El lema de Shapiro

En matemáticas , especialmente en las áreas de álgebra abstracta que se ocupan de la cohomología de grupo o el álgebra homológica relativa, el lema de Shapiro , también conocido como el lema de Eckmann-Shapiro , relaciona las extensiones de los módulos sobre un anillo con las extensiones sobre otro, especialmente el anillo grupal de un grupo. y de un subgrupo . Por tanto, relaciona la cohomología de grupo con respecto a un grupo con la cohomología con respecto a un subgrupo. El lema de Shapiro lleva el nombre de Arnold Shapiro, quien lo demostró en 1961; ^[1] sin embargo, Beno Eckmann lo había descubierto antes, en 1953.^[2]

Declaración para anillos

Sea R → S un homomorfismo de anillo , de modo que S se convierta en un módulo R izquierdo y derecho . Sea M un módulo S izquierdo y N un módulo R izquierdo . Por restricción de escalares, M también es un módulo R izquierdo .

Si S es proyectivo como un módulo R derecho , entonces:

{\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (N, {} _ {R} M) \ cong \ operatorname {Ext} _ {S} ^ {n} (S \ otimes _ {R} NUEVO MÉJICO)}

Si S es proyectivo como un módulo R izquierdo , entonces:

{\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} ({} _ {R} M, N) \ cong \ operatorname {Ext} _ {S} ^ {n} (M, \ operatorname {Hom} _ {R} (S, N))}

Ver ( Benson 1991 , p. 47). Las condiciones de proyectividad pueden debilitarse en condiciones de desaparición de ciertos grupos Tor o Ext: ver ( Cartan y Eilenberg 1956 , p. 118, VI.§5).

Declaración para anillos de grupo

Cuando H es un subgrupo de índice finito en G , entonces el anillo de grupo R [ G ] se genera finitamente proyectivo como un módulo R [ H ] izquierdo y derecho , por lo que el teorema anterior se aplica de una manera simple. Deje que M sea una representación de dimensión finita de G y N una representación de dimensión finita de H . En este caso, el módulo S ⊗ _R N se denomina representación inducida de N de H a G , y _RM se llama la representación restringida de M de G a H . Uno tiene eso:

{\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {G} ^ {n} (M, N \ uparrow _ {H} ^ {G}) \ cong \ operatorname {Ext} _ {H} ^ {n} (M \ downarrow _ {H} ^ {G}, N)}

Cuando n = 0, esto se denomina reciprocidad de Frobenius para módulos completamente reducibles y reciprocidad de Nakayama en general. Ver ( Benson 1991 , p. 42), que también contiene estas versiones superiores de la descomposición de Mackey.

Declaración para la cohomología de grupo

La especialización de M para que sea el módulo trivial produce el lema familiar de Shapiro. Deje H un subgrupo de G y N una representación de H . Para N ^G la representación inducida de N de H a G usando el producto tensorial , y para H _* la homología de grupo :

H _* ( G , N ^G ) = H _* ( H , N )

De manera similar, para N ^G la representación coinducida de N de H a G usando el functor Hom , y para H ^* la cohomología de grupo :

H ^* ( G , N ^G ) = H ^* ( H , N )

Cuando H es un índice finito en G , entonces las representaciones inducidas y coinducidas coinciden y el lema es válido tanto para la homología como para la cohomología.

Ver ( Weibel 1994 , p. 172).

Notas

^ Kolchin, Ellis Robert (1973), Álgebra diferencial y grupos algebraicos , Matemáticas puras y aplicadas, 54 , Academic Press, p. 53, ISBN 978-0-12-417650-8.
^ Monod, Nicolas (2001), "Técnicas cohomológicas", Cohomología delimitada continua de grupos localmente compactos , Lectures Notes in Mathematics, 1758 , Springer-Verlag, págs. 129-168, doi : 10.1007 / 3-540-44962-0_5 , ISBN 978-3-540-42054-5.

Referencias

Benson, DJ (1991), Representaciones y cohomología. Yo , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 30 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36134-7, MR 1110581
Cartan, H .; Eilenberg, S. (1956), Álgebra homológica , Princeton University Press
Eckmann, Beno (1953), "Cohomology of groups and transfer", Annals of Mathematics , 2nd ser., 58 (3): 481–493, doi : 10.2307 / 1969749 , JSTOR 1969749 , MR 0058600.
Página 59 de Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , 323 , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196 , Zbl 0.948,11001
Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 38 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55987-4. Señor 1269324 . OCLC 36131259 .

[1] Kolchin, Ellis Robert (1973), Álgebra diferencial y grupos algebraicos , Matemáticas puras y aplicadas, 54 , Academic Press, p. 53, ISBN 978-0-12-417650-8.

[2] Monod, Nicolas (2001), "Técnicas cohomológicas", Cohomología delimitada continua de grupos localmente compactos , Lectures Notes in Mathematics, 1758 , Springer-Verlag, págs. 129-168, doi : 10.1007 / 3-540-44962-0_5 , ISBN 978-3-540-42054-5.

[1]