En matemáticas , algunos problemas de valores de frontera se pueden resolver utilizando los métodos de análisis estocástico . Quizás el ejemplo más célebre es la solución de 1944 de Shizuo Kakutani del problema de Dirichlet para el operador de Laplace usando movimiento browniano . Sin embargo, resulta que para una gran clase de ecuaciones diferenciales parciales semielípticas de segundo orden , el problema del valor de frontera de Dirichlet asociado se puede resolver usando un proceso Itō que resuelve una ecuación diferencial estocástica asociada .
Introducción: la solución de Kakutani al problema clásico de Dirichlet
Dejar ser un dominio (un conjunto abierto y conectado ) en. Dejarser el operador de Laplace , dejarser una función acotada en el límite y considere el problema:
Se puede demostrar que si una solución existe, entonces es el valor esperado de en el primer punto de salida (aleatorio) de para un movimiento browniano canónico que comienza en. Véase el teorema 3 en Kakutani 1944, pág. 710.
El problema de Dirichlet-Poisson
Dejar ser un dominio en y deja ser un operador diferencial semielíptico en de la forma:
donde los coeficientes y son funciones continuas y todos los valores propios de la matriz no son negativos. Dejar y . Considere el problema de Poisson :
La idea del método estocástico para resolver este problema es la siguiente. Primero, uno encuentra una difusión de Itō cuyo generador infinitesimal coincide con en soporte compacto funciones . Por ejemplo, puede tomarse como la solución a la ecuación diferencial estocástica:
dónde es el movimiento browniano n- dimensional, tiene componentes como arriba, y el campo de matriz se elige de modo que:
Por un punto , dejar denotar la ley de dado el dato inicial , y deja denotar expectativa con respecto a . Dejar denotar la primera hora de salida de de .
En esta notación, la solución candidata para (P1) es:
siempre que es una función acotada y que:
Resulta que se requiere una condición más:
Para todos , el proceso a partir de casi seguramente se vatiempo infinito. Bajo este supuesto, la solución candidata anterior se reduce a:
y resuelve (P1) en el sentido de que si denota el operador característico para (que concuerda con en funciones), entonces:
Además, si satisface (P2) y existe una constante tal que, para todos :
luego .
Referencias
- Kakutani, Shizuo (1944). "Movimiento browniano bidimensional y funciones armónicas" . Proc. Diablillo. Acad. Tokio . 20 (10): 706–714. doi : 10.3792 / pia / 1195572706 .
- Kakutani, Shizuo (1944). "Sobre movimientos brownianos en n- espacio" . Proc. Diablillo. Acad. Tokio . 20 (9): 648–652. doi : 10.3792 / pia / 1195572742 .
- Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (Sexta ed.). Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1. (Ver Sección 9)