El teorema de Sylvester-Gallai en geometría establece que cada conjunto finito de puntos en el plano euclidiano tiene una línea que pasa por exactamente dos de los puntos o una línea que pasa por todos ellos. Lleva el nombre de James Joseph Sylvester , quien lo planteó como un problema en 1893, y Tibor Gallai , quien publicó una de las primeras pruebas de este teorema en 1944.
Una línea que contiene exactamente dos de un conjunto de puntos se conoce como línea ordinaria . De acuerdo con un fortalecimiento del teorema, todo conjunto de puntos finitos (no todos en una línea) tiene al menos un número lineal de líneas ordinarias. Un algoritmo puede encontrar una línea ordinaria en un conjunto de puntos en el tiempo .
Historia
El teorema de Sylvester-Gallai fue planteado como un problema por JJ Sylvester ( 1893 ). Kelly ( 1986 ) sugiere que Sylvester puede haber estado motivado por un fenómeno relacionado en geometría algebraica , en el que los puntos de inflexión de una curva cúbica en el plano proyectivo complejo forman una configuración de nueve puntos y doce líneas (la configuración de Hesse ) en la que cada La línea determinada por dos de los puntos contiene un tercer punto. El teorema de Sylvester-Gallai implica que es imposible que los nueve puntos tengan coordenadas reales. [1]
Woodall (1893) error de harvtxt: objetivos múltiples (2x): CITEREFWoodall1893 ( ayuda ) afirmó tener una prueba breve del teorema de Sylvester-Gallai, pero ya se señaló que estaba incompleta en el momento de la publicación. Eberhard Melchior ( 1941 ) demostró el teorema (y en realidad un resultado un poco más fuerte) en una formulación equivalente, su dual proyectivo . Sin darse cuenta de la prueba de Melchor, [2] Paul Erd (s ( 1943 ) volvió a plantear la conjetura, que posteriormente fue probada por Tibor Gallai , y poco después por otros autores. [3]
En una revisión de 1951, Erdős llamó al resultado "teorema de Gallai", [4] pero ya fue llamado el teorema de Sylvester-Gallai en una revisión de 1954 por Leonard Blumenthal . [5] Es uno de los muchos temas matemáticos que llevan el nombre de Sylvester .
Versiones equivalentes
La cuestión de la existencia de una línea ordinaria también se puede plantear para puntos en el plano proyectivo real RP 2 en lugar del plano euclidiano . El plano proyectivo se puede formar a partir del plano euclidiano agregando puntos extra "en el infinito" donde las líneas que son paralelas en el plano euclidiano se cruzan entre sí, y agregando una sola línea "en el infinito" que contenga todos los puntos agregados. Sin embargo, los puntos adicionales del plano proyectivo no pueden ayudar a crear conjuntos de puntos finitos no euclidianos sin una línea ordinaria, ya que cualquier conjunto de puntos finitos en el plano proyectivo se puede transformar en un conjunto de puntos euclidianos con el mismo patrón combinatorio de incidencias de líneas de puntos. . Por lo tanto, cualquier patrón de un número finito de puntos y líneas de intersección que exista en uno de estos dos tipos de planos también existe en el otro. Sin embargo, el punto de vista proyectivo permite describir con mayor facilidad determinadas configuraciones. En particular, permite el uso de la dualidad proyectiva , en la que los roles de puntos y líneas en enunciados de geometría proyectiva pueden intercambiarse entre sí. Bajo la dualidad proyectiva, la existencia de una línea ordinaria para un conjunto de puntos no colineales en RP 2 es equivalente a la existencia de un punto ordinario en una disposición no trivial de un número finito de líneas. Se dice que un arreglo es trivial cuando todas sus líneas pasan por un punto común, y no trivial en caso contrario; un punto ordinario es un punto que pertenece exactamente a dos líneas. [2]
Los arreglos de líneas tienen una estructura combinatoria estrechamente relacionada con los zonoedros , poliedros formados como la suma de Minkowski de un conjunto finito de segmentos de línea , llamados generadores. A este respecto, cada par de caras opuestas de un zonoedro corresponde a un punto de cruce de una disposición de líneas en el plano proyectivo, con una línea para cada generador. El número de lados de cada cara es el doble del número de líneas que se cruzan en el arreglo. Por ejemplo, el dodecaedro alargado que se muestra es un zonoedro con cinco generadores, dos pares de caras hexagonales opuestas y cuatro pares de caras de paralelogramo opuestas. En la disposición correspondiente de cinco líneas, dos triples de líneas se cruzan (correspondientes a los dos pares de hexágonos opuestos) y los cuatro pares de líneas restantes se cruzan en puntos ordinarios (correspondientes a los cuatro pares de paralelogramos opuestos). Un enunciado equivalente del teorema de Sylvester-Gallai, en términos de zonoedros, es que cada zonoedro tiene al menos una cara de paralelogramo (contando rectángulos, rombos y cuadrados como casos especiales de paralelogramos). Más fuertemente, siempre que conjuntos de Se puede garantizar que los puntos en el plano tengan al menos líneas ordinarias, zonoedros con Se puede garantizar que los generadores tengan al menos caras de parallograma. [6]
Pruebas
El teorema de Sylvester-Gallai se ha demostrado de muchas formas diferentes. La prueba de Gallai de 1944 alterna entre geometría euclidiana y proyectiva, para transformar los puntos en una configuración equivalente en la que una línea ordinaria se puede encontrar como una línea de pendiente más cercana a cero; para más detalles, véase Borwein y Moser (1990) . La demostración de Melchior de 1941 usa la dualidad proyectiva para convertir el problema en una pregunta equivalente sobre arreglos de líneas, que puede responderse usando la fórmula poliédrica de Euler . Otra demostración de Leroy Milton Kelly muestra por contradicción que la línea de conexión con la distancia más pequeña distinta de cero a otro punto debe ser ordinaria. Y, siguiendo una demostración anterior de Steinberg, HSM Coxeter demostró que los conceptos métricos de pendiente y distancia que aparecen en las demostraciones de Gallai y Kelly son innecesariamente poderosos y, en cambio, prueban el teorema utilizando solo los axiomas de la geometría ordenada .
Prueba de Kelly
Esta prueba es de Leroy Milton Kelly . Aigner y Ziegler (2018) lo llaman "simplemente la mejor" de las muchas demostraciones de este teorema. [7]
Supongamos que un conjunto finito de puntos no es todo colineal. Defina una línea de conexión para que sea una línea que contenga al menos dos puntos en la colección. Por finitud, debe tener un punto y una línea de conexión que están a una distancia positiva pero están más cerca que todos los demás pares de puntos y líneas. Kelly demostró quees ordinario, por contradicción . [7]
Asumir que no es ordinario. Luego pasa por al menos tres puntos de. Al menos dos de estos están en el mismo lado de, la proyección perpendicular de en . Llámalos y , con estar más cerca de (y posiblemente coincidiendo con él). Dibuja la línea de conexión que pasa a través y , y la perpendicular de a en . Luego es más corto que . Esto se sigue del hecho de que y son triángulos similares , uno contenido dentro del otro. [7]
Sin embargo, esto contradice la definición original de y como el par punto-línea con la menor distancia positiva. Entonces, la suposición de queno es ordinario no puede ser verdad, QED. [7]
La prueba de Melchor
En 1941 (por lo tanto, antes de que Erdős publicara la pregunta y la posterior prueba de Gallai) Melchior mostró que cualquier disposición finita no trivial de líneas en el plano proyectivo tiene al menos tres puntos ordinarios. Por dualidad, este resultado también dice que cualquier conjunto finito no trivial de puntos en el plano tiene al menos tres líneas ordinarias. [8]
Melchior observó que, para cualquier gráfico incrustado en el plano proyectivo real, la fórmula debe ser igual , la característica de Euler del plano proyectivo. Aquí, , y son el número de vértices, aristas y caras del gráfico, respectivamente. Cualquier disposición de línea no trivial en el plano proyectivo define un gráfico en el que cada cara está delimitada por al menos tres aristas y cada arista limita dos caras; entonces, el doble conteo da la desigualdad adicional. Usando esta desigualdad para eliminar de la característica de Euler conduce a la desigualdad . Pero si cada vértice de la disposición fuera el punto de cruce de tres o más líneas, entonces el número total de aristas sería al menos, contradiciendo esta desigualdad. Por lo tanto, algunos vértices deben ser el punto de cruce de solo dos líneas y, como muestra el análisis más cuidadoso de Melchior, se necesitan al menos tres vértices ordinarios para satisfacer la desigualdad.. [8]
Como señalan Aigner y Ziegler (2018) , el mismo argumento para la existencia de un vértice ordinario también fue dado en 1944 por Norman Steenrod , quien lo aplicó explícitamente al problema de la línea dual ordinaria. [9]
La desigualdad de Melchor
Con un argumento similar, Melchior pudo demostrar un resultado más general. Para cada, dejar ser el número de puntos a los que las líneas son incidentes. Entonces [8]
o equivalente,
Axiomática
HSM Coxeter ( 1948 , 1969 ) escribe sobre la prueba de Kelly de que su uso de la distancia euclidiana es innecesariamente poderoso, "como usar un mazo para romper una almendra". En cambio, Coxeter dio otra prueba del teorema de Sylvester-Gallai dentro de la geometría ordenada , una axiomatización de la geometría en términos de intermediación que incluye no solo la geometría euclidiana sino varias otras geometrías relacionadas. [10] La demostración de Coxeter es una variación de una demostración anterior dada por Steinberg en 1944. [11] El problema de encontrar un conjunto mínimo de axiomas necesarios para demostrar el teorema pertenece a las matemáticas inversas ; ver Pambuccian (2009) para un estudio de esta cuestión.
El enunciado habitual del teorema de Sylvester-Gallai no es válido en el análisis constructivo , ya que implica el principio menos limitado de omnisciencia , una forma debilitada de la ley del medio excluido que se rechaza como axioma de la matemática constructiva. Sin embargo, es posible formular una versión del teorema de Sylvester-Gallai que sea válida dentro de los axiomas del análisis constructivo, y adaptar la prueba de Kelly del teorema para que sea una prueba válida bajo estos axiomas. [12]
Encontrar una línea ordinaria
La prueba de Kelly de la existencia de una línea ordinaria se puede convertir en un algoritmo que encuentra una línea ordinaria buscando el par más cercano de un punto y una línea a través de otros dos puntos. Mukhopadhyay y Greene (2012) informan del tiempo para esta búsqueda de pares más cercanos como, basado en una búsqueda de fuerza bruta de todos los triples de puntos, pero un algoritmo para encontrar el punto dado más cercano a cada línea a través de dos puntos dados, en el tiempo, fue dada anteriormente por Edelsbrunner y Guibas (1989) , como una subrutina para encontrar el triángulo de área mínima determinado por tres de un conjunto dado de puntos. El mismo artículo de Edelsbrunner y Guibas (1989) también muestra cómo construir la disposición dual de líneas a los puntos dados (como se usa en la demostración de Melchior y Steenrod) al mismo tiempo,, a partir del cual es posible identificar todos los vértices ordinarios y todas las líneas ordinarias. Mukhopadhyay, Agrawal y Hosabettu (1997) mostraron por primera vez cómo encontrar una sola línea ordinaria (no necesariamente la de la prueba de Kelly) a tiempo, y Mukhopadhyay y Greene (2012) describieron un algoritmo más simple con el mismo límite de tiempo .
El algoritmo de Mukhopadhyay & Greene (2012) se basa en la demostración de Coxeter utilizando geometría ordenada. Realiza los siguientes pasos:
- Elige un punto que es un vértice del casco convexo de los puntos dados.
- Construye una línea que pasa por y de lo contrario permanece fuera del casco convexo.
- Ordena los otros puntos dados por el ángulo que forman con , agrupando puntos que forman el mismo ángulo.
- Si alguno de los puntos está solo en su grupo, devuelva la línea ordinaria a través de ese punto y .
- Para cada dos grupos consecutivos de puntos, en la secuencia ordenada por sus ángulos, forme dos líneas, cada una de las cuales pasa por el punto más cercano a en un grupo y el punto más alejado de en el otro grupo.
- Para cada línea en el conjunto de líneas formadas de esta manera, encuentre el punto de intersección de con
- Devuelve la línea cuyo punto de intersección con es el más cercano a .
Como demuestran los autores, la línea devuelta por este algoritmo debe ser normal. La prueba es por construcción si se devuelve en el paso 4, o por contradicción si se devuelve en el paso 7: si la línea devuelta en el paso 7 no fuera ordinaria, los autores prueban que existiría una línea ordinaria entre uno de sus puntos y, pero esta línea ya debería haberse encontrado y devuelto en el paso 4. [13]
El número de líneas ordinarias
Si bien el teorema de Sylvester-Gallai establece que una disposición de puntos, no todos colineales, debe determinar una línea ordinaria, no dice cuántos deben determinarse. Dejar ser el nmero mnimo de lneas ordinarias determinado sobre cada conjunto de puntos no colineales. La prueba de Melchor mostró que. de Bruijn y Erdős ( 1948 ) plantearon la cuestión de si se acerca al infinito con . Theodore Motzkin ( 1951 ) confirmó que sí al demostrar que. Gabriel Dirac ( 1951 ) conjeturó que, para todos los valores de , una conjetura que aún se mantiene a partir de 2013[actualizar]. Esto a menudo se conoce como la conjetura de Dirac-Motzkin ; véase, por ejemplo , Brass, Moser & Pach (2005 , p. 304). Kelly y Moser (1958) demostraron que.
El límite inferior conjeturado de Dirac es asintóticamente el mejor posible, ya que los números pares más de cuatro tienen un límite superior coincidente . La construcción, debida a Károly Böröczky , que logra este límite consta de los vértices de una-gon en el plano proyectivo real y otro puntos (así, ) en la línea al infinito correspondiente a cada una de las direcciones determinadas por pares de vértices. A pesar de que hay pares de estos puntos, solo determinan direcciones distintas. Este arreglo solo tiene líneas ordinarias, las líneas que conectan un vértice con el punto en el infinito colineal con los dos vecinos de . Como ocurre con cualquier configuración finita en el plano proyectivo real, esta construcción puede perturbarse de modo que todos los puntos sean finitos, sin cambiar el número de líneas ordinarias. [14]
Por extraño , solo se conocen dos ejemplos que coinciden con la conjetura del límite inferior de Dirac, es decir, con Un ejemplo, de Kelly y Moser (1958) , consiste en los vértices, los puntos medios de las aristas y el centroide de un triángulo equilátero; estos siete puntos determinan solo tres líneas ordinarias. La configuración en la que estas tres líneas ordinarias se reemplazan por una sola línea no se puede realizar en el plano euclidiano, sino que forma un espacio proyectivo finito conocido como el plano de Fano . Debido a esta conexión, el ejemplo de Kelly-Moser también se ha denominado configuración no Fano. [15] El otro contraejemplo, debido a McKee, [14] consiste en dos pentágonos regulares unidos de borde a borde junto con el punto medio del borde compartido y cuatro puntos en la línea en el infinito en el plano proyectivo ; estos 13 puntos tienen entre ellos 6 líneas ordinarias. Las modificaciones de la construcción de Böröczky conducen a conjuntos de números impares de puntos conlíneas ordinarias. [dieciséis]
Csima y Sawyer (1993) demostraron que excepto cuando es siete. Asintóticamente, esta fórmula ya es de lo probado límite superior. LaEl caso es una excepción porque, de lo contrario, la construcción de Kelly-Moser sería un contraejemplo; su construcción muestra que. Sin embargo, ¿el límite de Csima-Sawyer era válido para, afirmaría que .
Un resultado estrechamente relacionado es el teorema de Beck , que establece una compensación entre el número de líneas con pocos puntos y el número de puntos en una sola línea. [17]
Ben Green y Terence Tao demostraron que para todos los conjuntos de puntos suficientemente grandes (es decir, para una elección adecuada de ), el número de líneas ordinarias es al menos . Además, cuandoes impar , el número de líneas ordinarias es al menos, por alguna constante . Por lo tanto, las construcciones de Böröczky para pares e impares (discutidas anteriormente) son las mejores posibles. Minimizar el número de líneas ordinarias está estrechamente relacionado con el problema de la plantación de huertos de maximizar el número de líneas de tres puntos, que Green y Tao también resolvieron para todos los conjuntos de puntos suficientemente grandes. [18]
El número de líneas de conexión
Como observó Paul Erdős , el teorema de Sylvester-Gallai implica inmediatamente que cualquier conjunto de puntos que no son colineales determina al menos diferentes lineas. Este resultado se conoce como el teorema de De Bruijn-Erdős . Como caso base, el resultado es claramente cierto para. Para cualquier valor mayor de, el resultado se puede reducir de puntos a puntos, eliminando una línea ordinaria y uno de los dos puntos en ella (teniendo cuidado de no eliminar un punto para el cual el subconjunto restante estaría en una sola línea). Por lo tanto, sigue por inducción matemática. El ejemplo de un lápiz cercano, un conjunto deLos puntos colineales junto con un punto adicional que no está en la misma línea que los otros puntos, muestra que este límite es estrecho. [dieciséis]
Generalizaciones
El teorema de Sylvester-Gallai se ha generalizado a conjuntos de puntos coloreados en el plano euclidiano ya sistemas de puntos y líneas definidos algebraicamente o por distancias en un espacio métrico . En general, estas variaciones del teorema consideran solo conjuntos finitos de puntos, para evitar ejemplos como el conjunto de todos los puntos en el plano euclidiano, que no tiene una línea ordinaria.
Puntos de colores
Una variación del problema de Sylvester, planteado a mediados de la década de 1960 por Ronald Graham y popularizado por Donald J. Newman , considera conjuntos planos finitos de puntos (no todos en una línea) a los que se les dan dos colores, y pregunta si cada conjunto tiene un línea a través de dos o más puntos que son todos del mismo color. En el lenguaje de conjuntos y las familias de conjuntos , una declaración equivalente es que la familia de los subconjuntos colineales de un conjunto de puntos finitos (no todo en una línea) no puede tener la propiedad B . Theodore Motzkin anunció una prueba de esta variación, pero nunca se publicó; la primera prueba publicada fue de Chakerian (1970) . [19]
Coordenadas no reales
Así como el plano euclidiano o el plano proyectivo se pueden definir usando números reales para las coordenadas de sus puntos ( coordenadas cartesianas para el plano euclidiano y coordenadas homogéneas para el plano proyectivo), los sistemas abstractos análogos de puntos y líneas pueden definirse usando otros sistemas numéricos como coordenadas. El teorema de Sylvester-Gallai no es válido para geometrías definidas de esta forma sobre campos finitos : para algunas geometrías finitas definidas de esta forma, como el plano de Fano , el conjunto de todos los puntos de la geometría no tiene líneas ordinarias. [7]
El teorema de Sylvester-Gallai tampoco se aplica directamente a geometrías en las que los puntos tienen coordenadas que son pares de números complejos o cuaterniones , pero estas geometrías tienen análogos más complicados del teorema. Por ejemplo, en el plano proyectivo complejo existe una configuración de nueve puntos, la configuración de Hesse (los puntos de inflexión de una curva cúbica), en la que cada línea es no ordinaria, violando el teorema de Sylvester-Gallai. Esta configuración se conoce como configuración de Sylvester-Gallai y no se puede realizar mediante puntos y líneas del plano euclidiano. Otra forma de enunciar el teorema de Sylvester-Gallai es que siempre que los puntos de una configuración de Sylvester-Gallai están incrustados en un espacio euclidiano, conservando las colinealidades, los puntos deben estar todos en una sola línea, y el ejemplo de la configuración de Hesse muestra que esto es falso para el plano proyectivo complejo . Sin embargo, Kelly (1986) demostró un análogo de números complejos del teorema de Sylvester-Gallai: siempre que los puntos de una configuración de Sylvester-Gallai están incrustados en un espacio proyectivo complejo, todos los puntos deben estar en un subespacio bidimensional. De manera equivalente, un conjunto de puntos en un espacio complejo tridimensional cuyo casco afín es todo el espacio debe tener una línea ordinaria y, de hecho, debe tener un número lineal de líneas ordinarias. [20] De manera similar, Elkies, Pretorius y Swanepoel (2006) mostraron que siempre que una configuración de Sylvester-Gallai está incrustada en un espacio definido sobre los cuaterniones, sus puntos deben estar en un subespacio tridimensional.
Matroides
Cada conjunto de puntos en el plano euclidiano, y las líneas que los conectan, pueden abstraerse como los elementos y planos de una matroide orientada de rango 3 . Los puntos y líneas de geometrías definidas utilizando otros sistemas numéricos distintos de los números reales también forman matroides , pero no necesariamente matroides orientados. En este contexto, el resultado de Kelly y Moser (1958) limitando el número de líneas ordinarias se puede generalizar a matroides orientados: cada matroide orientado de rango 3 con elementos tiene al menos Las líneas de dos puntos, o lo que es lo mismo, cada matroide de rango 3 con menos líneas de dos puntos deben ser no orientables. [21] Una matroide sin líneas de dos puntos se llama matroide Sylvester . En relación con esto, la configuración de Kelly-Moser con siete puntos y sólo tres líneas ordinarias forma uno de los menores prohibidos para las matroides representables por GF (4) . [15]
Geometría de distancia
Otra generalización del teorema de Sylvester-Gallai a espacios métricos arbitrarios fue conjeturada por Chvátal (2004) y probada por Chen (2006) . En esta generalización, un triple de puntos en un espacio métrico se define como colineal cuando la desigualdad del triángulo para estos puntos es una igualdad, y una línea se define a partir de cualquier par de puntos al incluir repetidamente puntos adicionales que son colineales con puntos ya agregados. a la línea, hasta que no se puedan agregar más puntos de este tipo. La generalización de Chvátal y Chen establece que cada espacio métrico finito tiene una línea que contiene todos los puntos o exactamente dos de los puntos. [22]
Notas
- ^ Elkies, Pretorius y Swanepoel (2006) .
- ↑ a b Borwein y Moser (1990) .
- ^ Steinberg y col. (1944) ; Erdős (1982) .
- ^ Señor 0041447
- ^ Señor0056941
- ^ Shephard (1968) .
- ↑ a b c d e Aigner y Ziegler (2018) .
- ↑ a b c Melchor (1941) .
- ^ Aigner y Ziegler (2018 , p. 92); La prueba de Steenrod se resumió brevemente en Steinberg et al. (1944) .
- ^ Aigner y Ziegler (2018) ; Pambuccian (2009) .
- ↑ Coxeter (1948) ; Pambuccian (2009) . Para la prueba de Steinberg, véase Steinberg et al. (1944) .
- ^ Mandelkern (2016) .
- ^ Mukhopadhyay y Greene (2012) .
- ↑ a b Crowe y McKee (1968) .
- ↑ a b Geelen, Gerards y Kapoor (2000) .
- ↑ a b Pach y Sharir (2009)
- ^ Beck (1983) .
- ^ Green y Tao (2013) .
- ^ Para conocer la historia de esta variación del problema, véase también Grünbaum (1999)
- ^ Basit y col. (2019) .
- ^ Björner y col. (1993) .
- ^ Chvátal (2004) ; Chen (2006) ; Pambuccian (2009)
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enlaces externos
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- Weisstein, Eric W. , "Ordinary Line" , MathWorld
- Prueba de presentación de Terence Tao en las Conferencias Minerva 2013