En matemáticas , específicamente en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , un operador semielíptico es un operador diferencial parcial que satisface una condición de positividad ligeramente más débil que la de ser un operador elíptico . Todos los operadores elípticos también son semielípticos, y los operadores semielípticos comparten muchas de las bonitas propiedades de los operadores elípticos: por ejemplo, se puede aplicar gran parte de la misma teoría de existencia y unicidad, y los problemas de Dirichlet semielípticos se pueden resolver utilizando los métodos del análisis estocástico .
Definición
Un operador diferencial parcial de segundo orden P definido en un subconjunto abierto Ω de n - espacio euclidiano dimensional R n , que actúa sobre funciones adecuadas f por
se dice que es semielíptica si todos los valores propios λ i ( x ), 1 ≤ i ≤ n , de la matriz a ( x ) = ( a ij ( x )) son no negativos. (Por el contrario, se dice que P es elíptica si λ i ( x )> 0 para todo x ∈ Ω y 1 ≤ i ≤ n , y uniformemente elíptica si los valores propios están delimitados uniformemente desde cero, uniformemente en i y x .) De manera equivalente, P es semielíptica si la matriz a ( x ) es semidefinida positiva para cada x ∈ Ω.
Referencias
- Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (Sexta ed.). Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1. (Ver Sección 9)