Los siete estados de aleatoriedad en la teoría de la probabilidad , los fractales y el análisis de riesgo son extensiones del concepto de aleatoriedad modelado por la distribución normal . Estos siete estados fueron presentados por primera vez por Benoît Mandelbrot en su libro de 1997 Fractals and Scaling in Finance , que aplicó el análisis fractal al estudio del riesgo y la aleatoriedad. [1] Esta clasificación se basa en los tres estados principales de aleatoriedad: leve, lento y salvaje.
La importancia de siete estados de clasificación aleatoria para las finanzas matemáticas es que métodos como la cartera de varianza media de Markowitz y el modelo de Black-Scholes pueden invalidarse a medida que se engordan las colas de la distribución de rendimientos : el primero se basa en la desviación estándar finita ( volatilidad ) estabilidad de la correlación , mientras que la última se construye sobre el movimiento browniano .
Historia
Estos siete estados se basan en un trabajo anterior de Mandelbrot en 1963: "Las variaciones de ciertos precios especulativos" [2] y "Nuevos métodos en economía estadística" [3], en los que argumentó que la mayoría de los modelos estadísticos se acercaban sólo a una primera etapa del tratamiento. indeterminismo en la ciencia, y que ignoraron muchos aspectos de la turbulencia del mundo real , en particular, la mayoría de los casos de modelos financieros . [4] [5] Esto fue luego presentado por Mandelbrot en el Congreso Internacional de Lógica (1964) en un discurso titulado "La epistemología del azar en ciertas ciencias más nuevas" [6]
Hablando intuitivamente, Mandelbrot argumentó [6] que la distribución normal tradicional no captura apropiadamente las distribuciones empíricas y del "mundo real" y hay otras formas de aleatoriedad que pueden usarse para modelar cambios extremos en el riesgo y la aleatoriedad. Observó que la aleatoriedad puede volverse bastante "salvaje" si se abandonan los requisitos relacionados con la media finita y la varianza . La aleatoriedad salvaje corresponde a situaciones en las que una sola observación, o un resultado particular, pueden impactar el total de una manera muy desproporcionada.
La clasificación se introdujo formalmente en su libro de 1997 Fractals and Scaling in Finance , [1] como una forma de aportar información sobre los tres estados principales de aleatoriedad: leve, lento y salvaje. Dadas N sumandos , porcionado se refiere a la contribución relativa de los sumandos a su suma. Por incluso en porciones, Mandelbrot significaba que eran los sumandos del mismo orden de magnitud , de lo contrario se considera la división en porciones que se concentran . Dado el momento de orden q de una variable aleatoria , Mandelbrot llamó a la raíz de grado q de dicho momento el factor de escala (de orden q ).
Los siete estados son:
- Aleatoriedad moderada adecuada: el reparto a corto plazo es uniforme para N = 2, por ejemplo, la distribución normal
- Aleatoriedad leve límite: la distribución a corto plazo se concentra para N = 2, pero eventualmente se vuelve uniforme a medida que N crece, por ejemplo, la distribución exponencial con tasa λ = 1 (y por lo tanto con valor esperado 1 / λ = 1)
- Aleatoriedad lenta con momentos finitos deslocalizados: el factor de escala aumenta más rápido que q pero no más rápido que, w <1
- Aleatoriedad lenta con momentos finitos y localizados: el factor de escala aumenta más rápido que cualquier potencia de q , pero permanece finito, por ejemplo, la distribución logarítmica normal y, lo que es más importante, la distribución uniforme acotada (que por construcción con escala finita para todo q no puede ser una aleatoriedad pre-salvaje. )
- Aleatoriedad pre-salvaje: el factor de escala se vuelve infinito para q > 2, por ejemplo, la distribución de Pareto con α = 2.5
- Aleatoriedad salvaje: segundo momento infinito, pero momento finito de algún orden positivo, por ejemplo, la distribución de Pareto con
- Aleatoriedad extrema: todos los momentos son infinitos, por ejemplo, la distribución log-Cauchy
La aleatoriedad salvaje tiene aplicaciones fuera de los mercados financieros, por ejemplo, se ha utilizado en el análisis de situaciones turbulentas como los incendios forestales . [7]
Utilizando elementos de esta distinción, en marzo de 2006, un año antes de la crisis financiera de 2007-2010 , y cuatro años antes de la crisis repentina de mayo de 2010, durante la cual el Dow Jones Industrial Average tuvo una oscilación intradía de 1.000 puntos en cuestión de minutos, [8 ] Mandelbrot y Nassim Taleb publicaron un artículo en el Financial Times argumentando que las tradicionales "curvas de campana" que se han utilizado durante más de un siglo son inadecuadas para medir el riesgo en los mercados financieros, dado que tales curvas ignoran la posibilidad de saltos bruscos o discontinuidades. . Contrastando este enfoque con los enfoques tradicionales basados en paseos aleatorios , afirmaron: [9]
Vivimos en un mundo impulsado principalmente por saltos aleatorios, y las herramientas diseñadas para caminatas al azar abordan el problema equivocado.
Mandelbrot y Taleb señalaron que, aunque se puede suponer que las probabilidades de encontrar a una persona de varios kilómetros de altura son extremadamente bajas, no se pueden excluir observaciones excesivas similares en otras áreas de aplicación. Argumentaron que si bien las curvas de campana tradicionales pueden proporcionar una representación satisfactoria de la altura y el peso de la población, no proporcionan un mecanismo de modelado adecuado para los riesgos o rendimientos del mercado, donde solo diez días de negociación representan el 63 por ciento de los rendimientos de los últimos 50 años. años.
Definiciones
Duplicar la convolución
Si la densidad de probabilidad de se denota , entonces se puede obtener mediante la doble convolución .
Proporción de porcionado de tiradas cortas
Cuando se conoce u , la densidad de probabilidad condicional de u ′ viene dada por la razón de porciones:
Concentración en modo
En muchos casos importantes, el máximo de ocurre cerca , o cerca y . Toma el logaritmo de y escribe:
- Si es cap-convexa , la relación de porcionado es máxima para
- Si es recto, la proporción de porciones es constante
- Si es copa convexa , la proporción de porciones es mínima para
Concentración en probabilidad
Dividir la convolución de duplicación en tres partes da:
p ( u ) se concentra en probabilidad a corto plazo si es posible seleccionar de modo que el intervalo medio de () tiene las siguientes dos propiedades como u → ∞:
- I 0 / p 2 ( u ) → 0
- no → 0
Momentos localizados y deslocalizados
Considere la fórmula , si p ( u ) es la distribución de escala, el integrando es máximo en 0 y ∞, en otros casos, el integrando puede tener un máximo global agudo para algún valor definido por la siguiente ecuación:
También hay que saber en el barrio de . La función a menudo admite una aproximación "gaussiana" dada por:
Cuándo está bien aproximado por una densidad gaussiana, la mayor parte de se origina en el " intervalo q " definido como. Los intervalos q de Gauss se superponen en gran medida para todos los valores de. Los momentos gaussianos se denominan deslocalizados . Los intervalos q del logaritmo normal están espaciados uniformemente y su ancho es independiente de q ; por lo tanto, si el log-normal es suficientemente sesgado, el intervalo q y el intervalo ( q + 1) no se superponen. Los momentos logarítmicos normales se denominan localizados uniformemente . En otros casos, los intervalos q vecinos dejan de superponerse para q suficientemente altos , tales momentos se denominan asintóticamente localizados .
Ver también
- Historia de la aleatoriedad
- Secuencia aleatoria
- Distribución de cola grasa
- Distribución de cola pesada
- Wavelet de Daubechies para un sistema basado en momentos infinitos (ondas caóticas)
Referencias
- ^ a b Benoît Mandelbrot (1997) Fractales y escalamiento en finanzas ISBN 0-387-98363-5 páginas 136–142 https://books.google.com/books/about/Fractals_and_Scaling_in_Finance.html?id=6KGSYANlwHAC&redir_esc=y
- ^ B. Mandelbrot, La variación de ciertos precios especulativos, The Journal of Business 1963 [1]
- ^ B. Mandelbrot, Nuevos métodos en economía estadística, The Journal of Political Economy 1963 https://www.jstor.org/stable/1829014
- ^ Benoit Mandelbrot, FJ Damerau, M. Frame y K. McCamy (2001) Fractales y autoafinidad gaussianaISBN 0-387-98993-5 página 20
- ^ Philip Mirowski (2004) ¿ La economía de la ciencia sin esfuerzo?ISBN 0-8223-3322-8 página 255
- ^ a b B. Mandelbrot, Hacia una segunda etapa del indeterminismo en la ciencia, Reseñas científicas interdisciplinarias de 1987 [2]
- ^ La economía de las perturbaciones forestales: incendios forestales, tormentas y especies invasoras por Thomas P. Holmes, Jeffrey P. Prestemon y Karen L. Abt. 2008. Springer: Dordrecht, Países Bajos. 422 p. ISBN 978-1-4020-4369-7
- ^ Wall Street Journal 11 de mayo de 2010
- ^ Benoît Mandelbrot y Nassim Taleb (23 de marzo de 2006), " Un enfoque en las excepciones que prueban la regla ", Financial Times .