Problemas de Simon

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No confundir con el problema de Simon en complejidad computacional.

En matemáticas, los problemas de Simon (o problemas de Simon ) son una serie de quince preguntas planteadas en el año 2000 por Barry Simon , un físico matemático estadounidense. ^{[1] [2]} Inspirados en otras colecciones de problemas matemáticos y conjeturas abiertas, como la famosa lista de David Hilbert , los problemas de Simon se refieren a operadores cuánticos . ^[3] Ocho de los problemas pertenecen al comportamiento espectral anómalo de los operadores de Schrödinger, y cinco se refieren a operadores que incorporan el potencial de Coulomb . ^[1]

En 2014, Artur Avila ganó una Medalla Fields por su trabajo que incluía la solución de tres problemas de Simon. ^{[4] [5]} Entre ellos estaba el problema de demostrar que el conjunto de niveles de energía de un sistema cuántico abstracto en particular era de hecho el conjunto de Cantor , un desafío conocido como el "Problema de los Diez Martini" después de la recompensa que Mark Kac ofreció por resolverlo. ^{[5] [6]}

La lista de 2000 fue un refinamiento de un conjunto similar de problemas que Simon había planteado en 1984. ^{[7] [8]}

Contexto

Definiciones de fondo para los problemas de las "energías de Coulomb":

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{f}^{(N)}}$es el espacio de funciones sobre las que son antisimétricas en espín y espacio. ^{[1] [ aclaración necesaria ]}${\displaystyle L^{2}({\mathcal {R}}^{2N};{\mathcal {C}}^{3N})}$
• El hamiltoniano lo es . ^{[1] [ aclaración necesaria ]}${\displaystyle {\mathcal {H}}(N,Z):=\sum _{i=1}^{N}(-\Delta _{i}-{\frac {Z}{x_{i}}})+\sum _{i<j}{\frac {1}{|x_{i}-x_{j}|}}}$
• Tenemos . ^{[1] [ aclaración necesaria ]}${\displaystyle E(N,Z):=\min _{{\mathcal {H}}_{f}}H(N,Z)}$
• Definimos como el valor más pequeño de para todos los enteros positivos ; se sabe que ese número siempre existe y siempre está entre y , inclusive. ^[1]${\displaystyle N_{0}(Z)}$${\displaystyle E(N+j,Z)=E(N,Z)}$${\displaystyle j}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle 2Z}$

La lista de 1984

Simon enumeró los siguientes problemas en 1984: ^[7]

No.	Nombre corto	Declaración	Estado	Año resuelto
1er	(a) Casi siempre existencia global para partículas gravitantes newtonianas	(a) Demuestre que el conjunto de condiciones iniciales para las cuales las ecuaciones de Newton no tienen soluciones globales tiene medida cero.	Abierto desde 1984. [7] [ necesita actualización ] En 1977, Saari demostró que esto es cierto para los problemas de 4 cuerpos. [9]	?
	(b) Existencia de singularidades sin colisión en el problema de N-cuerpos newtonianos	Demuestre que hay singularidades no colisionales en el problema de N-cuerpos newtonianos para algunas N y masas adecuadas.	En 1988, Xia dio un ejemplo de una configuración de 5 cuerpos que sufre una singularidad sin colisión. [10] [11] [12] En 1991, Gerver demostró que los problemas de 3n cuerpos en el avión para un valor suficientemente grande de n también experimentan singularidades no colisionales. [13]	1988 [ verificación necesaria ]
2do	(a) Ergodicidad de gases con núcleos blandos	Encuentre potenciales suaves repulsivos para los cuales la dinámica de las partículas N en una caja (con, por ejemplo, potenciales de pared suave) es ergódica.	Abierto a partir de 1984. [ necesita actualización ] El Sinaí demostró una vez que el gas de la esfera dura es ergódico, pero no ha aparecido ninguna prueba completa excepto en el caso de dos partículas y un esquema de tres, cuatro y cinco partículas. [7]	?
	(b) Aproximación al equilibrio	Utilice el escenario anterior para justificar que los sistemas grandes con fuerzas atractivas a distancias adecuadas se acercan al equilibrio, o encuentre un escenario alternativo que no dependa de la ergodicidad estricta en un volumen finito.	Abierto a partir de 1984. [ necesita actualización ]	?
	(c) Abelianismo asintótico para la dinámica cuántica de Heisenberg	Demuestre o refute que el modelo cuántico multidimensional de Heisenberg es asintóticamente abeliano.	Abierto a partir de 1984. [ necesita actualización ]	?
Tercero	Turbulencia y todo eso	Desarrollar una teoría integral del comportamiento a largo plazo de los sistemas dinámicos, incluida una teoría del inicio y de la turbulencia completamente desarrollada.	Abierto a partir de 1984. [ necesita actualización ]	?
Cuarto	(a) Ley de calor de Fourier	Encuentre un modelo mecánico en el que un sistema de tamaño con diferencia de temperatura entre sus extremos tiene una tasa de temperatura de calor que va como en el límite .${\displaystyle L}$${\displaystyle \Delta T}$${\displaystyle L^{-1}}$${\displaystyle L\to \infty }$	Abierto a partir de 1984. [ necesita actualización ]	?
	(b) Fórmula de Kubo	Justifique la fórmula de Kubo en un modelo cuántico o encuentre una teoría alternativa de la conductividad.	Abierto a partir de 1984. [ necesita actualización ]	?
Quinto	(a) Decaimiento exponencial de las correlaciones clásicas de Heisenberg${\displaystyle v=2}$	Considere el modelo clásico bidimensional de Heisenberg. Demuestre que para cualquier beta , las correlaciones decaen exponencialmente a medida que la distancia se acerca al infinito.	Abierto a partir de 1984. [ necesita actualización ]	?
	(b) Fases puras y bajas temperaturas para el modelo clásico de Heisenberg${\displaystyle v\geq 3}$	Demuestre que, en el modelo en beta grande y en dimensión , los estados de equilibrio forman una sola órbita debajo de : la esfera.${\displaystyle D=3}$${\displaystyle v\geq 3}$${\displaystyle SO(3)}$
	(c) GKS para modelos clásicos de Heisenberg	Sean y sean productos finitos de la forma en el modelo. ¿Es cierto eso  ? [ aclaración necesaria ]${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle (\sigma _{\alpha }\cdot \sigma _{\gamma })}$${\displaystyle D=3}$${\displaystyle <fg>_{\Lambda ,\beta }\geq <f>_{\Lambda ,\beta }<g>_{\Lambda ,\beta }}$
	(d) Transiciones de fase en el modelo cuántico de Heisenberg	Demuestre que para una beta grande, el modelo cuántico de Heisenberg tiene un orden de largo alcance.${\displaystyle v\geq 3}$
Sexto	Explicación del ferromagnetismo	Verifique la imagen de Heisenberg del origen del ferromagnetismo (o una alternativa) en un modelo adecuado de un sistema cuántico realista.	Abierto a partir de 1984. [ necesita actualización ]	?
Séptimo	Existencia de transiciones de fase continuas	Demuestre que para elecciones adecuadas de potencial y densidad de pares, la energía libre no está en alguna beta.${\displaystyle C^{1}}$	Abierto a partir de 1984. [ necesita actualización ]	?
Octavo	(a) Formulación del grupo de renormalización	Desarrollar transformaciones de renormalización matemáticamente precisas para sistemas de tipo Ising -dimensionales.${\displaystyle v}$	Abierto a partir de 1984. [ necesita actualización ]	?
	(b) Prueba de universalidad	Demuestre que los exponentes críticos para sistemas de tipo Ising con acoplamiento vecino más cercano pero diferentes fuerzas de enlace en las tres direcciones son independientes de las relaciones de las fuerzas de enlace.
Noveno	(a) Completitud asintótica para sistemas cuánticos de cuerpo N de corto alcance	Demuestre eso . [ aclaración necesaria ]${\displaystyle \oplus ~{\text{Ran}}~\Omega _{a}^{+}=L^{2}(X)}$	Abierto desde 1984. [7] [ necesita actualización ]	?
	(b) Completitud asintótica para potenciales de Coulomb	Supongamos . Demuestre eso . [ aclaración necesaria ]${\displaystyle v=3,V_{ij}(x)=e_{ij}|x|^{-1}}$${\displaystyle \oplus ~{\text{Ran}}~\Omega _{a}^{D,+}=L^{2}(X)}$
Décimo	(a) Monotonicidad de la energía de ionización	(a) Demuestre eso . [ aclaración necesaria ]${\displaystyle (\Delta E)(N-1,Z)\geq (\Delta E)(N,Z)}$	Abierto a partir de 1984. [ necesita actualización ]	?
	(b) La corrección de Scott	Demuestre que existe y es la constante encontrada por Scott. [ aclaración necesaria ]${\displaystyle \lim _{Z\to \infty }(E(Z,Z)-e_{TF}Z^{7/3})/Z^{2}}$
	(c) Ionización asintótica	Encuentre las asintóticas principales de . [ aclaración necesaria ]${\displaystyle (\Delta E)(Z,Z)}$
	(d) Asintóticas de carga ionizada máxima	Demuestre eso . [ aclaración necesaria ]${\displaystyle \lim _{Z\to \infty }N(Z)/Z=1}$
	(e) Tasa de colapso de la materia de Bose	Encuentre adecuado tal que . [ aclaración necesaria ]${\displaystyle C_{1},C_{2},\alpha }$${\displaystyle -C_{1}N^{\alpha }\leq {\tilde {E}}_{B}(N,N;1)\leq C_{2}N^{\alpha }}$
11º	Existencia de cristales	Demuestre una versión adecuada de la existencia de cristales (por ejemplo, existe la opción de minimizar configuraciones que convergen a alguna configuración de celosía infinita).	Abierto a partir de 1984. [ necesita actualización ]	?
12	(a) Existencia de estados extendidos en el modelo de Anderson	Demuestre que en y para pequeños que hay una región de espectro absolutamente continuo del modelo de Anderson, y determine si esto es falso para . [ aclaración necesaria ]${\displaystyle v\geq 3}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle v=2}$	Abierto a partir de 1984. [ necesita actualización ]	?
	(b) Enlace difusivo en "transporte" en potenciales aleatorios	Demuestre eso para el modelo de Anderson y potenciales aleatorios más generales. [ aclaración necesaria ]${\displaystyle {\text{Exp}}(\delta _{0},(e^{itH}{\vec {N}}e^{-itH})^{2}\delta _{0})\leq c(1+|t|)}$
	(c) Suavidad de a través del borde de movilidad en el modelo de Anderson${\displaystyle k(E)}$	¿Es la densidad integrada de estados [ aclaración necesaria ] una función en el modelo de Anderson en todos los acoplamientos?${\displaystyle k(E)}$${\displaystyle C^{\infty }}$
	(d) Análisis de la ecuación de casi Mathieu	Verifique lo siguiente para la ecuación casi de Mathieu: Si es un número de Liouville y , entonces el espectro es puramente singular continuo para casi todos .${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \lambda \neq 0}$${\displaystyle \theta }$ Si es un número de Roth y , entonces el espectro es absolutamente continuo para casi todos .${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle |\lambda |<2}$${\displaystyle \theta }$ Si es un número de Roth y , entonces el espectro es un punto puro puramente denso.${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle |\lambda |>2}$ Si es un número de Roth y , entonces Lebesgue mide cero y el espectro es puramente singular continuo. [ aclaración necesaria ]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle |\lambda |=2}$${\displaystyle \sigma (h)}$
	(e) Espectro puntual en un modelo continuo casi periódico	Demuestre que tiene algún espectro de puntos para los adecuados y casi todos .${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+\lambda \cos(2\pi x)+\mu \cos(2\pi \alpha x+\theta )}$${\displaystyle \alpha ,\lambda ,\mu }$${\displaystyle \theta }$
13	Exponente crítico para caminatas de auto-evitación	Sea el desplazamiento medio de una caminata de longitud autodidacta aleatoria . Demuestre que es para la dimensión al menos cuatro y es mayor en caso contrario.${\displaystyle D(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle v:=\lim _{n\to \infty }n^{-1}\ln D(n)}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	Abierto a partir de 1984. [ necesita actualización ]	?
14	(a) Construya QCD	Proporcione una construcción matemática precisa de la cromodinámica cuántica.	Abierto a partir de 1984. [ necesita actualización ]	?
	(b) QFT renormalizable	Construya una teoría de campo cuántica no trivial que sea renormalizable pero no superrenormalizable.
	(c) Inconsistencia de QED	Demuestre que QED no es una teoría consistente.
	(d) Inconsistencia de ${\displaystyle \varphi _{4}^{4}}$	Demuestre que no existe una teoría no trivial .${\displaystyle \varphi _{4}^{4}}$
15	Censura cósmica	Formular y luego probar o refutar una versión adecuada de la censura cósmica.	Abierto a partir de 1984. [ necesita actualización ]	?

En 2000, Simon afirmó que cinco ^{[ ¿cuál? ]} de los problemas que enumeró se habían resuelto. ^[1]

La lista de 2000

Los problemas de Simon enumerados en 2000 (con categorizaciones originales) son: ^{[1] [14]}

No.	Nombre corto	Declaración	Estado	Año resuelto
Transporte cuántico y comportamiento espectral anómalo
1er	Estados extendidos	Demuestre que el modelo de Anderson tiene un espectro puramente absolutamente continuo y valores adecuados de en algún rango de energía.${\displaystyle v\geq 3}$${\displaystyle b-a}$	?	?
2do	Localización en 2 dimensiones	Demuestre que el espectro del modelo de Anderson para es un punto puro denso.${\displaystyle v=2}$	?	?
Tercero	Difusión cuántica	Demuestre que, para y valores de donde hay espectro absolutamente continuo, que crece como a .${\displaystyle v\geq 3}$${\displaystyle |b-a|}$${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} ^{\nu }}n^{2}|e^{itH}(n,0)|^{2}}$${\displaystyle ct}$${\displaystyle t\to \infty }$	?	?
Cuarto	Diez problema de Martini	Demuestre que el espectro de es un conjunto de Cantor (es decir, en ninguna parte denso) para todos y todos irracionales .${\displaystyle h_{\alpha ,\lambda ,\theta }}$${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle \alpha }$	Resuelto por Puig (2003). [14] [15]	2003
Quinto		Demostrar que el espectro de tiene medida cero para y todo lo irracional .${\displaystyle h_{\alpha ,\lambda ,\theta }}$${\displaystyle \lambda =2}$ ${\displaystyle \alpha }$	Resuelto por Avila y Krikorian (2003). [14] [16]	2003
Sexto		Demuestre que el espectro de es absolutamente continuo y todo irracional .${\displaystyle h_{\alpha ,\lambda ,\theta }}$${\displaystyle \lambda =2}$ ${\displaystyle \alpha }$	?	?
Séptimo		¿Existen potenciales sobre tal que para algunos y tales que tienen algún espectro continuo singular?${\displaystyle V(x)}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle |V(x)|\leq C|x|^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V}$	Esencialmente resuelto por Denisov (2003) con solo decaimiento.${\displaystyle L^{2}}$ Resuelto íntegramente por Kiselev (2005). [14] [17] [18]	2003, 2005
Octavo		Supongamos que es una función de tal que , donde . Demuestre que tiene un espectro absolutamente continuo de multiplicidad infinita .${\displaystyle V(x)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\nu }}$${\displaystyle \int |x|^{-\nu +1}|V(x)|^{2}d^{\nu }x<\infty }$${\displaystyle \nu \geq 2}$${\displaystyle -\Delta +V}$${\displaystyle [0,\infty )}$	?	?
Energías de coulomb
Noveno		Demuestre que está acotado por .${\displaystyle N_{0}(Z)-Z}$${\displaystyle Z\to \infty }$	?	?
Décimo		¿Cuáles son las asintóticas de para ?${\displaystyle (\delta E)(Z):=E(Z,Z-1)-E(Z,Z)}$${\displaystyle Z\to \infty }$	?	?
11º		Dar sentido matemático al modelo de capa nuclear .	?	?
12		¿Existe un sentido matemático en el que se puedan justificar las técnicas actuales para determinar las configuraciones moleculares a partir de los primeros principios?	?	?
13		Demuestre que, a medida que el número de núcleos se acerca al infinito, el estado fundamental de algún sistema neutro de moléculas y electrones se acerca a un límite periódico (es decir, que los cristales existen basados ​​en principios cuánticos).	?	?
Otros problemas
14		Demuestre que la densidad integrada de estados es continua en la energía.${\displaystyle k(E)}$	?	?
15	Conjetura de Lieb-Thirring	Demuestre la conjetura de Lieb-Thirring sobre las constantes donde .${\displaystyle L_{\gamma ,\nu }}$${\displaystyle \nu =1,{\frac {1}{2}}<\gamma <{\frac {3}{2}}}$	?	?

Ver también

• Casi operador de Mathieu
• La desigualdad de Lieb-Thirring

enlaces externos

• "Problemas de Simon" . MathWorld . Consultado el 13 de junio de 2018 .

Referencias

1. Simon, Barry (2000). "Operadores de Schrödinger en el siglo XXI". Física Matemática 2000 . Imperial College de Londres . págs. 283–288. doi : 10.1142 / 9781848160224_0014 . ISBN 978-1-86094-230-3.
2. Marx, CA; Jitomirskaya, S. (2017). "Dinámica y teoría espectral de los operadores cuasiperiódicos de tipo Schrödinger". Teoría ergódica y sistemas dinámicos . 37 (8): 2353–2393. arXiv : 1503.05740 . doi : 10.1017 / etds.2016.16 . S2CID 119317111 . 
3. Damanik, David. "Dinámica de SL (2, R) -Ciclos y aplicaciones a la teoría espectral; Clase 1: Problemas del siglo XXI de Barry Simon" (PDF) . Centro Internacional de Investigaciones Matemáticas de Beijing , Universidad de Pekín . Consultado el 7 de julio de 2018 .
4. "Medalla Fields otorgada a Artur Avila" . Centre national de la recherche scientifique . 2014-08-13 . Consultado el 7 de julio de 2018 .
5. Bellos, Alex (13 de agosto de 2014). "Medallas Fields 2014: las matemáticas de Ávila, Bhargava, Hairer y Mirzakhani explicaron" . The Guardian . Consultado el 7 de julio de 2018 .
6. Tao, Terry (12 de agosto de 2014). "Ávila, Bhargava, Hairer, Mirzakhani" . ¿Qué hay de nuevo ? Consultado el 7 de julio de 2018 .
7. Simon, Barry (1984). "Quince problemas de física matemática". Perspectivas en matemáticas: aniversario de Oberwolfach 1984 (PDF) . Birkhäuser . págs. 423–454 . Consultado el 24 de junio de 2021 .
8. Coley, Alan A. (2017). "Problemas abiertos en física matemática". Physica Scripta . 92 (9): 093003. arXiv : 1710.02105 . Código bibliográfico : 2017PhyS ... 92i3003C . doi : 10.1088 / 1402-4896 / aa83c1 . S2CID 3892374 . 
9. "Un teorema de existencia global para el problema de cuatro cuerpos de la mecánica newtoniana" (PDF) . Revista de ecuaciones diferenciales . 26 (1): 80-111. 1977-10-01. doi : 10.1016 / 0022-0396 (77) 90100-0 . ISSN 0022-0396 .  
10. Zhihong, Xia (1989). "La existencia de las singularidades de no colisión en el sistema newtoniano - ProQuest" . www.proquest.com . Consultado el 9 de septiembre de 2021 .
11. Xia, Zhihong (1992). "La existencia de singularidades de no colisión en sistemas newtonianos" . Annals of Mathematics . 135 (3): 411–468. doi : 10.2307 / 2946572 . ISSN 0003-486X . 
12. Saari, Donald G .; Xia, Zhihong (Jeff) (mayo de 1995). "Hacia el infinito en tiempo finito" (PDF) . Avisos del AMS . 42 (5).
13. Gerver, Joseph L (1 de enero de 1991). "La existencia de pseudocolisiones en el avión" (PDF) . Revista de ecuaciones diferenciales . 89 (1): 1–68. doi : 10.1016 / 0022-0396 (91) 90110-U . ISSN 0022-0396 .  
14. Weisstein, Eric W. "Problemas de Simon" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 22 de junio de 2021 .
15. Puig, Joaquim (18 de noviembre de 2003). "Cantor Spectrum para el operador de Almost Mathieu" . Comunicaciones en Física Matemática . 244 (2): 297-309. doi : 10.1007 / s00220-003-0977-3 . ISSN 1432-0916 . S2CID 120589515 . Consultado el 23 de junio de 2021 .  
16. Ávila, Artur; Krikorian, Raphaël (2006). "Reducibilidad o hiperbolicidad no uniforme para los ciclos cuasiperiódicos de Schrödinger" (PDF) . Annals of Mathematics . 164 (3): 911–940. arXiv : matemáticas / 0306382 . doi : 10.4007 / annals.2006.164.911 . ISSN 0003-486X . S2CID 14625584 . Consultado el 23 de junio de 2021 .   
17. Denisov, Sergey A. (10 de junio de 2003). "Sobre la coexistencia de componentes continuos singulares y absolutamente continuos de la medida espectral para algunos operadores de Sturm-Liouville con potencial sumable al cuadrado" . Revista de ecuaciones diferenciales . 191 (1): 90-104. Código Bibliográfico : 2003JDE ... 191 ... 90D . doi : 10.1016 / S0022-0396 (02) 00145-6 . ISSN 0022-0396 . 
18. Kiselev, Alexander (2005). "Espectro continuo singular incrustado para operadores de Schrödinger" . Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 18 (3): 571–603. doi : 10.1090 / S0894-0347-05-00489-3 . ISSN 0894-0347 . Consultado el 23 de junio de 2021 .