la lista de schwarz

---

En la teoría matemática de funciones especiales , la lista de Schwarz o la tabla de Schwartz es la lista de 15 casos encontrados por Hermann Schwarz  ( 1873 , p. 323) cuando las funciones hipergeométricas pueden expresarse algebraicamente. Más precisamente, es una lista de parámetros que determinan los casos en los que la ecuación hipergeométrica tiene un grupo monodrómico finito , o de manera equivalente tiene dos soluciones independientes que son funciones algebraicas . Enumera 15 casos, divididos por la clase de isomorfismo del grupo monodromía (excluyendo el caso de un grupo cíclico), y fue derivado por primera vez por Schwarz mediante métodos de geometría analítica compleja. Correspondientemente, la declaración no es directamente en términos de los parámetros que especifican la ecuación hipergeométrica, sino en términos de cantidades utilizadas para describir ciertos triángulos esféricos .

La importancia más amplia de la tabla, para ecuaciones diferenciales generales de segundo orden en el plano complejo, fue demostrada por Felix Klein , quien demostró un resultado en el sentido de que los casos de monodromía finita para tales ecuaciones y singularidades regulares podrían atribuirse a cambios de variable (aplicaciones analíticas complejas de la esfera de Riemann a sí misma) que reducen la ecuación a una forma hipergeométrica. De hecho, más es cierto: la lista de Schwarz subyace en todas las ecuaciones de segundo orden con singularidades regulares en superficies compactas de Riemann que tienen monodromía finita, mediante un retroceso de la ecuación hipergeométrica en la esfera de Riemann mediante un mapeo analítico complejo, de grado computable a partir de los datos de la ecuación. ^{[1] [2]}

Los números son (salvo permutaciones, cambios de signo y suma de pares ) las diferencias de los exponentes de la ecuación diferencial hipergeométrica en los tres puntos singulares . Son números racionales si y solo si y son, un punto que importa en la aritmética más que en los enfoques geométricos de la teoría.${\ estilo de visualización \ lambda, \ mu, \ nu}$${\displaystyle (\ell,m,n)\in \mathbb {Z} ^{3}}$${\ estilo de visualización \ ell + m + n}$${\displaystyle 1-c,cabina,ba}$${\displaystyle 0,1,\infty}$${\ estilo de visualización a, b}$${\displaystyle c}$

T. Kimura dio una extensión de los resultados de Schwarz, quien se ocupó de casos en los que el componente de identidad del grupo diferencial de Galois de la ecuación hipergeométrica es un grupo soluble . ^{[3] [4]} Un resultado general que conecta el grupo diferencial de Galois G y el grupo monodrómico Γ establece que G es la clausura de Zariski de Γ — este teorema se atribuye en el libro de Matsuda a Michio Kuga . Por la teoría diferencial general de Galois, la tabla de Kimura-Schwarz resultante clasifica los casos de integrabilidad de la ecuación por funciones algebraicas y cuadraturas .

Otra lista relevante es la de K. Takeuchi , quien clasificó los grupos de triángulos (hiperbólicos) que son grupos aritméticos (85 ejemplos). ^[5]

---