Soporte Schouten-Nijenhuis
En geometría diferencial , el corchete de Schouten-Nijenhuis , también conocido como corchete de Schouten , es un tipo de corchete de Lie graduado definido en campos multivectoriales en una variedad suave que extiende el corchete de Lie de campos vectoriales . Hay dos versiones diferentes, ambas bastante confusamente llamadas por el mismo nombre. La versión más común se define en campos multivectoriales alternos y los convierte en un álgebra de Gerstenhaber , pero también hay otra versión definida en campos multivectoriales simétricos, que es más o menos lo mismo que el corchete de Poisson en el paquete cotangente.. Fue descubierto por Jan Arnoldus Schouten (1940, 1953) y sus propiedades fueron investigadas por su alumno Albert Nijenhuis (1955). Está relacionado, pero no es lo mismo, con el soporte Nijenhuis-Richardson y el soporte Frölicher-Nijenhuis .
Un campo multivector alterno es una sección del álgebra exterior ∧ ∗ T M sobre el fibrado tangente de una variedad M . Los campos multivectores alternos forman un anillo superconmutativo graduado con el producto de a y b escrito como ab (algunos autores usan a ∧ b ). Esto es dual al álgebra habitual de formas diferenciales Ω ∗ M por el emparejamiento de elementos homogéneos:
El grado de un multivector A en se define como | un | = pág .
El corchete simétrico sesgado de Schouten-Nijenhuis es la extensión única del corchete de Lie de campos vectoriales a un corchete graduado en el espacio de campos multivectoriales alternos que convierte a los campos multivectoriales alternos en un álgebra de Gerstenhaber . Se da en términos del corchete de Lie de campos vectoriales por
para campos vectoriales y función suave , donde es el operador de producto interior común. Tiene las siguientes propiedades.
El corchete de Schouten-Nijenhuis convierte los campos multivectoriales en una superálgebra de Lie si la calificación se cambia a una de paridad opuesta (de modo que los subespacios pares e impares se intercambian), aunque con esta nueva calificación ya no es un anillo superconmutativo. En consecuencia, la identidad de Jacobi también se puede expresar en la forma simétrica