En matemáticas, y especialmente en la teoría de gauge , los invariantes de Seiberg-Witten son invariantes de 4 variedades compactas y suaves orientadas introducidas por Edward Witten ( 1994 ), utilizando la teoría de Seiberg-Witten estudiada por Nathan Seiberg y Witten ( 1994a , 1994b ) durante sus investigaciones de Teoría del calibre de Seiberg-Witten .
Los invariantes de Seiberg-Witten son similares a los invariantes de Donaldson y pueden usarse para probar resultados similares (pero a veces un poco más fuertes) sobre 4-variedades suaves. Técnicamente, es mucho más fácil trabajar con ellos que los invariantes de Donaldson; por ejemplo, los espacios de módulos de soluciones de las ecuaciones de Seiberg-Witten tienden a ser compactos, por lo que se evitan los difíciles problemas que implica la compactación de los espacios de módulos en la teoría de Donaldson.
Para descripciones detalladas de las invariantes de Seiberg-Witten, ver ( Donaldson 1996 ), ( Moore 2001 ), ( Morgan 1996 ), ( Nicolaescu 2000 ), ( Scorpan 2005 , Capítulo 10). Para la relación con las variedades simplécticas y las invariantes de Gromov-Witten, ver ( Taubes 2000 ). Para la historia temprana, ver ( Jackson 1995 ).
Spin c- estructuras
El grupo Spin c (en dimensión 4) es
donde el actúa como un signo en ambos factores. El grupo tiene un homomorfismo natural a SO (4) = Spin (4) / ± 1 .
Dado un colector de 4 orientado compacto, elija una métrica Riemanniana suave con conexión Levi Civita . Esto reduce el grupo de estructura del componente conectado GL (4) + a SO (4) y es inofensivo desde un punto de vista homotópico. Una estructura de Spin c o una estructura de spin compleja en M es una reducción del grupo de estructura a Spin c , es decir, una elevación de la estructura SO (4) en el haz tangente al grupo Spin c . Por un teorema de Hirzebruch y Hopf , cada colector compacto de 4admite una estructura Spin c . [1] La existencia de una estructura Spin c es equivalente a la existencia de un ascensor de la segunda clase Stiefel-Whitney a una clase A la inversa, tal elevación determina la estructura Spin c hasta 2 torsiones enUna estructura de giro adecuada requiere el más restrictivo
Una estructura de Spin c determina (y está determinada por) un paquete de espinor procedente de la representación de espinor positivo y negativo bidimensional complejo de Spin (4) sobre el que U (1) actúa por multiplicación. Tenemos. El paquete de espinor viene con una representación de paquete de álgebra de Clifford graduada, es decir, un mapa tal que para cada 1 formulario tenemos y . Hay una métrica hermitiana única en S t es sesgado Hermitian para formas reales 1 . Da una acción inducida de las formas.por anti-simetrización. En particular, esto da un isomorfismo de de las dos formas auto-duales con los endomorfismos hermitianos sesgados sin trazas de que luego se identifican.
Ecuaciones de Seiberg-Witten
Dejar ser el paquete de línea determinante con. Para cada conexión con en , hay una conexión espinor única en es decir, una conexión tal que por cada 1 forma y campo vectorial . La conexión Clifford luego define un operador de Dirac en . El grupo de mapas actúa como un grupo de medidores en el conjunto de todas las conexiones en . La acción de puede ser "fijo en el indicador", por ejemplo, por la condición , dejando una parametrización efectiva del espacio de todas esas conexiones de con un residual medir la acción del grupo.
Escribir para un campo espinor de quiralidad positiva, es decir, una sección de . Las ecuaciones de Seiberg-Witten para son ahora
Aquí es la curvatura cerrada 2-forma de , es su parte auto-dual, y σ es el mapa de cuadratura desde al endomorfismo hermitiano sin rastro de identificado con un imaginario auto-dual-forma 2, y es una forma real de dos auto-dual, a menudo considerada como cero o armónica. El grupo de medidoresactúa sobre el espacio de las soluciones. Después de agregar la condición de fijación del medidor el residual U (1) actúa libremente, a excepción de las "soluciones reducibles" con . Por razones técnicas, las ecuaciones se definen de hecho en espacios de Sobolev adecuados de regularidad suficientemente alta.
Una aplicación de la fórmula de Weitzenböck
y la identidad
a las soluciones de las ecuaciones da una igualdad
- .
Si es máximo , por lo que esto muestra que para cualquier solución, la norma sup está acotado a priori con el límite que depende solo de la curvatura escalar de y la forma dual del yo . Después de agregar la condición de fijación del calibre, la regularidad elíptica de la ecuación de Dirac muestra que las soluciones están de hecho acotadas a priori en las normas de Sobolev de regularidad arbitraria, lo que muestra que todas las soluciones son suaves y que el espacio de todas las soluciones hasta la equivalencia del calibre es compacto.
Las soluciones de las ecuaciones de Seiberg-Witten se llaman monopolos , ya que estas ecuaciones son las ecuaciones de campo de los monopolos magnéticos sin masa en la variedad.
El espacio de módulos de soluciones
El grupo gauge actúa sobre el espacio de soluciones, y el cociente de esta acción se denomina espacio de módulos de los monopolos.
El espacio de módulos suele ser múltiple. Para las métricas genéricas, después de la fijación del indicador, las ecuaciones recortan el espacio de la solución de forma transversal y así definen una variedad uniforme. El grupo de calibres U (1) de "calibre fijo" residual U (1) actúa libremente excepto en monopolos reducibles, es decir, soluciones con. Según el teorema del índice de Atiyah-Singer, el espacio de los módulos es de dimensión finita y tiene una "dimensión virtual"
que para las métricas genéricas es la dimensión real lejos de los reducibles. Significa que el espacio de módulos está generalmente vacío si la dimensión virtual es negativa.
Para una forma auto dual 2 , las soluciones reducibles tienen , y así están determinados por conexiones en tal que para algunos anti-autodual de 2 formas . Por la descomposición de Hodge , ya que está cerrado, el único obstáculo para resolver esta ecuación para dado y , es la parte armónica de y , y la parte armónica, o equivalentemente, la clase de cohomología (de Rham) de la forma de curvatura es decir. Por lo tanto, dado que el la condición necesaria y suficiente para una solución reducible es
dónde es el espacio de las 2 formas armónicas anti-autoduales. Una forma de dos es -admisible si no se cumple esta condición y las soluciones son necesariamente irreductibles. En particular, para, el espacio de módulos es una variedad compacta (posiblemente vacía) para métricas genéricas y admisibles . Tenga en cuenta que, si el espacio de -admisible dos formas está conectado, mientras que si tiene dos componentes conectados (cámaras). Al espacio de módulos se le puede dar una orientación natural a partir de una orientación en el espacio de formas armónicas positivas 2, y la primera cohomología.
El límite a priori de las soluciones también da límites a priori en. Por lo tanto, hay (para fijo) solo un número finito , y por lo tanto sólo un número finito de estructuras Spin c , con un espacio de módulos no vacío.
Invariantes de Seiberg-Witten
La invariante Seiberg-Witten de un cuatro colector M con b 2 + ( M ) ≥ 2 es un mapa de la escisión c estructuras en M a Z . El valor del invariante en una estructura de espín c es más fácil de definir cuando el espacio de módulos es de dimensión cero (para una métrica genérica). En este caso, el valor es el número de elementos del espacio de módulos contados con signos.
El invariante de Seiberg-Witten también se puede definir cuando b 2 + ( M ) = 1, pero entonces depende de la elección de una cámara.
Se dice que una variedad M es de tipo simple si el invariante de Seiberg-Witten desaparece siempre que la dimensión esperada del espacio de módulos es distinta de cero. La conjetura de tipo simple establece que si M está simplemente conectado y b 2 + ( M ) ≥ 2, entonces la variedad es de tipo simple. Esto es cierto para las variedades simplécticas.
Si la variedad M tiene una métrica de curvatura escalar positiva y b 2 + ( M ) ≥ 2, entonces todos los invariantes de Seiberg-Witten de M desaparecen.
Si la variedad M es la suma conectada de dos variedades, las cuales tienen b 2 + ≥ 1, entonces todos los invariantes de Seiberg-Witten de M desaparecen.
Si el colector M se conecta simplemente y simpléctico y b 2 + ( M ) ≥ 2 entonces se ha un giro c estructura s en la que el invariante Seiberg-Witten es 1. En particular, no puede ser dividida como una suma conectado de colectores con b 2 + ≥ 1.
Referencias
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- Donaldson, Simon K. (1996), "Las ecuaciones de Seiberg-Witten y la topología de 4 variedades", Boletín de la American Mathematical Society , (NS), 33 (1): 45–70, doi : 10.1090 / S0273-0979 -96-00625-8 , MR 1339810
- Jackson, Allyn (1995), Una revolución en las matemáticas , archivado desde el original el 26 de abril de 2010
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