En la teoría de grupos , la restricción forma una representación de un subgrupo utilizando una representación conocida de todo el grupo . La restricción es una construcción fundamental en la teoría de la representación de grupos. A menudo, la representación restringida es más sencilla de comprender. Las reglas para descomponer la restricción de una representación irreducible en representaciones irreductibles del subgrupo se denominan reglas de ramificación y tienen aplicaciones importantes en física . Por ejemplo, en caso de ruptura explícita de la simetría , el grupo de simetría del problema se reduce de todo el grupo a uno de sus subgrupos. Enmecánica cuántica , esta reducción en la simetría aparece como una división de niveles de energía degenerados en multipletes , como en el efecto Stark o Zeeman .
La representación inducida es una operación relacionada que forma una representación de todo el grupo a partir de una representación de un subgrupo. La relación entre restricción e inducción se describe mediante la reciprocidad de Frobenius y el teorema de Mackey. La restricción a un subgrupo normal se comporta particularmente bien y a menudo se llama teoría de Clifford por el teorema de AH Clifford. [1] La restricción se puede generalizar a otros homomorfismos de grupo y a otros anillos .
Para cualquier grupo G , su subgrupo H , y una representación lineal ρ de G , la restricción de ρ a H , denotada
es una representación de H en el mismo espacio vectorial por los mismos operadores:
Reglas clásicas de ramificación
Las reglas clásicas de ramificación describen la restricción de una representación compleja irreductible ( π , V ) de un grupo clásico G a un subgrupo clásico H , es decir, la multiplicidad con la que se produce una representación irreducible ( σ , W ) de H en π . Por reciprocidad de Frobenius para grupos compactos , esto equivale a encontrar la multiplicidad de π en la representación unitaria inducida por σ. Las reglas de ramificación para los grupos clásicos fueron determinadas por
- Weyl (1946) entre sucesivos grupos unitarios ;
- Murnaghan (1938) entre sucesivos grupos ortogonales especiales y grupos simplécticos unitarios ;
- Littlewood (1950) desde los grupos unitarios hasta los grupos simplécticos unitarios y los grupos ortogonales especiales.
Los resultados generalmente se expresan gráficamente utilizando diagramas de Young para codificar las firmas utilizadas clásicamente para etiquetar representaciones irreducibles, familiares de la teoría invariante clásica . Hermann Weyl y Richard Brauer descubrieron un método sistemático para determinar la regla de ramificación cuando los grupos G y H comparten un toro máximo común : en este caso, el grupo de Weyl de H es un subgrupo del de G , por lo que la regla se puede deducir de la fórmula del carácter de Weyl . [2] [3] Howe (1995) ha dado una interpretación moderna sistemática en el contexto de su teoría de los pares duales . El caso especial donde σ es la representación trivial de H se utilizó primero ampliamente por Hua en su trabajo en la Szegő núcleos de dominios simétricos acotadas en varias variables complejas , donde el límite Shilov tiene la forma G / H . [4] [5] Más generalmente, el teorema de Cartan-Helgason da la descomposición cuando G / H es un espacio simétrico compacto, en cuyo caso todas las multiplicidades son una; [6] Desde entonces, Kostant (2004) ha obtenido una generalización a σ arbitraria . Knapp (2005) también ha utilizado consideraciones geométricas similares para rederivar las reglas de Littlewood, que involucran las célebres reglas de Littlewood-Richardson para tensar las representaciones irreductibles de los grupos unitarios. Littelmann (1995) ha encontrado generalizaciones de estas reglas a grupos de Lie compactos arbitrarios semisimples, utilizando su modelo de trayectoria , un enfoque de la teoría de la representación cercano en espíritu a la teoría de las bases cristalinas de Lusztig y Kashiwara . Sus métodos producen reglas de ramificación para restricciones a subgrupos que contienen un toro máximo. El estudio de las reglas de ramificación es importante en la teoría invariante clásica y su contraparte moderna, la combinatoria algebraica . [7] [8]
Ejemplo . El grupo unitario U ( N ) tiene representaciones irreductibles etiquetadas por firmas
donde f i son números enteros. De hecho, si una matriz unitaria U tiene valores propios z i , entonces el carácter de la representación irreducible correspondiente π f viene dado por
La regla de ramificación de U ( N ) a U ( N - 1) establece que
Ejemplo . El grupo simpléctico unitario o grupo unitario cuaterniónico , denominado Sp ( N ) o U ( N , H ), es el grupo de todas las transformaciones de H N que conmutan con multiplicación derecha por los cuaterniones H y conservan el producto interno hermitiano valorado en H
en H N , donde q * denota el cuaternión conjugado con q . Al darse cuenta de los cuaterniones como matrices complejas de 2 x 2, el grupo Sp ( N ) es solo el grupo de matrices de bloques ( q ij ) en SU (2 N ) con
donde α ij y β ij son números complejos .
Cada matriz U en Sp ( N ) se conjuga a una matriz diagonal de bloque con entradas
donde | z i | = 1. Por tanto, los valores propios de U son ( z i ± 1 ). Las representaciones irreductibles de Sp ( N ) están etiquetadas con firmas
donde f i son números enteros. El carácter de la correspondiente representación irreductible σ f viene dado por [9]
La regla de ramificación de Sp ( N ) a Sp ( N - 1) establece que [10]
Aquí f N + 1 = 0 y la multiplicidad m ( f , g ) está dada por
dónde
es el reordenamiento no creciente de los 2 N números enteros no negativos ( f i ), ( g j ) y 0.
Ejemplo . La ramificación de U (2 N ) a Sp ( N ) se basa en dos identidades de Littlewood : [11] [12] [13] [14]
donde Π f , 0 es la representación irreducible de U (2 N ) con firma f 1 ≥ ··· ≥ f N ≥ 0 ≥ ··· ≥ 0.
donde f i ≥ 0.
La regla de ramificación de U (2 N ) a Sp ( N ) viene dada por
donde todas las firmas son no negativas y el coeficiente M ( g , h ; k ) es la multiplicidad de la representación irreducible π k de U ( N ) en el producto tensorial π g π h . Se da combinatoriamente por la regla de Littlewood-Richardson, el número de permutaciones de celosía del diagrama de sesgo k / h de peso g . [8]
Hay una extensión de la regla de ramificación de Littelwood a firmas arbitrarias debido a Sundaram (1990 , p. 203). Los coeficientes de Littlewood-Richardson M ( g , h ; f ) se extienden para permitir que la firma f tenga 2 N partes pero restringiendo g para que tenga longitudes de columna pares ( g 2 i - 1 = g 2 i ). En este caso, la fórmula dice
donde M N ( g , h ; f ) cuenta el número de permutaciones de celosía de f / h de peso g para las cuales 2 j + 1 aparece no menor que la fila N + j de f para 1 ≤ j ≤ | g | / 2.
Ejemplo . El grupo ortogonal especial SO ( N ) tiene representaciones ordinarias y de espín irreductibles etiquetadas por firmas [2] [7] [15] [16]
- para N = 2 n ;
- para N = 2 n +1.
Las f i se toman en Z para representaciones ordinarias y en ½ + Z para representaciones de espín. De hecho, si una matriz ortogonal U tiene valores propios z i ± 1 para 1 ≤ i ≤ n , entonces el carácter de la representación irreducible correspondiente π f viene dado por
para N = 2 n y por
para N = 2 n +1.
Las reglas de ramificación de SO ( N ) a SO ( N - 1) establecen que [17]
para N = 2 n + 1 y
para N = 2 n , donde las diferencias f i - g i deben ser números enteros.
Base Gelfand-Tsetlin
Dado que las reglas de ramificación de U ( N ) a U ( N - 1) o SO ( N ) a SO ( N - 1) tienen multiplicidad uno, los sumandos irreductibles correspondientes a N cada vez más pequeños terminarán eventualmente en subespacios unidimensionales. De esta manera, Gelfand y Tsetlin pudieron obtener una base de cualquier representación irreducible de U ( N ) o SO ( N ) marcada por una cadena de firmas intercaladas, llamado patrón Gelfand-Tsetlin . En Želobenko (1973) se dan fórmulas explícitas para la acción del álgebra de Lie sobre la base de Gelfand-Tsetlin .
Para el grupo clásico restante Sp ( N ), la ramificación ya no está libre de multiplicidad, de modo que si V y W son representación irreductible de Sp ( N - 1) y Sp ( N ) el espacio de los entrelazados Hom Sp ( N - 1) ( V , W ) puede tener una dimensión mayor que uno. Resulta que el Yangian Y (2 ), un álgebra de Hopf introducida por Ludwig Faddeev y colaboradores , actúa irreductiblemente sobre este espacio de multiplicidad, hecho que permitió a Molev (2006) extender la construcción de bases Gelfand-Tsetlin a Sp ( N ). [18]
Teorema de clifford
En 1937 Alfred H. Clifford demostró el siguiente resultado sobre la restricción de representaciones irreductibles de dimensión finita de un grupo G a un subgrupo normal N de índice finito : [19]
Teorema . Sea π : G GL ( n , K ) sea una representación irreducible con K un campo . Entonces, la restricción de π a N se rompe en una suma directa de representaciones irreductibles desiguales de N de dimensiones iguales. Estas representaciones irreducibles de N se encuentran en una órbita para la acción de G por conjugación en las clases de equivalencia de representaciones irreducibles de N . En particular, el número de sumandos distintos no es mayor que el índice de N en G .
Veinte años más tarde, George Mackey encontró una versión más precisa de este resultado para la restricción de representaciones unitarias irreductibles de grupos localmente compactos a subgrupos normales cerrados en lo que se conoce como la "máquina de Mackey" o "análisis de subgrupos normales de Mackey". [20]
Entorno algebraico abstracto
Desde el punto de vista de la teoría de categorías , la restricción es un ejemplo de un functor olvidadizo . Este funtor es exacto y su funtor adjunto a la izquierda se llama inducción . La relación entre restricción e inducción en varios contextos se llama reciprocidad de Frobenius. En conjunto, las operaciones de inducción y restricción forman un poderoso conjunto de herramientas para analizar representaciones. Esto es especialmente cierto cuando las representaciones tienen la propiedad de reducibilidad completa , por ejemplo, en la teoría de la representación de grupos finitos sobre un campo de característica cero .
Generalizaciones
Esta construcción bastante evidente puede extenderse de numerosas y significativas formas. Por ejemplo, podemos tomar cualquier homomorfismo de grupo φ de H a G , en lugar del mapa de inclusión , y definir la representación restringida de H por la composición
También podemos aplicar la idea a otras categorías en álgebra abstracta : álgebras asociativas , anillos, álgebras de Lie , superálgebras Lie , álgebras de Hopf para nombrar algunos. Las representaciones o módulos se restringen a subobjetos o mediante homomorfismos.
Notas
- ^ Weyl 1946 , págs. 159-160.
- ↑ a b Weyl, 1946
- ^ Želobenko 1963
- ^ Helgason 1978
- ↑ Hua 1963
- ^ Helgason 1984 , págs. 534–543
- ^ a b Goodman y Wallach 1998
- ↑ a b Macdonald, 1979
- ↑ Weyl , 1946 , pág. 218
- ^ Goodman y Wallach 1998 , págs. 351–352,365–370
- ^ Littlewood 1950
- ↑ Weyl , 1946 , págs. 216–222.
- ^ Koike y Terada 1987
- ^ Macdonald 1979 , p. 46
- ^ Littelwood 1950 , págs. 223-263.
- ↑ Murnaghan, 1938
- ^ Goodman y Wallach , p. 351
- ^ GI Olshanski había demostrado que el retorcido Yangian, un álgebra sub-Hopf de , actúa de forma natural en el espacio de los entrelazados. Sus representaciones naturales irreductibles corresponden a productos tensoriales de la composición de evaluaciones puntuales con representaciones irreductibles de2 . Estos se extienden al Yangian y dar una explicación teórica de la representación de la forma del producto de los coeficientes de ramificación.
- ^ Weyl 1946 , págs. 159-160, 311
- ^ Mackey, George W. (1976), La teoría de las representaciones de grupos unitarios , Chicago Lectures in Mathematics, ISBN 978-0-226-50052-2
Referencias
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- Helgason, Sigurdur (1984), Grupos y análisis geométrico: geometría integral, operadores diferenciales invariantes y funciones esféricas , Matemáticas puras y aplicadas, 113 , Academic Press, ISBN 978-0-12-338301-3
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- Howe, Roger ; Tan, Eng-Chye; Willenbring, Jeb F. (2005), "Reglas de ramificación estable para pares simétricos clásicos", Trans. Amer. Matemáticas. Soc. , 357 (4): 1601–1626, doi : 10.1090 / S0002-9947-04-03722-5
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