En matemáticas , los grupos cuasi-diedros , también llamados grupos semi-diedros , son ciertos grupos no abelianos de orden una potencia de 2. Para cada entero positivo n mayor o igual a 4, hay exactamente cuatro clases de isomorfismos de no- grupos abelianos de orden 2 n que tienen un subgrupo cíclico de índice 2. Dos son bien conocidos, el grupo cuaternión generalizado y el grupo diedro. Uno de los dos grupos restantes a menudo se considera particularmente importante, ya que es un ejemplo de un grupo 2 de clase de nulidad máxima . En el texto Endliche Gruppen de Bertram Huppert , este grupo se denomina "Quasidiedergruppe". En el texto de Daniel Gorenstein , Grupos finitos , este grupo se denomina "grupo semidiédrico". Dummit y Foote se refieren a él como el "grupo cuasidiédrico"; adoptamos ese nombre en este artículo. Todos dan la misma presentación para este grupo:
- .
El otro grupo 2 no abeliano con subgrupo cíclico de índice 2 no recibe un nombre especial en ninguno de los textos, sino que se lo denomina simplemente G o M m (2). Cuando este grupo tiene orden 16, Dummit y Foote se refieren a este grupo como el "grupo modular de orden 16", ya que su entramado de subgrupos es modular , por lo que en este artículo este grupo se denominará grupo modular cíclico máximo. Su presentación es:
- .
Ambos grupos y el grupo diedro son productos semidirectos de un grupo cíclico < r > de orden 2 n −1 con un grupo cíclico < s > de orden 2. Dicho producto semidirecto no abeliano está determinado únicamente por un elemento de orden 2 en el grupo de unidades del anillo y hay precisamente tres de esos elementos, , , y , correspondiente al grupo diedro, el cuasidiédrico y el grupo cíclico máximo modular.
El grupo cuaternión generalizado, el grupo diedro y el grupo cuasidiédrico de orden 2 n tienen todos nilpotencia clase n - 1, y son las únicas clases de isomorfismo de grupos de orden 2 n con nilpotencia clase n - 1. Los grupos de orden p n y la clase de nilpotencia n - 1 fueron el comienzo de la clasificación de todas p -grupos vía coclase . El grupo cíclico máximo modular de orden 2 n siempre tiene clase nula de potencia 2. Esto hace que el grupo cíclico máximo modular sea menos interesante, ya que la mayoría de los grupos de orden p n para n grande tienen clase nula potencia 2 y han resultado difíciles de entender directamente.
El cuaternión generalizado, el diedro y el grupo cuasidiédrico son los únicos 2 grupos cuyo subgrupo derivado tiene un índice 4. El teorema de Alperin-Brauer-Gorenstein clasifica los grupos simples , y hasta cierto punto los grupos finitos , con dos subgrupos de Sylow cuasidiédricos .
Ejemplos de
Los 2 subgrupos de Sylow de los siguientes grupos son cuasidiédricos:
- PSL 3 ( F q ) para q ≡ 3 mod 4,
- PSU 3 ( F q ) para q ≡ 1 mod 4,
- el grupo Mathieu M 11 ,
- GL 2 ( F q ) para q ≡ 3 mod 4.
Referencias
- Dummit, DS; Foote, R. (2004). Álgebra abstracta (3 ed.). Wiley. págs. 71–72. ISBN 9780471433347.
- Huppert, B. (1967). Endliche Gruppen . Saltador. págs. 90–93. Señor 0224703 .
- Gorenstein, D. (1980). Grupos finitos . Chelsea. págs. 188-195. ISBN 0-8284-0301-5. Señor 0569209 .