En matemáticas , particularmente en la teoría de la homotopía , una categoría modelo es una categoría con clases distinguidas de morfismos ('flechas') llamadas ' equivalencias débiles ', ' fibraciones ' y ' cofibraciones ' que satisfacen ciertos axiomas que las relacionan. Estos se abstraen de la categoría de espacios topológicos o de complejos en cadena ( teoría de categorías derivadas ). El concepto fue introducido por Daniel G. Quillen ( 1967 ).
En las últimas décadas, el lenguaje de las categorías de modelos se ha utilizado en algunas partes de la teoría K algebraica y la geometría algebraica , donde los enfoques teóricos de la homotopía condujeron a resultados profundos.
Las categorías modelo pueden proporcionar un escenario natural para la teoría de la homotopía : la categoría de espacios topológicos es una categoría modelo, con la homotopía correspondiente a la teoría habitual. De manera similar, los objetos que se consideran espacios a menudo admiten una estructura de categoría de modelo, como la categoría de conjuntos simpliciales .
Otra categoría de modelo es la categoría de cadenas complejas de R -módulos para un anillo conmutativo R. La teoría de la homotopía en este contexto es álgebra homológica . Entonces, la homología puede verse como un tipo de homotopía, que permite generalizaciones de homología a otros objetos, como grupos y R - álgebras , una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría. Debido al ejemplo anterior con respecto a la homología, el estudio de categorías de modelos cerrados a veces se considera como álgebra homotópica .
La definición dada inicialmente por Quillen fue la de una categoría de modelo cerrada, cuyos supuestos parecían fuertes en ese momento, lo que motivó a otros a debilitar algunos de los supuestos para definir una categoría de modelo. En la práctica, la distinción no ha demostrado ser significativa y los autores más recientes (p. ej., Mark Hovey y Philip Hirschhorn) trabajan con categorías de modelos cerrados y simplemente eliminan el adjetivo 'cerrado'.
La definición se ha separado de la de una estructura modelo en una categoría y luego de otras condiciones categóricas en esa categoría, cuya necesidad puede parecer inmotivada al principio, pero se vuelve importante más tarde. La siguiente definición sigue la dada por Hovey.