En matemáticas , un espacio de Sobolev es un espacio vectorial de funciones equipado con una norma que es una combinación de L p -normas de la función junto con sus derivadas hasta un orden dado. Los derivados se entienden en un adecuado sentido débil para que el espacio completo , es decir, un espacio de Banach . Intuitivamente, un espacio de Sobolev es un espacio de funciones que posee suficientes derivadas para algún dominio de aplicación, como ecuaciones diferenciales parciales , y está equipado con una norma que mide tanto el tamaño como la regularidad de una función.
Los espacios de Sobolev llevan el nombre del matemático ruso Sergei Sobolev . Su importancia proviene del hecho de que existen soluciones débiles de algunas ecuaciones diferenciales parciales importantes en espacios de Sobolev apropiados, incluso cuando no hay soluciones fuertes en espacios de funciones continuas con las derivadas entendidas en el sentido clásico.
Motivación
En esta sección y en todo el artículo es un subconjunto abierto de
Hay muchos criterios para la suavidad de las funciones matemáticas . El criterio más básico puede ser el de continuidad . Una noción más fuerte de suavidad es la de diferenciación (porque las funciones que son diferenciables también son continuas) y una noción aún más fuerte de suavidad es que la derivada también es continua (se dice que estas funciones son de clase).- ver clases de diferenciabilidad ). Las funciones diferenciables son importantes en muchas áreas y, en particular, para las ecuaciones diferenciales . En el siglo XX, sin embargo, se observó que el espacio (o , etc.) no era exactamente el espacio adecuado para estudiar soluciones de ecuaciones diferenciales. Los espacios de Sobolev son el sustituto moderno de estos espacios en los que buscar soluciones de ecuaciones diferenciales parciales.
Las cantidades o propiedades del modelo subyacente de la ecuación diferencial generalmente se expresan en términos de normas integrales, en lugar de la norma uniforme . Un ejemplo típico es medir la energía de una distribución de temperatura o velocidad mediante un-norma. Por tanto, es importante desarrollar una herramienta para diferenciar las funciones espaciales de Lebesgue .
La fórmula de integración por partes produce que para cada, dónde es un número natural , y para todas las funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto
dónde es un índice múltiple de orden y estamos usando la notación:
El lado izquierdo de esta ecuación todavía tiene sentido si solo asumimos ser localmente integrable . Si existe una función integrable localmente, tal que
entonces llamamos el débil-ésima derivada parcial de. Si existe un débil-ésima derivada parcial de , entonces se define de forma única en casi todas partes y, por lo tanto, se determina de forma única como un elemento de un espacio de Lebesgue . Por otro lado, si, entonces la derivada clásica y la débil coinciden. Por tanto, si es un débil -ésima derivada parcial de , podemos denotarlo por .
Por ejemplo, la función
no es continua en cero y no es diferenciable en -1, 0 o 1. Sin embargo, la función
satisface la definición de ser la derivada débil de que luego califica como estar en el espacio de Sobolev (para cualquier permitido , consulte la definición a continuación).
Los espacios de Sobolev combinar los conceptos de diferenciabilidad débil y las normas de Lebesgue .
Espacios de Sobolev con entero k
Caso unidimensional
En el caso unidimensional, el espacio de Sobolev por se define como el subconjunto de funciones en tal que y sus derivados débiles a la ordentienen una norma L p finita . Como se mencionó anteriormente, se debe tener cierto cuidado para definir derivados en el sentido correcto. En el problema unidimensional es suficiente asumir que el-ésima derivada es diferenciable en casi todas partes y es igual en casi todas partes a la integral de Lebesgue de su derivada (esto excluye ejemplos irrelevantes como la función de Cantor ).
Con esta definición, los espacios de Sobolev admiten una norma natural ,
Se puede extender esto al caso , con la norma entonces definida utilizando el supremo esencial por
Equipado con la norma se convierte en un espacio de Banach . Resulta que basta con tomar solo el primero y el último de la secuencia, es decir, la norma definida por
es equivalente a la norma anterior (es decir, las topologías inducidas de las normas son las mismas).
El caso p = 2
Los espacios de Sobolev con p = 2 son especialmente importantes debido a su conexión con las series de Fourier y porque forman un espacio de Hilbert . Ha surgido una notación especial para cubrir este caso, ya que el espacio es un espacio de Hilbert:
El espacio puede definirse naturalmente en términos de series de Fourier cuyos coeficientes decaen con suficiente rapidez, a saber,
dónde es la serie de Fourier de y denota el 1-toro. Como arriba, se puede usar la norma equivalente
Ambas representaciones se siguen fácilmente del teorema de Parseval y del hecho de que la diferenciación es equivalente a multiplicar el coeficiente de Fourier por in .
Además, el espacio admite un producto interior , como el espacio De hecho, el El producto interno se define en términos de producto Interno:
El espacio se convierte en un espacio de Hilbert con este producto interior.
Otros ejemplos
En una dimensión, algunos otros espacios de Sobolev permiten una descripción más simple. Por ejemplo,es el espacio de funciones absolutamente continuas en (0, 1) (o más bien, clases de equivalencia de funciones que son iguales en casi todas partes), mientras quees el espacio de las funciones de Lipschitz en la que , para cada intervalo I . Sin embargo, estas propiedades se pierden o no son tan simples para funciones de más de una variable.
Todos los espacios son álgebras (normativas) , es decir, el producto de dos elementos es una vez más una función de este espacio de Sobolev, que no es el caso de(Por ejemplo, las funciones que se comportan como | x | −1/3 en el origen están en pero el producto de dos de tales funciones no está en ).
Caso multidimensional
La transición a múltiples dimensiones trae más dificultades, partiendo de la propia definición. El requisito de que ser la integral de no generaliza, y la solución más simple es considerar derivadas en el sentido de la teoría de la distribución .
A continuación sigue una definición formal. Dejar El espacio de Sobolev se define como el conjunto de todas las funciones en de modo que para cada índice múltiple con la derivada parcial mixta
existe en el sentido débil y está en es decir
Es decir, el espacio Sobolev Se define como
El numero natural se llama el orden del espacio de Sobolev
Hay varias opciones para una norma Los dos siguientes son comunes y equivalentes en el sentido de equivalencia de normas :
y
Con respecto a cualquiera de estas normas, es un espacio de Banach. ParaTambién es un espacio separable . Es convencional denotar por porque es un espacio de Hilbert con la norma. [1]
Aproximación por funciones suaves
Es bastante difícil trabajar con espacios de Sobolev basándose solo en su definición. Por tanto, es interesante saber que por el teorema de Meyers y Serrin una funciónpuede aproximarse mediante funciones suaves . Este hecho a menudo nos permite traducir propiedades de funciones suaves a funciones de Sobolev. Si es finito y está abierto, entonces existe para cualquier una secuencia aproximada de funciones tal que:
Si tiene el límite de Lipschitz , incluso podemos suponer que el son la restricción de funciones suaves con soporte compacto en todos los [2]
Ejemplos de
En dimensiones superiores, ya no es cierto que, por ejemplo, contiene solo funciones continuas. Por ejemplo, dónde es la unidad de bola en tres dimensiones. Para k > n / p el espaciocontendrá solo funciones continuas, pero para las cuales k esto ya es cierto depende tanto de p como de la dimensión. Por ejemplo, como se puede comprobar fácilmente utilizando coordenadas polares esféricas para la funcióndefinido en la bola n- dimensional tenemos:
Intuitivamente, la explosión de f en 0 "cuenta menos" cuando n es grande, ya que la bola unitaria tiene "más afuera y menos adentro" en dimensiones más altas.
Caracterización absolutamente continua en líneas (ACL) de las funciones de Sobolev
Dejar Si una función está en luego, posiblemente después de modificar la función en un conjunto de medida cero, la restricción a casi todas las líneas paralelas a las direcciones de las coordenadas enes absolutamente continuo ; Además, la derivada clásica a lo largo de las líneas que son paralelas a las direcciones de las coordenadas están en Por el contrario, si la restricción de a casi todas las líneas paralelas a las direcciones de las coordenadas es absolutamente continuo, entonces el gradiente puntual existe casi en todas partes , y es en previsto En particular, en este caso las derivadas parciales débiles de y derivadas parciales puntuales de de acuerdo en casi todas partes. La caracterización del LCA de los espacios de Sobolev fue establecida por Otto M. Nikodym ( 1933 ); ver ( Maz'ya 1985 , §1.1.3) .
Un resultado más fuerte se mantiene cuando Una función en es, después de modificar en un conjunto de compás cero, Hölder continua de exponentepor la desigualdad de Morrey . En particular, sientonces la función es Lipschitz continua .
Funciones que desaparecen en el límite
El espacio de Sobolev también se denota por Es un espacio de Hilbert, con un subespacio importante definido como el cierre de las funciones infinitamente diferenciables soportadas de forma compacta en en La norma de Sobolev definida anteriormente se reduce aquí a
Cuándo tiene un límite regular, puede describirse como el espacio de funciones en que se desvanecen en el límite, en el sentido de huellas ( ver más abajo ). Cuándo Si es un intervalo acotado, entonces consta de funciones continuas en de la forma
donde la derivada generalizada es en y tiene 0 integral, de modo que
Cuándo está acotada, la desigualdad de Poincaré establece que hay una constante tal que:
Cuándo está acotado, la inyección de a es compacto . Este hecho juega un papel en el estudio del problema de Dirichlet , y en el hecho de que existe una base ortonormal deque consta de vectores propios del operador de Laplace (con la condición de frontera de Dirichlet ).
Huellas
Los espacios de Sobolev a menudo se consideran al investigar ecuaciones diferenciales parciales. Es esencial considerar los valores límite de las funciones de Sobolev. Si, esos valores límite se describen mediante la restricción . Sin embargo, no está claro cómo describir los valores en el límite para, ya que la medida n- dimensional del límite es cero. El siguiente teorema [2] resuelve el problema:
- Teorema de seguimiento. Suponga que Ω está acotado con el límite de Lipschitz . Entonces existe un operador lineal acotado tal que
Tu se llama el rastro de u . En términos generales, este teorema extiende el operador de restricción al espacio de Sobolevpara Ω de buen comportamiento. Tenga en cuenta que el operador de traza T en general no es sobreyectivo, pero para 1 < p <∞ se mapea continuamente en el espacio Sobolev-Slobodeckij
Intuitivamente, tomar la traza cuesta 1 / p de una derivada. Las funciones u en W 1, p (Ω) con traza cero, es decir, Tu = 0, se pueden caracterizar por la igualdad
dónde
En otras palabras, para Ω acotado con el límite de Lipschitz, las funciones de traza cero en se puede aproximar mediante funciones suaves con soporte compacto.
Espacios de Sobolev con k no enteros
Espacios potenciales de Bessel
Para un número natural k y 1 < p <∞ se puede mostrar (usando multiplicadores de Fourier [3] [4] ) que el espacio se puede definir de forma equivalente como
con la norma
Esto motiva los espacios de Sobolev con un orden no entero, ya que en la definición anterior podemos reemplazar k por cualquier número real s . Los espacios resultantes
se denominan espacios potenciales de Bessel [5] (en honor a Friedrich Bessel ). Son espacios de Banach en general y espacios de Hilbert en el caso especial p = 2.
Para es el conjunto de restricciones de funciones de a Ω equipado con la norma
- .
Nuevamente, H s, p (Ω) es un espacio de Banach y en el caso p = 2 un espacio de Hilbert.
Usando teoremas de extensión para espacios de Sobolev, se puede demostrar que también W k, p (Ω) = H k, p (Ω) se cumple en el sentido de normas equivalentes, si Ω es un dominio con un límite C k uniforme, k un natural número y 1 . Por las incrustaciones
los espacios potenciales de Bessel formar una escala continua entre los espacios de Sobolev Desde un punto de vista abstracto, los espacios potenciales de Bessel ocurren como espacios de interpolación complejos de espacios de Sobolev, es decir, en el sentido de normas equivalentes, sostiene que
dónde:
Espacios Sobolev – Slobodeckij
Otro enfoque para definir espacios de Sobolev de orden fraccionario surge de la idea de generalizar la condición de Hölder a la configuración L p . [6] Para y la seminorm de Slobodeckij (aproximadamente análoga a la seminorm de Hölder) se define por
Sea s > 0 no un número entero y establezca. Utilizando la misma idea que para los espacios de Hölder , el espacio de Sobolev – Slobodeckij [7] Se define como
Es un espacio de Banach para la norma
Si es adecuadamente regular en el sentido de que existen ciertos operadores de extensión, entonces también los espacios de Sobolev-Slobodeckij forman una escala de espacios de Banach, es decir, uno tiene las inyecciones o incrustaciones continuas
Hay ejemplos de Ω irregulares tales que ni siquiera es un subespacio vectorial de para 0 < s <1 (consulte el Ejemplo 9.1 de [8] )
Desde un punto de vista abstracto, los espacios coinciden con los espacios de interpolación reales de los espacios de Sobolev, es decir, en el sentido de normas equivalentes, se cumple lo siguiente:
- .
Los espacios de Sobolev-Slobodeckij juegan un papel importante en el estudio de los rastros de las funciones de Sobolev. Son casos especiales de espacios Besov . [4]
Operadores de extensión
Si es un dominio cuyo límite no se comporta demasiado mal (por ejemplo, si su límite es una variedad, o satisface la " condición de cono " más permisiva ) entonces hay un operador A funciones de mapeo de a funciones de tal que:
- Au ( x ) = u ( x ) para casi todo x en y
- es continua para cualquier 1 ≤ p ≤ ∞ y un entero k .
Llamaremos a dicho operador A operador de extensión para
Caso de p = 2
Los operadores de extensión son la forma más natural de definir para no entero s (que no puede trabajar directamente enya que tomar la transformada de Fourier es una operación global). Definimos al decir que si y solo si De manera equivalente, la interpolación compleja produce el mismo espacios siempre que tiene un operador de extensión. Si no tiene un operador de extensión, la interpolación compleja es la única forma de obtener el espacios.
Como resultado, la desigualdad de interpolación aún se mantiene.
Extensión por cero
Como arriba , definimos ser el cierre en del espacio de funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto. Dada la definición de rastro, arriba, podemos afirmar lo siguiente
- Teorema. Dejar ser uniformemente C m regular, m ≥ sy sea P el mapa lineal que envía u en a
- donde d / dn es la derivada normal a G , y k es el mayor entero menor que s . Luego es precisamente el núcleo de P .
Si podemos definir su extensión por cero de forma natural, a saber
- Teorema. Dejar El mapa es continuo en si y solo si s no es de la forma para n un número entero.
Para f ∈ L p (Ω) su extensión por cero,
es un elemento de Además,
En el caso del espacio de Sobolev W 1, p (Ω) para 1 ≤ p ≤ ∞, extender una función u por cero no necesariamente producirá un elemento dePero si Ω está acotado con el límite de Lipschitz (por ejemplo, ∂Ω es C 1 ), entonces para cualquier conjunto abierto acotado O tal que Ω⊂⊂O (es decir, Ω está contenido de forma compacta en O), existe un operador lineal acotado [2]
tal que para cada ae en Ω, Eu tiene soporte compacto dentro de O, y existe una constante C que depende solo de p , Ω, O y la dimensión n , tal que
Llamamos Eu una extensión de u a
Incrustaciones de Sobolev
Es una pregunta natural preguntarse si una función de Sobolev es continua o incluso continuamente diferenciable. En términos generales, bastantes derivadas débiles (es decir, k grande ) dan como resultado una derivada clásica. Esta idea se generaliza y precisa en el teorema de incrustación de Sobolev .
Escribir para el espacio de Sobolev de alguna variedad compacta de Riemann de dimensión n . Aquí k puede ser cualquier número real y 1 ≤ p ≤ ∞. (Para p = ∞ el espacio de Sobolevse define como el espacio de Hölder C n , α donde k = n + α y 0 <α ≤ 1.) El teorema de inclusión de Sobolev establece que si y luego
y la incrustación es continua. Además, si y entonces la incrustación es completamente continua (esto a veces se denomina teorema de Kondrachov o teorema de Rellich-Kondrachov ). Funciones entienen todas las derivadas de orden menor que m continuas, por lo que, en particular, esto da condiciones en los espacios de Sobolev para que varias derivadas sean continuas. De manera informal, estas incorporaciones dicen que convertir una estimación de L p en una estimación de acotación cuesta 1 / p de derivadas por dimensión.
Existen variaciones similares del teorema de incrustación para variedades no compactas como ( Stein 1970 ). Incrustaciones de Sobolev enque no son compactos a menudo tienen una propiedad relacionada, pero más débil, de cocompactancia .
Notas
- ^ Evans 1998 , capítulo 5.2
- ↑ a b c Adams, 1975
- ^ Bergh y Löfström 1976
- ^ a b Triebel 1995
- ^ Los espacios potenciales de Bessel con integrabilidad variable han sido introducidos de forma independiente por Almeida & Samko (A. Almeida y S. Samko, "Caracterización de los potenciales de Riesz y Bessel en espacios variables de Lebesgue ", J. Function Spaces Appl. 4 (2006), no. 2, 113-144) y Gurka, Harjulehto & Nekvinda (P. Gurka, P. Harjulehto y A. Nekvinda: "Espacios potenciales de Bessel con exponente variable", Math. Inequal. Appl. 10 (2007), no. 3, 661 –676).
- ^ Lunardi 1995
- ^ En la literatura, los espacios fraccional de tipo Sobolev también se denominan espacios Aronszajn , espacios Gagliardo o espacios Slobodeckij , después de los nombres de los matemáticos que les introdujeron en la década de 1950: N. Aronszajn ( "valores de límite de funciones con finita integral de Dirichlet ", Techn. Report of Univ. Of Kansas 14 (1955), 77–94), E. Gagliardo ("Proprietà di alcune classi di funzioni in più variabili", Ricerche Mat. 7 (1958), 102-137) y LN Slobodeckij ("Espacios de Sobolev generalizados y sus aplicaciones a problemas de valores de frontera de ecuaciones diferenciales parciales", Leningrad. Gos. Ped. Inst. Učep. Zap. 197 (1958), 54-112).
- ^ "Guía del autoestopista a los espacios fraccionarios de Sobolev" . Bulletin des Sciences Mathématiques . 136 (5): 521–573. 2012-07-01. doi : 10.1016 / j.bulsci.2011.12.004 . ISSN 0007-4497 .
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enlaces externos
- Eleonora Di Nezza, Giampiero Palatucci, Enrico Valdinoci (2011). "Guía del autoestopista a los espacios fraccionarios de Sobolev".