En geometría algebraica, dado un morfismo de esquemas , el morfismo diagonal
es un morfismo determinado por la propiedad universal del producto de fibra de p y p aplicados a la identidad y la identidad .
Es un caso especial de morfismo gráfico : dado un morfismosobre S , el morfismo gráfico de la misma es Inducido por y la identidad . La incrustación diagonal es el morfismo gráfico de.
Por definición, X es un esquema separado sobre S (es un morfismo separado ) si el morfismo diagonal es una inmersión cerrada . Además, un morfismolocalmente de presentación finita es un morfismo no ramificado si y solo si la incrustación diagonal es una inmersión abierta.
Explicación
Como ejemplo, considere una variedad algebraica sobre un campo algebraicamente cerrado k yel mapa de estructura. Entonces, identificando X con el conjunto de sus k -puntos racionales, y se da como ; de ahí el nombre de morfismo diagonal.
Morfismo separado
Un morfismo separado es un morfismo.tal que el producto de fibra de consigo mismo a lo largo tiene su diagonal como un subesquema cerrado; en otras palabras, el morfismo diagonal es una inmersión cerrada .
Como consecuencia, un esquema se separa cuando la diagonal dedentro del esquema producto deconsigo mismo es una inmersión cerrada. Haciendo hincapié en el punto de vista relativo, se podría definir de manera equivalente un esquema que se separará si el morfismo único esta separado.
Observe que un espacio topológico Y es Hausdorff sif la incrustación diagonal
está cerrado. En geometría algebraica, la formulación anterior se usa porque un esquema que es un espacio de Hausdorff es necesariamente vacío o de dimensión cero. La diferencia entre el contexto topológico y algebro-geométrico proviene de la estructura topológica del producto de fibra (en la categoría de esquemas), que se diferencia del producto de los espacios topológicos.
Cualquier esquema afín Spec A está separado, porque la diagonal corresponde al mapa sobreyectivo de anillos (por lo tanto, es una inmersión cerrada de esquemas):
- .
Dejar ser un esquema obtenido identificando dos líneas afines a través del mapa de identidad excepto en los orígenes (ver esquema de pegado # Ejemplos ). No está separado. [1] De hecho, la imagen del morfismo diagonal La imagen tiene dos orígenes, mientras que su cierre contiene cuatro orígenes.
Uso en la teoría de la intersección
Una forma clásica de definir el producto de intersección de ciclos algebraicos. en una variedad lisa X es intersectando (restringiendo) su producto cartesiano con (a) la diagonal: precisamente,
dónde es el retroceso a lo largo de la incrustación diagonal .
Ver también
Referencias
- ^ Hartshorne 1977 , ejemplo 4.0.1.
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157