esféricas :
Primero observe que el y los componentes son iguales a 0. En segundo lugar, sustituya y dentro El resultado es:
A continuación se realiza el siguiente álgebra:
Como resultado, a partir del cálculo, se encuentra que el vector de vorticidad es igual a:
Comparación con cilíndrico
Los sistemas de coordenadas cilíndrico y esférico están relacionados mediante
- y
Definición alternativa con signo opuesto
Como se explica en el artículo sobre la función de flujo general , también se utilizan definiciones que utilizan una convención de signo opuesto, para la relación entre la función de flujo de Stokes y la velocidad del flujo. [3]
Divergencia cero
En coordenadas cilíndricas, la divergencia del campo de velocidad u se convierte en: [4]
como se esperaba para un flujo incompresible.
Y en coordenadas esféricas: [5]
Streamlines como curvas de función de flujo constante
A partir del cálculo se sabe que el vector de gradiente es normal a la curva (ver, por ejemplo, Conjunto de niveles # Conjuntos de niveles frente al gradiente ). Si se demuestra que en todas partes usando la fórmula para en términos de entonces esto prueba que las curvas de nivel de son líneas aerodinámicas.
- Coordenadas cilíndricas
En coordenadas cilíndricas,
- .
y
Así que eso
- Coordenadas esféricas
Y en coordenadas esféricas
y
Así que eso
Notas
- ^ Batchelor (1967), p. 78.
- ^ Batchelor (1967), p. 79.
- ^ Por ejemplo , Brenner, Howard (1961). "El movimiento lento de una esfera a través de un fluido viscoso hacia una superficie plana". Ciencias de la Ingeniería Química . 16 (3–4): 242–251. doi : 10.1016 / 0009-2509 (61) 80035-3 .
- ^ Batchelor (1967), p. 602.
- ^ Batchelor (1967), p. 601.
Referencias
- Batchelor, GK (1967). Introducción a la dinámica de fluidos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-66396-2.
- Cordero, H. (1994). Hidrodinámica (6ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-45868-9. Publicado originalmente en 1879, la sexta edición ampliada apareció por primera vez en 1932.
- Stokes, GG (1842). "Sobre el movimiento constante de fluidos incompresibles". Transacciones de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 7 : 439–453. Código Bibliográfico : 1848TCaPS ... 7..439S .
Reimpreso en: Stokes, GG (1880). Matemática y física Papers, Volumen I . Prensa de la Universidad de Cambridge. pp. 1 -16.