Variedad diferenciable
En matemáticas, una variedad diferenciable (también variedad diferencial ) es un tipo de variedad que es localmente lo suficientemente similar a un espacio vectorial para permitir que uno haga cálculos . Cualquier variedad puede describirse mediante una colección de gráficos, también conocida como atlas . Luego, se pueden aplicar ideas del cálculo mientras se trabaja dentro de los gráficos individuales, ya que cada gráfico se encuentra dentro de un espacio vectorial al que se aplican las reglas habituales del cálculo. Si los gráficos son adecuadamente compatibles (es decir, la transición de un gráfico a otro es diferenciable ), los cálculos realizados en un gráfico son válidos en cualquier otro gráfico diferenciable.
En términos formales, una variedad diferenciable es una variedad topológica con una estructura diferencial globalmente definida . A cualquier variedad topológica se le puede dar una estructura diferencial localmente usando los homeomorfismos en su atlas y la estructura diferencial estándar en un espacio vectorial. Para inducir una estructura diferencial global sobre los sistemas de coordenadas locales inducidos por los homeomorfismos, sus composicionesen las intersecciones de cartas en el atlas deben ser funciones diferenciables en el espacio vectorial correspondiente. En otras palabras, donde los dominios de los gráficos se superponen, las coordenadas definidas por cada gráfico deben ser diferenciables con respecto a las coordenadas definidas por cada gráfico en el atlas. Los mapas que relacionan entre sí las coordenadas definidas por los distintos gráficos se denominan mapas de transición.
La capacidad de definir una estructura diferencial local de este tipo en un espacio abstracto permite extender la definición de diferenciabilidad a espacios sin sistemas de coordenadas globales. Una estructura diferencial localmente permite definir el espacio tangente diferenciable globalmente , las funciones diferenciables y los campos tensorial y vectorial diferenciables.
Las variedades diferenciables son muy importantes en física . Tipos especiales de variedades diferenciables forman la base de teorías físicas como la mecánica clásica , la relatividad general y la teoría de Yang-Mills . Es posible desarrollar un cálculo para variedades diferenciables. Esto conduce a una maquinaria matemática como el cálculo exterior. El estudio del cálculo de variedades diferenciables se conoce como geometría diferencial.
A la "diferenciabilidad" de una variedad se le han dado varios significados, que incluyen: continuamente diferenciable , k veces diferenciable, suave (que en sí mismo tiene muchos significados) y analítico .
El surgimiento de la geometría diferencial como una disciplina distinta generalmente se atribuye a Carl Friedrich Gauss y Bernhard Riemann . Riemann describió por primera vez las variedades en su famosa conferencia de habilitación ante la facultad de Göttingen . [1] Motivó la idea de una variedad por un proceso intuitivo de variar un objeto dado en una nueva dirección, y describió proféticamente el papel de los sistemas de coordenadas y gráficos en los desarrollos formales posteriores:
