Una función logística o curva logística es una curva en forma de S común ( curva sigmoidea ) con la ecuación
dónde
- , la valor del punto medio del sigmoide;
- , el valor máximo de la curva;
- , la tasa de crecimiento logístico o la pendiente de la curva. [1]
Para valores de en el dominio de los números reales de a , se obtiene la curva S que se muestra a la derecha, con la gráfica de que se acerca como enfoques y acercándose a cero como enfoques .
La función logística encuentra aplicaciones en una variedad de campos, que incluyen biología (especialmente ecología ), biomatemática , química , demografía , economía , geociencia , psicología matemática , probabilidad , sociología , ciencias políticas , lingüística , estadística y redes neuronales artificiales . Una generalización de la función logística es la función hyperbolastic de tipo I .
Historia
La función logística fue introducida en una serie de tres trabajos de Pierre François Verhulst entre 1838 y 1847, quien la ideó como un modelo de crecimiento poblacional ajustando el modelo de crecimiento exponencial , bajo la guía de Adolphe Quetelet . [2] Verhulst ideó por primera vez la función a mediados de la década de 1830, publicando una breve nota en 1838, [1] luego presentó un análisis ampliado y nombró la función en 1844 (publicado en 1845); [a] [3] el tercer artículo ajustó el término de corrección en su modelo de crecimiento de la población belga. [4]
La etapa inicial de crecimiento es aproximadamente exponencial (geométrica); luego, cuando comienza la saturación, el crecimiento se ralentiza a lineal (aritmética) y, en la madurez, se detiene. Verhulst no explicó la elección del término "logístico" (francés: logistique ), pero presumiblemente contrasta con la curva logarítmica , [5] [b] y por analogía con la aritmética y la geometría. Su modelo de crecimiento está precedido por una discusión del crecimiento aritmético y el crecimiento geométrico (cuya curva él llama una curva logarítmica , en lugar del término moderno curva exponencial ), y por lo tanto, el "crecimiento logístico" se llama presumiblemente por analogía, siendo logístico del griego antiguo : λογῐστῐκός , romanizado : logistikós , una división tradicional de las matemáticas griegas . [c] El término no está relacionado con el término logístico militar y administrativo , que en cambio es del francés : logis "hospedaje", aunque algunos creen que el término griego también influyó en la logística ; ver Logística § Origen para más detalles.
Propiedades matematicas
La La función logística estándar es la función logística con parámetros., , , cuyos rendimientos
En la práctica, debido a la naturaleza de la función exponencial , a menudo es suficiente calcular la función logística estándar para sobre un pequeño rango de números reales, como un rango contenido en [−6, +6], ya que rápidamente converge muy cerca de sus valores de saturación de 0 y 1.
La función logística tiene la propiedad de simetría que
Por lo tanto, es una función extraña .
La función logística es una función tangente hiperbólica escalada y compensada :
o
Esto se sigue de
Derivado
La función logística estándar tiene una derivada que se calcula fácilmente . La derivada se conoce como distribución logística :
Integral
Por el contrario, su antiderivada se puede calcular mediante la sustitución , desde , entonces (descartando la constante de integración )
En las redes neuronales artificiales , esto se conoce como función softplus y (con escalamiento) es una aproximación suave de la función de rampa , al igual que la función logística (con escalamiento) es una aproximación suave de la función escalonada de Heaviside .
Ecuación diferencial logística
La función logística estándar es la solución de la ecuación diferencial ordinaria no lineal de primer orden simple
con condición de contorno . Esta ecuación es la versión continua del mapa logístico . Tenga en cuenta que la función logística recíproca es la solución de una ecuación diferencial ordinaria lineal simple de primer orden . [6]
El comportamiento cualitativo se comprende fácilmente en términos de la línea de fase : la derivada es 0 cuando la función es 1; y la derivada es positiva para entre 0 y 1, y negativo para por encima de 1 o menos de 0 (aunque las poblaciones negativas generalmente no concuerdan con un modelo físico). Esto produce un equilibrio inestable en 0 y un equilibrio estable en 1 y, por lo tanto, para cualquier valor de función mayor que 0 y menor que 1, crece a 1.
La ecuación logística es un caso especial de la ecuación diferencial de Bernoulli y tiene la siguiente solución:
Elegir la constante de integración da la otra forma bien conocida de la definición de la curva logística:
Más cuantitativamente, como se puede ver en la solución analítica, la curva logística muestra un crecimiento exponencial temprano para el argumento negativo, que se ralentiza al crecimiento lineal de la pendiente 1/4 para un argumento cercano a 0, luego se acerca a 1 con una brecha que decae exponencialmente.
La función logística es la inversa de la función logit natural y, por lo tanto, se puede usar para convertir el logaritmo de las probabilidades en una probabilidad . En notación matemática, la función logística se escribe a veces como expit [7] en la misma forma que logit . La conversión de la razón logarítmica de verosimilitud de dos alternativas también toma la forma de una curva logística.
La ecuación diferencial derivada anteriormente es un caso especial de una ecuación diferencial general que solo modela la función sigmoidea para . En muchas aplicaciones de modelado, la forma más general [8]
puede ser deseable. Su solución es el sigmoide desplazado y escalado..
La relación hiperbólico-tangente conduce a otra forma para la derivada de la función logística:
que vincula la función logística con la distribución logística .
Simetría rotacional sobre (0, 1/2)
La suma de la función logística y su reflexión sobre el eje vertical, , es
Por tanto, la función logística es rotacionalmente simétrica con respecto al punto (0, 1/2). [9]
Aplicaciones
Link [10] creó una extensión de la teoría de análisis secuencial de Wald a una acumulación libre de distribución de variables aleatorias hasta que primero se iguale o se exceda un límite positivo o negativo. Link [11] deriva la probabilidad de igualar o exceder primero el límite positivo como, la función Logística. Ésta es la primera prueba de que la función Logística puede tener como base un proceso estocástico. Link [12] proporciona un siglo de ejemplos de resultados experimentales "logísticos" y una relación recién derivada entre esta probabilidad y el tiempo de absorción en los límites.
En ecología: modelización del crecimiento de la población
Una aplicación típica de la ecuación logística es un modelo común de crecimiento de la población (ver también dinámica de la población ), originalmente debido a Pierre-François Verhulst en 1838, donde la tasa de reproducción es proporcional tanto a la población existente como a la cantidad de recursos disponibles, en igualdad de condiciones. La ecuación Verhulst fue publicado después de Verhulst había leído Thomas Malthus " Ensayo sobre el principio de la población , que describe el modelo de crecimiento de Malthus de crecimiento exponencial sencilla (sin restricciones). Verhulst derivó su ecuación logística para describir el crecimiento autolimitado de una población biológica . La ecuación fue redescubierta en 1911 por AG McKendrick para el crecimiento de bacterias en caldo y probada experimentalmente usando una técnica para la estimación de parámetros no lineales. [13] La ecuación también se denomina a veces ecuación de Verhulst-Pearl tras su redescubrimiento en 1920 por Raymond Pearl (1879-1940) y Lowell Reed (1888-1966) de la Universidad Johns Hopkins . [14] Otro científico, Alfred J. Lotka derivó la ecuación nuevamente en 1925, llamándola la ley del crecimiento de la población .
Dejando representar el tamaño de la población se utiliza a menudo en ecología) y representan el tiempo, este modelo se formaliza mediante la ecuación diferencial :
donde la constante define la tasa de crecimiento yes la capacidad de carga .
En la ecuación, la tasa de crecimiento inicial sin obstáculos se modela mediante el primer término . El valor de la tarifa representa el aumento proporcional de la población en una unidad de tiempo. Más tarde, a medida que crece la población, el módulo del segundo término (que multiplicado es) llega a ser casi tan grande como el primero, ya que algunos miembros de la población interfieren entre sí compitiendo por algún recurso crítico, como la comida o el espacio vital. Este efecto antagónico se llama cuello de botella y está modelado por el valor del parámetro. La competencia disminuye la tasa de crecimiento combinada, hasta que el valor dedeja de crecer (esto se llama madurez de la población). La solución de la ecuación (con siendo la población inicial) es
dónde
Lo que quiere decir que es el valor límite de : el valor más alto que la población puede alcanzar en un tiempo infinito (o estar cerca de alcanzarlo en un tiempo finito). Es importante destacar que la capacidad de carga se alcanza asintóticamente independientemente del valor inicial., y también en el caso de que .
En ecología, las especies a veces se denominan r {\ Displaystyle r} -estratega o K {\ Displaystyle K} -estratega en función de los procesos selectivos que han dado forma a sus estrategias de historia de vida . Elegir las dimensiones variables para que mide la población en unidades de capacidad de carga, y mide el tiempo en unidades de , da la ecuación diferencial adimensional
Capacidad de carga variable en el tiempo
Dado que las condiciones ambientales influyen en la capacidad de carga, como consecuencia, puede variar en el tiempo, con , lo que lleva al siguiente modelo matemático:
Un caso particularmente importante es el de la capacidad de carga que varía periódicamente con el período. :
Se puede demostrar [ cita requerida ] que en tal caso, independientemente del valor inicial, tenderá a una solución periódica única , cuyo período es .
Un valor típico de es un año: en tal caso puede reflejar variaciones periódicas de las condiciones meteorológicas.
Otra generalización interesante es considerar que la capacidad de carga es una función de la población en un momento anterior, capturando un retraso en la forma en que la población modifica su entorno. Esto conduce a una ecuación de retardo logístico, [15] que tiene un comportamiento muy rico, con biestabilidad en algún rango de parámetros, así como una caída monótona a cero, crecimiento exponencial suave, crecimiento ilimitado puntuado (es decir, múltiples formas en S), crecimiento puntuado o alternancia a un nivel estacionario, aproximación oscilatoria a un nivel estacionario, oscilaciones sostenibles, singularidades de tiempo finito así como muerte de tiempo finito.
En estadística y aprendizaje automático
Las funciones logísticas se utilizan en varios roles en estadística. Por ejemplo, son la función de distribución acumulativa de la familia logística de distribuciones y, un poco simplificadas, se utilizan para modelar la posibilidad que tiene un jugador de ajedrez de vencer a su oponente en el sistema de clasificación Elo . A continuación se muestran ejemplos más específicos.
Regresión logística
Las funciones logísticas se utilizan en regresión logística para modelar cómo la probabilidadde un evento puede verse afectado por una o más variables explicativas : un ejemplo sería tener el modelo
dónde es la variable explicativa, y son los parámetros del modelo que se van a ajustar, y es la función logística estándar.
La regresión logística y otros modelos log-lineales también se usan comúnmente en el aprendizaje automático . Una generalización de la función logística a múltiples entradas es la función de activación softmax , utilizada en la regresión logística multinomial .
Otra aplicación de la función logística se encuentra en el modelo de Rasch , utilizado en la teoría de respuesta al ítem . En particular, el modelo de Rasch forma una base para la estimación de máxima verosimilitud de las ubicaciones de objetos o personas en un continuo , basado en colecciones de datos categóricos, por ejemplo, las habilidades de las personas en un continuo basado en respuestas que han sido categorizadas como correctas y incorrecto.
Redes neuronales
Las funciones logísticas se utilizan a menudo en redes neuronales para introducir no linealidad en el modelo o para sujetar señales dentro de un intervalo específico . Un elemento de red neuronal popular calcula una combinación lineal de sus señales de entrada y aplica una función logística limitada como función de activación al resultado; este modelo puede verse como una variante "suavizada" de la neurona umbral clásica .
Una opción común para la activación o "aplastamiento" funciones, usadas para el clip para grandes magnitudes para mantener la respuesta de la red neuronal limitada [16] es
que es una función logística.
Estas relaciones dan como resultado implementaciones simplificadas de redes neuronales artificiales con neuronas artificiales . Los médicos advierten que las funciones sigmoidales que son antisimétricas con respecto al origen (por ejemplo, la tangente hiperbólica ) conducen a una convergencia más rápida cuando se entrenan redes con retropropagación . [17]
La función logística es en sí misma la derivada de otra función de activación propuesta, el softplus .
En medicina: modelado del crecimiento de tumores
Otra aplicación de la curva logística es en medicina, donde la ecuación diferencial logística se usa para modelar el crecimiento de tumores. Esta aplicación puede considerarse una extensión del uso mencionado anteriormente en el marco de la ecología (ver también la curva logística generalizada , que permite más parámetros). Denotando con el tamaño del tumor en el momento , su dinámica se rige por
que es del tipo
dónde es la tasa de proliferación del tumor.
Si se inicia una quimioterapia con un efecto log-kill, la ecuación puede revisarse para ser
dónde es la tasa de mortalidad inducida por la terapia. En el caso idealizado de una terapia muy prolongada, puede modelarse como una función periódica (de período ) o (en caso de terapia de infusión continua) como una función constante, y uno tiene que
es decir, si la tasa de muerte media inducida por la terapia es mayor que la tasa de proliferación inicial, entonces existe la erradicación de la enfermedad. Por supuesto, este es un modelo demasiado simplificado tanto del crecimiento como de la terapia (por ejemplo, no tiene en cuenta el fenómeno de la resistencia clonal).
En medicina: modelado de una pandemia
Un nuevo patógeno infeccioso al que una población no tiene inmunidad generalmente se propagará exponencialmente en las primeras etapas, mientras que el suministro de individuos susceptibles es abundante. El virus SARS-CoV-2 que causa COVID-19 exhibió un crecimiento exponencial temprano en el curso de la infección en varios países a principios de 2020. [18] Muchos factores, que van desde la falta de susceptibles (ya sea a través de la propagación continua de la infección hasta que pase el umbral para la inmunidad colectiva o la reducción en la accesibilidad de los susceptibles a través de medidas de distanciamiento físico), las curvas epidémicas de aspecto exponencial pueden primero linealizarse (replicando la transición "logarítmica" a "logística" señalada por primera vez por Pierre-François Verhulst , como se señaló anteriormente) luego alcance un límite máximo. [19]
Una función logística o funciones relacionadas (por ejemplo, la función de Gompertz ) se utilizan generalmente de manera descriptiva o fenomenológica porque se ajustan bien no solo al aumento exponencial temprano, sino a la eventual nivelación de la pandemia a medida que la población desarrolla una inmunidad colectiva. . Esto contrasta con los modelos reales de pandemias que intentan formular una descripción basada en la dinámica de la pandemia (por ejemplo, tasas de contacto, tiempos de incubación, distanciamiento social, etc.). Sin embargo, se han desarrollado algunos modelos simples que dan una solución logística. [20] [21] [22]
Modelado de la trayectoria de la infección por COVID-19
Una función logística generalizada , también llamada curva de crecimiento de Richards, se usa ampliamente para modelar las trayectorias de infección por COVID-19 . [23] La trayectoria de la infección es una serie de datos diarios para el número acumulado de casos infectados para un sujeto, como país, ciudad, estado, etc. Hay re-parametrizaciones variantes en la literatura: una de las formas más utilizadas es
dónde son números reales, y es un número real positivo. La flexibilidad de la curva se debe al parámetro : (i) si entonces la curva se reduce a la función logística, y (ii) si converge a cero, entonces la curva converge a la función de Gompertz . En modelización epidemiológica,, , y representan el tamaño final de la epidemia, la tasa de infección y la fase de retraso, respectivamente. Consulte el panel de la derecha para ver una trayectoria de infección ejemplar cuando son designados por .
Uno de los beneficios de utilizar la función de crecimiento como la función logística generalizada en el modelado epidemiológico es su expansión relativamente fácil al marco del modelo multinivel mediante el uso de la función de crecimiento para describir las trayectorias de infección de múltiples sujetos (países, ciudades, estados, etc.). Dicho marco de modelado también se puede denominar ampliamente modelo de efectos mixtos no lineal o modelo no lineal jerárquico. Vea la figura de arriba. Un ejemplo del uso de la función logística generalizada en el modelo multinivel bayesiano es el modelo de Richards jerárquico bayesiano .
En química: modelos de reacción
La concentración de reactivos y productos en reacciones autocatalíticas sigue la función logística. La degradación del catalizador de la reacción de reducción de oxígeno (ORR) sin metales del grupo del platino (sin PGM) en los cátodos de las pilas de combustible sigue la función de descomposición logística, [24] lo que sugiere un mecanismo de degradación autocatalítica.
En física: distribución de Fermi-Dirac
La función logística determina la distribución estadística de los fermiones sobre los estados energéticos de un sistema en equilibrio térmico. En particular, es la distribución de las probabilidades de que cada nivel de energía posible esté ocupado por un fermión, según las estadísticas de Fermi-Dirac .
En ciencia de materiales: diagramas de fase
Consulte Unión por difusión .
En lingüística: cambio de idioma
En lingüística, la función logística puede usarse para modelar el cambio de lenguaje : [25] una innovación que al principio es marginal comienza a extenderse más rápidamente con el tiempo, y luego más lentamente a medida que se adopta de manera más universal.
En agricultura: modelización de la respuesta de los cultivos
La curva S logística se puede utilizar para modelar la respuesta del cultivo a los cambios en los factores de crecimiento. Hay dos tipos de funciones de respuesta: curvas de crecimiento positivas y negativas . Por ejemplo, el rendimiento del cultivo puede aumentar al aumentar el valor del factor de crecimiento hasta un cierto nivel (función positiva), o puede disminuir al aumentar los valores del factor de crecimiento (función negativa debido a un factor de crecimiento negativo), situación que requiere una inversión S curva.
En economía y sociología: difusión de innovaciones
La función logística se puede utilizar para ilustrar el progreso de la difusión de una innovación a lo largo de su ciclo de vida.
En Las leyes de la imitación (1890), Gabriel Tarde describe el surgimiento y difusión de nuevas ideas a través de cadenas imitativas. En particular, Tarde identifica tres etapas principales a través de las cuales se difunden las innovaciones: la primera corresponde a los comienzos difíciles, durante los cuales la idea tiene que luchar en un entorno hostil lleno de hábitos y creencias opuestas; el segundo corresponde al despegue propiamente exponencial de la idea, con; finalmente, la tercera etapa es logarítmica, con, y corresponde al momento en que el impulso de la idea se ralentiza gradualmente mientras, simultáneamente, aparecen nuevas ideas oponentes. La situación resultante frena o estabiliza el avance de la innovación, que se acerca a una asíntota.
En un estado soberano , las unidades subnacionales ( estados constituyentes o ciudades) pueden utilizar préstamos para financiar sus proyectos. Sin embargo, esta fuente de financiación suele estar sujeta a estrictas normas legales, así como a las limitaciones de la escasez de la economía , especialmente los recursos que los bancos pueden prestar (debido a su patrimonio o límites de Basilea ). Estas restricciones, que representan un nivel de saturación, junto con una carrera exponencial en una competencia económica por el dinero, crean una difusión de las solicitudes de crédito en las finanzas públicas y la respuesta nacional agregada es una curva sigmoidea . [28]
En la historia de la economía, cuando se introducen nuevos productos hay una intensa cantidad de investigación y desarrollo que conduce a mejoras dramáticas en la calidad y reducciones en los costos. Esto conduce a un período de rápido crecimiento de la industria. Algunos de los ejemplos más famosos son: ferrocarriles, bombillas incandescentes, electrificación , automóviles y viajes en avión. Eventualmente, se agotan las oportunidades de mejora dramática y reducción de costos, el producto o proceso se usa ampliamente con pocos clientes potenciales restantes y los mercados se saturan.
El análisis logístico fue utilizado en artículos por varios investigadores del Instituto Internacional de Análisis de Sistemas Aplicados ( IIASA ). Estos trabajos abordan la difusión de diversas innovaciones, infraestructuras y sustituciones de fuentes de energía y el papel del trabajo en la economía, así como en el largo ciclo económico. Robert Ayres (1989) investigó los ciclos económicos prolongados. [29] Cesare Marchetti publicó sobre largos ciclos económicos y sobre difusión de innovaciones. [30] [31] El libro de Arnulf Grübler (1990) da una descripción detallada de la difusión de las infraestructuras que incluyen canales, ferrocarriles, carreteras y líneas aéreas, mostrando que su difusión siguió curvas de forma logística. [32]
Carlota Pérez utilizó una curva logística para ilustrar el ciclo económico largo ( Kondratiev ) con las siguientes etiquetas: inicio de una era tecnológica como irrupción , el ascenso como frenesí , la rápida construcción como sinergia y la finalización como madurez . [33]
Ver también
- Crecimiento exponencial
- Crecimiento hiperbólico
- Difusión de las innovaciones
- Función logística generalizada
- Curva de Gompertz
- Función escalón Heaviside
- Curva de Hubbert
- Distribución logística
- Mapa logístico
- Regresión logística
- Modelo logístico de transmisión suave
- Logit
- Razón logarítmica de verosimilitud
- Modelo de crecimiento maltusiano
- Dinámica poblacional
- teoría de la selección r / K
- Distribución de Gompertz desplazada
- Punto de inflexión (sociología)
- Rectificador (redes neuronales)
- Fluido cruzado
- Ecuación de Hill (bioquímica)
- Ecuación de Michaelis-Menten
Notas
- ↑ El artículo se presentó en 1844 y se publicó en 1845: "(Lu à la séance du 30 de noviembre de 1844)". "(Leído en la sesión del 30 de noviembre de 1844).", P. 1.
- ^ Verhulst primero se refiere a la progresión aritméticay la progresión geométrica, y se refiere a la curva de crecimiento geométrico como unacurva logarítmica (confusamente, el término moderno es en cambiocurva exponencial , que es la inversa). Luego llama a su curva logística , en contraste con logarítmica , y compara la curva logarítmica y la curva logística en la figura de su artículo.
- ↑ En la Antigua Grecia, λογῐστῐκός se refería al cálculo práctico y la contabilidad, en contraste con ἀριθμητική ( arithmētikḗ ), el estudio teórico o filosófico de los números. De manera confusa, en inglés, la aritmética se refiere al cálculo práctico, aunque se deriva de ἀριθμητική , no λογῐστῐκός . Véase, por ejemplo, Louis Charles Karpinski , Nicomachus of Gerasa: Introduction to Arithmetic (1926) p. 3: "La aritmética está fundamentalmente asociada por los lectores modernos, particularmente por los científicos y matemáticos, con el arte de la computación. Para los antiguos griegos después de Pitágoras , sin embargo, la aritmética era principalmente un estudio filosófico, que no tenía una conexión necesaria con los asuntos prácticos. dio un nombre aparte a la aritmética de los negocios, λογιστική [contabilidad o logística práctica] ... En general, los filósofos y matemáticos de Grecia consideraron indudablemente por debajo de su dignidad tratar de esta rama, que probablemente formaba parte de la instrucción elemental de niños."
Referencias
- ↑ a b Verhulst, Pierre-François (1838). "Aviso sur la loi que la población poursuit dans son accroissement" (PDF) . Correspondencia Mathématique et Physique . 10 : 113-121 . Consultado el 3 de diciembre de 2014 .
- ^ Cramer 2002 , págs. 3-5.
- ^ Verhulst, Pierre-François (1845). "Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la Population " [Investigaciones matemáticas sobre la ley del aumento del crecimiento de la población]. Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles . 18 : 8 . Consultado el 18 de febrero de 2013 .
Nous donnerons le nom de logistique à la courbe [Daremos el nombre de logística a la curva]
- ^ Verhulst, Pierre-François (1847). "Deuxième mémoire sur la loi d'accroissement de la Population" . Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique . 20 : 1–32 . Consultado el 18 de febrero de 2013 .
- ^ Shulman, Bonnie (1998). "Math-alive! Utilizando fuentes originales para enseñar matemáticas en contexto social" . PRIMUS . 8 (marzo): 1–14. doi : 10.1080 / 10511979808965879 .
El diagrama lo aseguró para mí: hay dos curvas etiquetadas como "Logistique" y "Logarithmique" están dibujadas en los mismos ejes, y se puede ver que hay una región donde coinciden casi exactamente y luego divergen.
Llegué a la conclusión de que la intención de Verhulst al nombrar la curva era, de hecho, sugerir esta comparación, y que "logístico" estaba destinado a transmitir la calidad de "log-like" de la curva. - ^ Kocian, Alexander; Carmassi, Giulia; Cela, Fatjon; Incrocci, Luca; Milazzo, Paolo; Chessa, Stefano (7 de junio de 2020). "Pronóstico de series de tiempo de tipo sigmoide bayesiano con datos faltantes para cultivos de invernadero" . Sensores . 20 (11): 3246. doi : 10.3390 / s20113246 . PMC 7309099 . PMID 32517314 .
- ^ Documentación EXPit para el paquete de R clusterPower .
- ^ Kyurkchiev, Nikolay y Svetoslav Markov. "Funciones sigmoideas: algunos aspectos de aproximación y modelado". Editorial Académica LAP LAMBERT, Saarbrucken (2015).
- ^ Raúl Rojas. Redes neuronales: una introducción sistemática (PDF) . Consultado el 15 de octubre de 2016 .
- ^ SW Link, Psychometrika, 1975, 40, 1, 77-105
- ^ SW Link, atención y rendimiento VII, 1978, 619-630
- ^ SW Link, La teoría ondulatoria de la diferencia y la similitud (libro), Taylor y Francis, 1992
- ^ AG McKendricka; M. Kesava Paia1 (enero de 1912). "XLV. — La tasa de multiplicación de microorganismos: un estudio matemático" . Actas de la Royal Society of Edinburgh . 31 : 649–653. doi : 10.1017 / S0370164600025426 .
- ^ Raymond Pearl & Lowell Reed (junio de 1920). "Sobre la tasa de crecimiento de la población de los Estados Unidos" (PDF) . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 6 (6). pag. 275.
- ^ Yukalov, VI; Yukalova, EP; Sornette, D. (2009). "Evolución puntuada por retraso en la capacidad de carga". Physica D: Fenómenos no lineales . 238 (17): 1752-1767. arXiv : 0901.4714 . Código Bibliográfico : 2009PhyD..238.1752Y . doi : 10.1016 / j.physd.2009.05.011 . S2CID 14456352 .
- ^ Gershenfeld 1999, p. 150.
- ^ LeCun, Y .; Bottou, L .; Orr, G .; Muller, K. (1998). Orr, G .; Muller, K. (eds.). BackProp eficiente (PDF) . Redes neuronales: trucos del oficio . Saltador. ISBN 3-540-65311-2.
- ^ Worldometer: PANDEMIA DE CORONAVIRUS COVID-19
- ^ Villalobos-Arias, Mario (2020). "Utilizando la regresión logística generalizada para pronosticar la población infectada por Covid-19". arXiv : 2004.02406 [ q-bio.PE ].
- ^ Postnikov, Eugene B. (junio de 2020). "Estimación de la dinámica de COVID-19" en el reverso del sobre ": ¿El modelo SIR más simple proporciona parámetros cuantitativos y predicciones?" . Caos, solitones y fractales . 135 : 109841. doi : 10.1016 / j.chaos.2020.109841 . PMC 7252058 . PMID 32501369 .
- ^ Saito, Takesi (junio de 2020). "Una curva logística en el modelo SIR y su aplicación a las muertes por COVID-19 en Japón" . MedRxiv . doi : 10.1101 / 2020.06.25.20139865 . S2CID 220068969 . Consultado el 20 de julio de 2020 .
- ^ Reiser, Paul A. (2020). "Modelo SIR modificado que produce una solución logística". arXiv : 2006.01550 [ q-bio.PE ].
- ^ Lee, Se Yoon; Lei, Bowen; Mallick, Bani (2020). "Estimación de curvas de propagación COVID-19 integrando datos globales e información de préstamo" . PLOS ONE . 15 (7): e0236860. arXiv : 2005.00662 . Código Bibliográfico : 2020PLoSO..1536860L . doi : 10.1371 / journal.pone.0236860 . PMC 7390340 . PMID 32726361 .
- ^ Yin, Xi; Zelenay, Piotr (13 de julio de 2018). "Modelos cinéticos para los mecanismos de degradación de catalizadores de ORR sin PGM" . Transacciones ECS . 85 (13): 1239-1250. doi : 10.1149 / 08513.1239ecst . OSTI 1471365 .
- ^ Bod, Hay, Jennedy (eds.) 2003, págs. 147-156
- ^ Recopilación de datos sobre producción de cultivos y profundidad del nivel freático en el suelo de varios autores. En línea: [1]
- ^ Recopilación de datos sobre producción de cultivos y salinidad del suelo de varios autores. En línea: [2]
- ^ Rocha, Leno S .; Rocha, Frederico SA; Souza, Thársis TP (5 de octubre de 2017). "¿Es el sector público de su país un prestatario de difusión? Evidencia empírica de Brasil" . PLOS ONE . 12 (10): e0185257. arXiv : 1604.07782 . Código bibliográfico : 2017PLoSO..1285257R . doi : 10.1371 / journal.pone.0185257 . ISSN 1932-6203 . PMC 5628819 . PMID 28981532 .
- ^ Ayres, Robert (1989). "Transformaciones tecnológicas y ondas largas" (PDF) . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Marchetti, Cesare (1996). "Ondas largas generalizadas: es la sociedad ciclotímica" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 5 de marzo de 2012. Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Marchetti, Cesare (1988). "Kondratiev Revisited-After One Cycle" (PDF) . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Grübler, Arnulf (1990). Auge y caída de las infraestructuras: dinámica de evolución y cambio tecnológico en el transporte (PDF) . Heidelberg y Nueva York: Physica-Verlag.
- ^ Pérez, Carlota (2002). Revoluciones tecnológicas y capital financiero: la dinámica de las burbujas y la edad de oro . Reino Unido: Edward Elgar Publishing Limited. ISBN 1-84376-331-1.
- Cramer, JS (2002). Los orígenes de la regresión logística (PDF) (Informe técnico). 119 . Instituto Tinbergen. págs. 167-178. doi : 10.2139 / ssrn.360300 .
- Publicado como: Cramer, JS (2004). "Los primeros orígenes del modelo logit". Estudios de Historia y Filosofía de la Ciencia Parte C: Estudios de Historia y Filosofía de las Ciencias Biológicas y Biomédicas . 35 (4): 613–626. doi : 10.1016 / j.shpsc.2004.09.003 .
- Jannedy, Stefanie; Bod, Rens; Hay, Jennifer (2003). Lingüística probabilística . Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 0-262-52338-8.
- Gershenfeld, Neil A. (1999). La naturaleza del modelado matemático . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57095-4.
- Kingsland, Sharon E. (1995). Modelización de la naturaleza: episodios de la historia de la ecología de poblaciones . Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 0-226-43728-0.
- Weisstein, Eric W. "Ecuación logística" . MathWorld .
enlaces externos
- LJ Linacre, ¿Por qué ojiva logística y no curva autocatalítica? , consultado el 12 de septiembre de 2009.
- https://web.archive.org/web/20060914155939/http://luna.cas.usf.edu/~mbrannic/files/regression/Logistic.html
- Weisstein, Eric W. "Función sigmoidea" . MathWorld .
- Experimentos en línea con JSXGraph
- Los eses están en todas partes.
- Ver la curva en S lo es todo.
- Crecimiento logarítmico restringido con inyección