Hexágono

Hexágono regular
Un hexágono regular
Escribe	Polígono regular
Aristas y vértices	6
Símbolo de Schläfli	{6}, t {3}
Diagrama de Coxeter
Grupo de simetría	Diedro (D ₆ ), orden 2 × 6
Ángulo interno ( grados )	120 °
Polígono dual	Uno mismo
Propiedades	Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal

En geometría , un hexágono (del griego ἕξ , hex , que significa "seis", y γωνία , gonía , que significa "esquina, ángulo") es un polígono de seis lados o 6-gon. El total de los ángulos internos de cualquier hexágono simple (que no se interseca automáticamente) es 720 °.

Hexágono regular

Un hexágono regular tiene el símbolo de Schläfli {6} ^[1] y también se puede construir como un triángulo equilátero truncado , t {3}, que alterna dos tipos de aristas.

Cuando se da la longitud del lado AB , al dibujar un arco circular desde el punto A y el punto B se obtiene la intersección M, el centro del círculo circunscrito . Transfiera el segmento de línea AB cuatro veces en el círculo circunscrito y conecte los puntos de las esquinas.

Un hexágono regular se define como un hexágono que es tanto equilátero como equiangular . Es bicéntrico , lo que significa que es cíclico (tiene un círculo circunscrito) y tangencial (tiene un círculo inscrito).

La longitud común de los lados es igual al radio del círculo circunscrito o circunferencia , que es igual a multiplicado por la apotema (radio del círculo inscrito ). Todos los ángulos internos son de 120 grados . Un hexágono regular tiene seis simetrías rotacionales ( simetría rotacional de orden seis ) y seis simetrías de reflexión ( seis ejes de simetría ), que forman el grupo diedro D ₆ . Las diagonales más largas de un hexágono regular, que conectan vértices diametralmente opuestos, tienen el doble de la longitud de un lado. De esto se puede ver que un ${\tfrac {2}{\sqrt {3}}}$ triángulo con un vértice en el centro del hexágono regular y que comparte un lado con el hexágono es equilátero , y que el hexágono regular se puede dividir en seis triángulos equiláteros.

Al igual que los cuadrados y los triángulos equiláteros , los hexágonos regulares encajan sin ningún espacio para enlosar el plano (tres hexágonos se encuentran en cada vértice), por lo que son útiles para construir mosaicos . Las celdas de un panal de abejas son hexagonales por esta razón y porque la forma hace un uso eficiente del espacio y los materiales de construcción. El diagrama de Voronoi de una celosía triangular regular es la teselación en forma de panal de hexágonos. No suele considerarse un triambus , aunque es equilátero.

Parámetros

El diámetro máximo (que corresponde a la diagonal larga del hexágono), D , es el doble del radio máximo o circunradio , R , que es igual a la longitud del lado, t . El diámetro mínimo o el diámetro del círculo inscrito (separación de lados paralelos, distancia de plano a plano, diagonal corta o altura cuando descansa sobre una base plana), d , es el doble del radio mínimo o inradio , r . Los máximos y mínimos están relacionados por el mismo factor:

{\frac {1}{2}}d=r=\cos(30^{\circ })R={\frac {\sqrt {3}}{2}}R={\frac {\sqrt {3}}{2}}t

y, de manera similar,

d={\frac {\sqrt {3}}{2}}D.

El área de un hexágono regular

{\begin{aligned}A&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R^{2}=3Rr=2{\sqrt {3}}r^{2}\\&={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}D^{2}={\frac {3}{4}}Dd={\frac {\sqrt {3}}{2}}d^{2}\\&\approx 2.598R^{2}\approx 3.464r^{2}\\&\approx 0.6495D^{2}\approx 0.866d^{2}.\end{aligned}}

Para cualquier polígono regular , el área también se puede expresar en términos de la apotema a y el perímetro p . Para el hexágono regular, estos están dados por a = r , y p , por lo que ${}=6R=4r{\sqrt {3}}$

{\begin{aligned}A&={\frac {ap}{2}}\\&={\frac {r\cdot 4r{\sqrt {3}}}{2}}=2r^{2}{\sqrt {3}}\\&\approx 3.464r^{2}.\end{aligned}}

El hexágono regular llena la fracción de su círculo circunscrito . ${\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2\pi }}\approx 0.8270$

Si un hexágono regular tiene vértices sucesivos A, B, C, D, E, F y si P es cualquier punto en el círculo circunferencial entre B y C, entonces PE + PF = PA + PB + PC + PD .

Se deduce de la relación de circunferencia circunscrita a inradio que la relación de altura a anchura de un hexágono regular es de 1: 1.1547005; es decir, un hexágono con una diagonal larga de 1.0000000 tendrá una distancia de 0.8660254 entre lados paralelos.

Punto en el plano

Para un punto arbitrario en el plano de un hexágono regular con circunradio , cuyas distancias al centroide del hexágono regular y sus seis vértices son y respectivamente, tenemos ^[2] $R$ $L$ $d_{i}$

d_{1}^{2}+d_{4}^{2}=d_{2}^{2}+d_{5}^{2}=d_{3}^{2}+d_{6}^{2}=2(R^{2}+L^{2}),

d_{1}^{2}+d_{3}^{2}+d_{5}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}+d_{6}^{2}=3(R^{2}+L^{2}),

d_{1}^{4}+d_{3}^{4}+d_{5}^{4}=d_{2}^{4}+d_{4}^{4}+d_{6}^{4}=3((R^{2}+L^{2})^{2}+2R^{2}L^{2}).

Si son las distancias desde los vértices de un hexágono regular hasta cualquier punto de su círculo, entonces ^[2] $d_{i}$

(\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{2})^{2}=4\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{4}.

Simetría

Ejemplo de hexágonos por simetría

isotoxal d6	g6 dirigido	p6 isogonal		d2	paralelogon general g2	p2
	r12 regular				i4
	g3				a1

Las seis líneas de reflexión de un hexágono regular, con simetría Dih ₆ o r12 , orden 12.

Las simetrías diedras se dividen dependiendo de si pasan por vértices ( d para diagonales) o aristas ( p para perpendiculares). Las simetrías cíclicas en la columna central se etiquetan como g para sus órdenes de giro centrales. La simetría completa de la forma regular es r12 y ninguna simetría se etiqueta a1 .

El hexágono regular tiene simetría Dih ₆ , orden 12. Hay tres subgrupos diedros: Dih ₃ , Dih ₂ y Dih ₁ , y cuatro subgrupos cíclicos : Z ₆ , Z ₃ , Z ₂ y Z ₁ .

Estas simetrías expresan nueve simetrías distintas de un hexágono regular. John Conway los etiqueta por carta y orden de grupo. ^[3] r12 es simetría completa y a1 no es simetría. p6 , un hexágono isogonal construido por tres espejos puede alternar bordes largos y cortos, y d6 , un hexágono isotoxal construido con longitudes de borde iguales, pero vértices alternando dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del hexágono regular. Las formas i4 son hexágonos regulares aplanados o estirados a lo largo de una dirección de simetría. Puede verse como un rombo alargado , mientras que d2 y p2 pueden verse como cometas alargadas horizontal y verticalmente . Los hexágonos g2 , con lados opuestos paralelos, también se denominan paralelogones hexagonales .

La simetría de cada subgrupo permite uno o más grados de libertad para las formas irregulares. Solo el subgrupo g6 no tiene grados de libertad, pero puede verse como bordes dirigidos .

Los hexágonos de simetría g2 , i4 y r12 , como paralelogones, pueden teselar el plano euclidiano por traslación. Otras formas hexagonales pueden revestir el plano con diferentes orientaciones.

p6m (* 632)	cmm (2 * 22)	p2 (2222)	p31m (3 * 3)	pmg (22 *)		pg (× ×)
r12	i4	g2	d2	d2	p2	a1
Dih ₆	Dih ₂	Z ₂	Dih ₁			Z ₁

Grupos A2 y G2

Raíces del grupo A2

Raíces del grupo G2

Las 6 raíces del grupo de Lie simple A2 , representadas por un diagrama de Dynkin , están en un patrón hexagonal regular. Las dos raíces simples tienen un ángulo de 120 ° entre ellas.

Las 12 raíces del grupo de mentiras excepcionales G2 , representadas por un diagrama de Dynkin también están en un patrón hexagonal. Las dos raíces simples de dos longitudes tienen un ángulo de 150 ° entre ellas.

Disección

Proyección de 6 cubos	12 disección de rombos

Coxeter afirma que cada zonogon (un 2 m -gon cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en m ( m -1) / 2 paralelogramos. ^[4] En particular, esto es cierto para polígonos regulares con muchos lados uniformes, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Esta descomposición de un hexágono regular se basa en una proyección poligonal de Petrie de un cubo , con 3 de 6 caras cuadradas. Otros paralelogones y direcciones proyectivas del cubo se disecan dentro de cuboides rectangulares .

Disección de hexágonos en tres rombos y paralelogramos
2D	Rombos	Paralelogramos

	Regular {6}	Paralelogones hexagonales
3D	Caras cuadradas		Caras rectangulares

	Cubo		Cuboide rectangular

Polígonos y teselados relacionados

Un hexágono regular tiene el símbolo de Schläfli {6}. Un hexágono regular es parte del mosaico hexagonal regular , {6,3}, con tres caras hexagonales alrededor de cada vértice.

También se puede crear un hexágono regular como un triángulo equilátero truncado , con el símbolo de Schläfli t {3}. Vista con dos tipos (colores) de aristas, esta forma solo tiene simetría D ₃ .

Un hexágono truncado , t {6}, es un dodecágono , {12}, alternando dos tipos (colores) de aristas. Un hexágono alterno , h {6}, es un triángulo equilátero , {3}. Un hexágono regular se puede estrellar con triángulos equiláteros en sus bordes, creando un hexagrama . Un hexágono regular se puede diseccionar en seis triángulos equiláteros agregando un punto central. Este patrón se repite dentro del mosaico triangular regular .

Un hexágono regular se puede extender a un dodecágono regular agregando cuadrados alternos y triángulos equiláteros a su alrededor. Este patrón se repite dentro del mosaico rombitrihexagonal .

Regular {6}	T truncado {3} = {6}	Triángulos hipertruncados			Estrella estrellada figura 2 {3}	T truncado {6} = {12}	H alterno {6} = {3}

Hexágono cruzado	Un hexágono cóncavo	Un hexágono que se interseca a sí mismo ( polígono en estrella )	Central extendida {6} en {12}	Un hexágono sesgado , dentro del cubo	Disecado {6}	octaedro de proyección	Gráfico completo

Hexágonos que se cruzan automáticamente

Hay seis hexágonos que se cruzan automáticamente con la disposición de vértice del hexágono regular:

Hexágonos auto-intersectantes con vértices regulares
Dih ₂			Dih ₁		Dih ₃
Figura ocho	Centro-flip	Unicursal	Cola de pez	Doble cola	Triple cola

Estructuras hexagonales

Primer plano de la Calzada del Gigante

Desde los panales de abejas hasta la Calzada de los Gigantes , los patrones hexagonales prevalecen en la naturaleza debido a su eficiencia. En una cuadrícula hexagonal, cada línea es lo más corta posible si se va a rellenar un área grande con el menor número de hexágonos. Esto significa que los panales requieren menos cera para construirse y ganan mucha fuerza bajo compresión .

Los hexágonos irregulares con bordes opuestos paralelos se denominan paralelogones y también pueden enlosar el plano por traslación. En tres dimensiones, los prismas hexagonales con caras opuestas paralelas se denominan paraleloedros y estos pueden teselar 3 espacios por traslación.

Teselaciones de prisma hexagonal
Formulario	Azulejos hexagonales	Nido de abeja prismático hexagonal
Regular
Paralelogonal

Teselaciones por hexágonos

Además del hexágono regular, que determina una teselación única del plano, cualquier hexágono irregular que satisfaga el criterio de Conway enlosará el plano.

Hexágono inscrito en una sección cónica

El teorema de Pascal (también conocido como el "Teorema del Hexagrammum Mysticum") establece que si se inscribe un hexágono arbitrario en cualquier sección cónica , y los pares de lados opuestos se extienden hasta que se encuentran, los tres puntos de intersección estarán en una línea recta, el " Pascal line "de esa configuración.

Hexágono cíclico

El hexágono de Lemoine es un hexágono cíclico (inscrito en un círculo) con vértices dados por las seis intersecciones de las aristas de un triángulo y las tres líneas que son paralelas a las aristas que pasan por su punto simmediano .

Si los lados sucesivos de un hexágono cíclico son a , b , c , d , e , f , entonces las tres diagonales principales se cruzan en un solo punto si y solo si ace = bdf . ^[5]

Si, para cada lado de un hexágono cíclico, los lados adyacentes se extienden hasta su intersección, formando un triángulo exterior al lado dado, entonces los segmentos que conectan los circuncentros de los triángulos opuestos son concurrentes . ^[6]

Si un hexágono tiene vértices en la circunferencia de un triángulo agudo en los seis puntos (incluidos los tres vértices del triángulo) donde las altitudes extendidas del triángulo se encuentran con la circunferencia, entonces el área del hexágono es el doble del área del triángulo. ^[7]^{: pág. 179}

Hexágono tangencial a una sección cónica

Sea ABCDEF un hexágono formado por seis rectas tangentes de una sección cónica. Luego, el teorema de Brianchon establece que las tres diagonales principales AD, BE y CF se cruzan en un solo punto.

En un hexágono que es tangencial a un círculo y que tiene lados consecutivos a , b , c , d , e y f , ^[8]

a+c+e=b+d+f.

Triángulos equiláteros en los lados de un hexágono arbitrario

Si un triángulo equilátero se construye externamente en cada lado de cualquier hexágono, entonces los puntos medios de los segmentos que conectan los centroides de los triángulos opuestos forman otro triángulo equilátero. ^[9]^{: Thm. 1}

Inclinar el hexágono

Un hexágono oblicuo regular visto como bordes (negros) de un antiprisma triangular , simetría D _3d , [2 ⁺ , 6], (2 * 3), orden 12.

Un hexágono sesgado es un polígono sesgado con seis vértices y aristas, pero que no existe en el mismo plano. El interior de tal hexágono no está definido en general. Un hexágono en zig-zag sesgado tiene vértices que alternan entre dos planos paralelos.

Un hexágono sesgado regular es transitivo a vértices con longitudes de arista iguales. En tres dimensiones será un hexágono sesgado en zig-zag y se puede ver en los vértices y aristas laterales de un antiprisma triangular con la misma simetría D _3d , [2 ⁺ , 6], orden 12.

El cubo y el octaedro (igual que el antiprisma triangular) tienen hexágonos oblicuos regulares como polígonos de petrie.

Inclinar hexágonos en ejes triples
Cubo	Octaedro

Polígonos de Petrie

El hexágono de sesgo regular es el polígono de Petrie para estos poliedros y politopos regulares , uniformes y duales de mayor dimensión , que se muestran en estas proyecciones ortogonales de sesgo :

4D		5D
3-3 duoprisma	3-3 duopirámide	5 simplex

Hexágono equilátero convexo

Una diagonal principal de un hexágono es una diagonal que divide el hexágono en cuadriláteros. En cualquier hexágono equilátero convexo (uno con todos los lados iguales) con lado común a , existe ^[10]^{: p.184, # 286.3} una diagonal principal d ₁ tal que

{\frac {d_{1}}{a}}\leq 2

y una diagonal principal d ₂ tal que

{\frac {d_{2}}{a}}>{\sqrt {3}}.

Poliedros con hexágonos

No hay un sólido platónico hecho solo de hexágonos regulares, porque los hexágonos se teselan , lo que no permite que el resultado se "pliegue". Los sólidos de Arquímedes con algunas caras hexagonales son el tetraedro truncado , el octaedro truncado , el icosaedro truncado (de balón de fútbol y la fama de fullereno ), el cuboctaedro truncado y el icosidodecaedro truncado . Estos hexágonos pueden considerarse triángulos truncados , con diagramas de Coxeter de la forma y .

Hexágonos en sólidos de Arquímedes
Tetraédrico	Octaédrico		Icosaédrico

tetraedro truncado	octaedro truncado	cuboctaedro truncado	icosaedro truncado	icosidodecaedro truncado

Existen otros poliedros de simetría con hexágonos estirados o aplanados, como estos poliedros Goldberg G (2,0):

Hexágonos en poliedros Goldberg
Tetraédrico	Octaédrico	Icosaédrico
Tetraedro biselado	Cubo biselado	Dodecaedro biselado

También hay 9 sólidos de Johnson con hexágonos regulares:

Johnson sólidos y cuasi accidentes con hexágonos
cúpula triangular	cúpula triangular alargada	cúpula triangular giroelongada
prisma hexagonal aumentado	prisma hexagonal aumentado parabios	prisma hexagonal metabiaumentado	prisma hexagonal triaumentado
tetraedro truncado aumentado	hebesphenorotunda triangular	Triakis tetraedro truncado

Prismoides con hexágonos
Prisma hexagonal	Antiprisma hexagonal	Pirámide hexagonal

Azulejos con hexágonos regulares
Regular	1-uniforme
{6,3}	r {6,3}	rr {6,3}	tr {6,3}

2-mosaicos uniformes

Galería de hexágonos naturales y artificiales

La estructura cristalina ideal del grafeno es una rejilla hexagonal.
Segmentos de espejo E-ELT ensamblados
Un panal de colmena
Los escudos del caparazón de una tortuga
El hexágono de Saturno , un patrón de nubes hexagonal alrededor del polo norte del planeta
Micrografía de un copo de nieve
Benceno , el compuesto aromático más simple con forma hexagonal.
Orden hexagonal de burbujas en una espuma.
Estructura cristalina de un hexágono molecular compuesto por anillos aromáticos hexagonales.
Columnas de basalto formadas naturalmente de Giant's Causeway en Irlanda del Norte ; las masas grandes deben enfriarse lentamente para formar un patrón de fractura poligonal
Una vista aérea de Fort Jefferson en el Parque Nacional Dry Tortugas
El espejo del telescopio espacial James Webb está compuesto por 18 segmentos hexagonales.
La Francia metropolitana tiene una forma vagamente hexagonal. En francés, l'Hexagone se refiere al continente europeo de Francia.
Cristal de Hanksita hexagonal , uno de los muchos minerales del sistema de cristal hexagonal
Granero hexagonal
The Hexagon , un teatro hexagonal en Reading, Berkshire.
El ajedrez hexagonal de Władysław Gliński
Pabellón en los jardines botánicos de Taiwán
Ventana hexagonal

Ver también

24 celdas : una figura de cuatro dimensiones que, como el hexágono, tiene facetas ortoplexas , es auto-dual y tesela el espacio euclidiano.
Sistema de cristal hexagonal
Número hexagonal
Mosaico hexagonal : un mosaico regular de hexágonos en un plano
Hexagrama : estrella de seis lados dentro de un hexágono regular
Hexagrama unicursal : camino único, estrella de seis lados, dentro de un hexágono
Conjetura de panal
Havannah : juego de mesa abstracto jugado en una cuadrícula hexagonal de seis lados

Referencias

^ Wenninger, Magnus J. (1974), Modelos de poliedros , Cambridge University Press, p. 9, ISBN 9780521098595, archivado desde el original el 2 de enero de 2016 , consultado el 6 de noviembre de 2015.
↑ a b Meskhishvili, Mamuka (2020). "Promedios cíclicos de polígonos regulares y sólidos platónicos" . Comunicaciones en Matemáticas y Aplicaciones . 11 : 335–355.
^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono págs. 275- 278)
^ Coxeter , Recreaciones y ensayos matemáticos, decimotercera edición, p.141
^ Cartensen, Jens, "Acerca de los hexágonos", Mathematical Spectrum 33 (2) (2000-2001), 37-40.
^ Dergiades, Nikolaos (2014). "Teorema de Dao en seis circuncentros asociados con un hexágono cíclico" . Foro Geometricorum . 14 : 243–246. Archivado desde el original el 5 de diciembre de 2014 . Consultado el 17 de noviembre de 2014 .
^ Johnson, Roger A., Geometría euclidiana avanzada , Publicaciones de Dover, 2007 (orig. 1960).
^ Gutiérrez, Antonio, "Hexágono, círculo inscrito, tangente, semiperímetro", [1] Archivado el 11 de mayo de2012 en la Wayback Machine , consultado el17 de abril de 2012.
^ Dao Thanh Oai (2015). "Triángulos equiláteros y perspectores de Kiepert en números complejos" . Foro Geometricorum . 15 : 105-114. Archivado desde el original el 5 de julio de 2015 . Consultado el 12 de abril de 2015 .
^ Desigualdades propuestas en " Crux Mathematicorum " , [2] Archivado el 30 de agosto de 2017 en la Wayback Machine .

enlaces externos

Busque hexágono en Wikcionario, el diccionario gratuito.

Weisstein, Eric W. "Hexágono" . MathWorld .

Es posible que el uso de enlaces externos en este artículo no siga las políticas o pautas de Wikipedia . Por favor , mejorar este artículo mediante la eliminación de excesivas o inapropiadas enlaces externos, y la conversión de enlaces útiles en su caso en las referencias de nota al pie . ( Noviembre de 2017 ) ( Obtenga información sobre cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

Definición y propiedades de un hexágono con animación interactiva y construcción con brújula y regla .
Una introducción a la geometría hexagonal en Hexnet, un sitio web dedicado a las matemáticas hexagonales.
Cassini imagina un extraño hexágono en Saturno
El extraño hexágono de Saturno
Una característica hexagonal alrededor del Polo Norte de Saturno
"Bizarre Hexagon Spotted on Saturno" - de Space.com (27 de marzo de 2007)

v t mi Politopos regulares y uniformes convexos fundamentales en dimensiones 2–10
Familia	Un n	B n	Yo ₂ (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Polígono regular	Triángulo	Cuadrado	p-gon	Hexágono	Pentágono
Poliedro uniforme	Tetraedro	Octaedro • Cubo	Demicubo		Dodecaedro • Icosaedro
Policoron uniforme	Pentacoron	16 celdas • Tesseract	Demitesseract	24 celdas	120 celdas • 600 celdas
5 politopos uniformes	5 simplex	5-ortoplex • 5-cubo	5-demicubo
6 politopos uniformes	6-simplex	6 ortoplex • 6 cubos	6-demicubo	1 22 • 2 21
7 politopos uniformes	7-simplex	7-ortoplex • 7-cubo	7-demicubo	1 32 • 2 31 • 3 21
Politopo uniforme de 8	8 simplex	8 ortoplex • 8 cubos	8-demicubo	1 42 • 2 41 • 4 21
9 politopos uniformes	9 simplex	9-ortoplex • 9-cubo	9-demicubo
Politopo uniforme 10	10-simplex	10-ortoplex • 10-cubo	10-demicubo
Uniforme n - politopo	n - simplex	n - ortoplejo • n - cubo	n - demicube	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - politopo pentagonal
Temas: familias Polytope • politopo regular • Lista de politopos regulares y compuestos

[1] Wenninger, Magnus J. (1974), Modelos de poliedros , Cambridge University Press, p. 9, ISBN 9780521098595, archivado desde el original el 2 de enero de 2016 , consultado el 6 de noviembre de 2015.

[Mamuka-2] Meskhishvili, Mamuka (2020). "Promedios cíclicos de polígonos regulares y sólidos platónicos" . Comunicaciones en Matemáticas y Aplicaciones . 11 : 335–355.

[3] John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono págs. 275- 278)

[4] Coxeter , Recreaciones y ensayos matemáticos, decimotercera edición, p.141

[5] Cartensen, Jens, "Acerca de los hexágonos", Mathematical Spectrum 33 (2) (2000-2001), 37-40.

[6] Dergiades, Nikolaos (2014). "Teorema de Dao en seis circuncentros asociados con un hexágono cíclico" . Foro Geometricorum . 14 : 243–246. Archivado desde el original el 5 de diciembre de 2014 . Consultado el 17 de noviembre de 2014 .

[Johnson-7] Johnson, Roger A., Geometría euclidiana avanzada , Publicaciones de Dover, 2007 (orig. 1960).

[8] Gutiérrez, Antonio, "Hexágono, círculo inscrito, tangente, semiperímetro", [1] Archivado el 11 de mayo de2012 en la Wayback Machine , consultado el17 de abril de 2012.

[9] Dao Thanh Oai (2015). "Triángulos equiláteros y perspectores de Kiepert en números complejos" . Foro Geometricorum . 15 : 105-114. Archivado desde el original el 5 de julio de 2015 . Consultado el 12 de abril de 2015 .

[Crux-10] Desigualdades propuestas en " Crux Mathematicorum " , [2] Archivado el 30 de agosto de 2017 en la Wayback Machine .

[1]